Física Movimiento en 2 dimensiones Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2do semestre 2014 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Ejemplo 1 Una piedra se deja caer de un acantilado de 100 metros de altura. Si la velocidad inicial de la piedra es nula: Determinar el tiempo que demora la piedra en llegar al suelo. Determinar la velocidad final de la piedra. Determinar cuanta distancia recorre la piedra durante el último segundo. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 2 Una persona lanza una piedra hacia arriba desde el techo de un edificio con una velocidad inicial de 20 m/s. Si el edificio tiene 50 m de altura y la piedra no es agarrada por la persona cayendo hacia el suelo calcule los siguientes datos de la piedra: Tiempo necesario para alcanzar la altura máxima. Altura máxima. Tiempo necesario para que la piedra regrese a la altura desde donde fue arrojada. La velocidad de la piedra en el instante de c). Velocidad y posición de la piedra luego de 5 s. Tiempo necesario para que la piedra llegue al suelo. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejercicio Propuesto Una persona se encuentra en el piso 8 de un edificio a 24 metros del suelo y ve pasar por afuera de su ventana un objeto hacia arriba a una velocidad de 50 metros por segundo. Determine la altura máxima a la que llega el objeto. Determine el tiempo en que el objeto llega a su altura máxima. Determine el tiempo en que el objeto llega de vuelta al suelo. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Movimiento en 2 Dimensiones FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Definición de posición y velocidad en 2D La posición de un objeto en 2-D. y Posición 𝑟 𝑖 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 ∆ 𝑟 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑓 + 𝑦 𝑓 𝑟 𝑖 𝑟 𝑓 x ∆ 𝑥 = 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 El vector desplazamiento es ∆ 𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑖 = ∆ 𝑥 +∆ 𝑦 ∆ 𝑦 = 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 𝑣 = ∆ 𝑟 ∆𝑡 𝑣 𝑥 = ∆ 𝑥 ∆𝑡 𝑣 𝑦 = ∆ 𝑦 ∆𝑡 El vector velocidad es FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Movimiento en 2-D: Ejemplo Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total? N Si ese desplazamiento fue realizado en 4 horas ¿Cuál fue la velocidad promedio? 30° 𝑟 2 𝑟 1 ∆ 𝑟 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

𝑣= 𝑣 Definición de velocidad instantánea en 2D 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡 En la figura la velocidad instantánea sería representada por la diferencia entre un vector muy cercano al vector P y el vector P, dividido por el tiempo requerido para hacer ese desplazamiento. Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad instantánea. 𝑣= ( 𝑣 𝑥,𝑓 − 𝑣 𝑥,𝑖 ) 2 +( 𝑣 𝑦,𝑓 − 𝑣 𝑦,𝑖 ) 2 𝑣= 𝑣 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Definición de aceleración en 2D 𝑎 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 = 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑓 − 𝑡 𝑖 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera: La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡. La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su magnitud (𝑣) permanece constante. La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Velocidad en 2D con aceleración constante La velocidad final 𝒗 𝒇 de un cuerpo con velocidad inicial 𝒗 𝒊 y una aceleración constante 𝒂 será: 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒊 + 𝒂 ×𝒕 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒙,𝒊 𝒊 + 𝒗 𝒚,𝒊 𝒋 + 𝒂 𝒙 𝒊 + 𝒂 𝒚 𝒋 ×𝒕 𝒗 𝒇 = 𝒗 𝒙,𝒊 + 𝒂 𝒙 ×𝒕 𝒊 + 𝒗 𝒚,𝒊 + 𝒂 𝒚 ×𝒕 𝒋 Eje x 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑎 𝑦 ×𝑡 Eje y 𝑣 𝑥,𝑓 = 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑎 𝑥 ×𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Posición en 2D con aceleración constante La velocidad final 𝑣 𝑓 de un cuerpo con posición inicial 𝑟 𝑖 , velocidad inicial 𝑣 𝑖 y una aceleración constante 𝑎 será: 𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 × 𝑡 2 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 𝑖 + 𝑦 𝑖 𝑗 + 𝑣 𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 𝑗 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 × 𝑡 2 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑖 + 𝑦 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑗 Eje x Eje y 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ecuaciones de Movimiento en 2D Eje x Eje y 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑓 ×𝑡 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 1 2 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑓 ×𝑡 𝑣 𝑥,𝑓 = 𝑣 𝑥,𝑖 + 𝑎 𝑥 ×𝑡 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 + 𝑎 𝑦 ×𝑡 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 = 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑣 𝑥,𝑓 2 = 𝑣 𝑥,𝑖 2 +2 𝑎 𝑥 𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑖 𝑣 𝑦,𝑓 2 = 𝑣 𝑦,𝑖 2 +2 𝑎 𝑦 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑖 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Ejemplo: Mov. 2D con 𝒂 constante Una partícula parte del origen en 𝑡=0 con una velocidad inicial que tiene una componente 𝒙 de 20 m/s y una componente 𝒚 de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de aceleración 𝒙, dada por 𝒂 𝒙 =4,0 m/s2. Determine las componentes del vector velocidad en cualquier tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡. Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Proyectiles Movimiento 2-D Aceleración vertical 𝑎 𝑦 =−𝑔 Aceleración horizontal 𝑎 𝑥 =0 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Componentes de 𝑣 en proyectiles 𝒂 =−𝒈 𝒋 En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Independencia de las componentes Fotografía de múltiple exposición que muestra la posición de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó horizontalmente. Se ve que la altura (y por lo tanto el desplazamiento vertical) de las esferas es la misma. El movimiento en la dirección vertical no se entera de lo que pasa en la dirección horizontal. Los movimientos vertical y horizontal son independientes. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Componente horizontal no cambia 𝒗 𝒙 y 𝒗 𝒚 son independientes: 𝒗 𝒙 es constante (𝑎 𝑥 =0). 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 −𝑔 ∆𝑡 𝒗 = 𝒗 𝒙 𝒊 + 𝒗 𝒚 𝒋 Entonces, la magnitud de 𝑣 aumenta y su dirección cambia. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Proyectiles: Ejemplo 1 ∆x 1,5 m 2,0 m/s ∆x 1,5 m Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Proyectiles: Ejemplo 2 y x Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una distancia horizontal de 30 m. ¿Con qué ángulo fue lanzada? y x ∆x=30 m a FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Proyectiles: Ejemplo 3 100 m/s 37° 140 m Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal. a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil. b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Proyectiles: Ejercicio 4 ¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0) FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Resumen Se definieron los vectores posición 𝑟 , desplazamiento ∆ 𝑟 , velocidad 𝑣 y aceleración 𝑎 en 2 dimensiones. El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un vector. La posición está definida como: 𝑟 𝑓 = 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑥,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑥 × 𝑡 2 𝑖 + 𝑦 𝑖 + 𝑣 𝑦,𝑖 ×𝑡+ 1 2 𝑎 𝑦 × 𝑡 2 𝑗 En el movimiento de proyectiles: 𝒗 𝒙 es constante (𝑎 𝑥 =0). 𝑣 𝑦,𝑓 = 𝑣 𝑦,𝑖 −𝑔 ∆𝑡 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014