FIGURAS SEMEJANTES ESCALAS ESPAD III * TC 21

FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño. Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio. Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante. Las dimensiones (largo, ancho y alto) de las figuras semejantes son proporcionales. La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza (r) o escala (E). Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio. Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad.

Ejemplos de figuras semejantes Un plano callejero es semejante a la ciudad que representa. longitud en el dibujo 1 cm r=E=------------------------------- = ---------- = 1:10000 medida real 100 m La fotografía de un ácaro es semejante al visto por el microscopio. longitud en el dibujo 10 cm r=E=------------------------------- = ---------- = 10000:1 medida real 10 μm

Triángulos semejantes C C’ A’ B’ A B Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales. En ángulos: A=A’ , B=B’ y C=C’ En lados: A’B’=k.AB , B’C’=k.BC y C’A’=k.CA En los triángulos rectángulos semejantes dibujados, podemos poner: Hipotenusa verde Cateto mayor verde Cateto menor verde ------------------------ = ----------------------------- = ------------------------------- = r Hipotenusa roja Cateto mayor rojo Cateto menor rojo

POLÍGONOS SEMEJANTES Cualquier polígono se puede trocear, dividir, en triángulos. Aplicando Thales podemos construir triángulos semejantes a los que tenemos. Si la razón de semejanza utilizada es la misma en todos los triángulos, el resultado es un polígono semejante al original.

Rectángulos SEMEJANTES Dividimos el rectángulo en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el rectángulo semejante mediante paralelas a los lados. B’ C’ C B B’’ C’’ A D’’ D D’

Trapezoides SEMEJANTES Dividimos el trapezoide en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el trapezoide semejante mediante paralelas a los lados. B’ B C C’ A D D’

Pentágonos SEMEJANTES C’ C D’ B’ B D E’ E A

RAZÓN DE ÁREAS Y VOLÚMENES Razón de PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES Razón de los PERÍMETROS = Razón de semejanza. Razón de las ÁREAS = CUADRADO de la razón de semejanza. Razón de los VOLÚMENES = CUBO de la razón de semejanza. Escalas. ESCALA es la razón de semejanza entre el original y su representación. ESCALA 1: 200 Son muy empleadas en Mapas, planos y maquetas. Escala gráfica es una recta graduada según la escala numérica correspondiente.

Ejemplo Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = 3+3+4+4 = 14 m Perímetro nuevo: P’ = 6+6+8+8 = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2 Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r2 = 22 = 4 Volumen prisma antiguo: V = 3.4.5 = 60 m3 Volumen prisma nuevo: V’ = 6.8.10 = 480 m3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r3 = 23 = 8

A=48 A=12 5 cm 5 cm Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm

MAPAS, PLANOS, MAQUETAS, … Ejercicios Tráete de casa los siguientes objetos: Un Mapa de España, o en su defecto de Castilla y León. Un Plano Callejero de tu ciudad. Un Plano de tu piso o casa, preferiblemente con muebles; o en su defecto cualquier plano parcial o total de un piso amueblado que localices en Internet o te facilite alguna empresa inmobiliaria. Una Maqueta o una Figura representativa hecha a escala. Varias fotografías o dibujos de cosas imposibles de ver sin microscopio. Ten en cuenta que todo el material anterior no nos sirve si no viene indicada la ESCALA con la que ha sido fotografiado, dibujado o construido. Sin escala indicativa, algo tan distinto como un poro de la piel o una duna en el desierto se pueden confundir fácilmente.

Mide, calcula y contesta: ¿Qué distancia hay entre Madrid y Barcelona en línea recta?. ¿Qué distancia hay entre Madrid y Barcelona por autovía?. ¿Qué distancia hay de tu pueblo o ciudad a Valladolid en línea recta?. ¿Qué distancia hay de tu pueblo o ciudad a Valladolid por carretera?. ¿Qué mide de largo tu pueblo o ciudad?.¿Y de anchura máxima?. ¿Qué distancia hay de tu casa al instituto por el recorrido habitual?. ¿Qué valor real tienen las dimensiones de las habitaciones de tu casa?. Mide, según el plano, la superficie real total de tu casa.¿Se corresponde con los datos que sabes sobre el asunto?. Mide, según el plano, el largo y ancho de algunos muebles. Mide el ancho y el alto de la maqueta o figura. Calcula el alto y ancho real. ¿Se corresponde con la realidad?. Mide los microorganismos de las fotografías y calcula su tamaño real. Se corresponde con las medidas de los mismos según lo que has estudiado en Física, Química o Biología?. Haz un plano de la clase vista desde el techo, de modo que en dibujo ocupe una extensión máxima de 180x270 mm.