DEPARTAMENTO DE DIBUJO CASOS DE DETERMINACIÓN 1 SISTEMA DIÉDRICO ESQUEMA FUNDAMENTO REPRESENTACIÓN DEL PUNTO REPRESENTACIÓN DE L A RECTA REPRESENTACIÓN DEL PLANO ALFABETO DEL PUNTO ALFABETO DE LA RECTA ALFABETO DEL PLANO TRAZAS DE LA RECTA DE PERFIL RECTAS NOTABLES DE UN PLANO ESQUEMA 2 ESQUEMA 3 CASOS DE DETERMINACIÓN DE PLANOS ESQUEMA 4

DEPARTAMENTO DE DIBUJO 2 SISTEMA DIÉDRICO ESQUEMA PARALELISMO PERTENENCIAS INTERSECCIONES ENTRE RECTAS PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA ENTRE PLANOS ENTRE PLANOS ENTRE RECTAS Y PLANOS RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO ENTRE RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARIDAD TEOREMAS PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO ENTRE RECTAS Y PLANOS ENTRE PLANOS ESQUEMA 1 ESQUEMA 3 ESQUEMA 4 ENTRE RECTAS

3 SISTEMA DIÉDRICO DISTANCIAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEPARTAMENTO DE DIBUJO 3 SISTEMA DIÉDRICO DISTANCIAS ESQUEMA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS ESQUEMA 1 ESQUEMA 2 ESQUEMA 4

4 SISTEMA DIÉDRICO MÉTODOS GIROS ABATIMIENTOS CAMBIOS DE PLANO DEPARTAMENTO DE DIBUJO 4 SISTEMA DIÉDRICO MÉTODOS ESQUEMA GIROS ABATIMIENTOS CAMBIOS DE PLANO ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE GIRO DE UN PUNTO EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA GIRO DE UNA RECTA CAMBIO DE DOS PLANOS DE PROYECCIÓN ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO GIRO DE UN PLANO LA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO ABATIMIENTO DE UN PLANO OBILICUO QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA ESQUEMA 1 EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO ESQUEMA 2 ABATIMIENTO DE UN PARALELO A LA LT ESQUEMA 3

DEPARTAMENTO DE DIBUJO SISTEMA DIÉDRICO ALFABETO DEL PUNTO PUNTO DEL 1º CUADRANTE PUNTO DEL PH ANTERIOR PUNTO DEL 1º BISEC. 1º C PUNTO DEL 2º CUADRANTE PUNTO DEL PH POSTERIOR PUNTO DEL 1º BISEC. 3º C PUNTOS DEL 1º AL 8º OCTANTE PUNTO DEL 3º CUADRANTE PUNTO DEL PV SUPERIOR PUNTO DEL 2º BISEC. 2º C PUNTO DE LA LT PUNTO DEL 4º CUADRANTE PUNTO DEL PV INFERIOR PUNTO DEL 2º BISEC. 4º C ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO ALFABETO DE LA RECTA RECTA OBLICUA R. CONTENIDA DEPARTAMENTO DE DIBUJO SISTEMA DIÉDRICO ALFABETO DE LA RECTA RECTA OBLICUA R. CONTENIDA EN EL PH R. PARALELA A LA LT RECTA DE PERFIL RECTA HORIZONTAL R. CONTENIDA EN EL PV R. OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE. PRECTA FRONTAL RECTA VERTICAL R. OBLICUA A LOS PLANOSQUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE. RECTA DE PUNTA ESQUEMA

DEPARTAMENTO DE DIBUJO SISTEMA DIÉDRICO ALFABETO DEL PLANO PLANO OBLICUO PLANO HORIZONTAL PARALELO A LA LT PROYECTANTE HORIZONTAL PLANO FRONTAL PLANO DE PERFIL PROYECTANTE VERTICAL PLANO QUE PASA POR LA LT ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO INTERSECCIONES ENTRE PLANOS ESQUEMA ESQUEMA 2 DEPARTAMENTO DE DIBUJO SISTEMA DIÉDRICO INTERSECCIONES ENTRE PLANOS PLANO OBLICUO Y P. PROYEC. HORIZONTAL PLANO OBLICUO Y P. PROYEC. VERTICAL PLANO OBLICUO Y PLANO HORIZONTAL PLANO OBLICUO Y PLANO FRONTAL PLANO OBLICUO Y PLANO DE PERFIL DOS PLANOS PROYECTANTES HORIZONTALES PLANO PROYEC. VERTICAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL PLANO HORIZONTAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL PLANO FRONTAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL PLANO PARALELO LT Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL DOS PLANOS PARALELOS A LA LT PLANO PARALELO LT Y PLANO QUE PASA POR LA LT PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PH ANTERIOR Y EL PV INFERIOR PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PH POSTERIOR Y EL PV INFERIOR PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO ESQUEMA ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV PH

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV Cota = A A1 = A2LT A2 Aleja.= A A2 = A1LT Alejamiento A Cota A1 PH En el sistema diédrico a un punto del espacio le corresponden dos proyecciones básicas. Dichas proyecciones reciben el nombre de proyección vertical (designada con una letra mayúscula acompañada del número 2) y proyección horizontal (designada con la misma letra mayúscula acompañada del número 1) . ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH Para poder disponer ambas proyecciones sobre un mismo plano se abate el plano horizontal sobre el vertical. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH A1 ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 Cota A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. PV A2 Cota Alejamiento A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del PRIMER CUADRANTE. PV A2 A2 Cota Alejamiento A1 Todos los puntos del primer cuadrante tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo. A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del PRIMER CUADRANTE. PV A2 A2 Cota Alejamiento A1 Todos los puntos del primer cuadrante tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo. A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del PRIMER CUADRANTE. PV A2 A2 Cota Alejamiento A1 Todos los puntos del primer cuadrante tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo. A1 PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del SEGUNDO CUADRANTE. A PV A2 A2 A1 A1 A1 PH Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO CUADRANTE tienen su proyección vertical y horizontal por encima de la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del TERCER CUADRANTE. PV A1 A1 A1 PH A A2 A2 Todos los puntos que pertenecen al TERCER CUADRANTE tienen su proyección horizontal por encima de la línea de tierra y la vertical por debajo. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Punto del CUARTO CUADRANTE. PV A1 A1 PH A1 A2 A2 A Todos los puntos que pertenecen al CUARTO CUADRANTE tienen su proyección horizontal y vertical por debajo de la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos de proyección: PLANO VERTICAL SUPERIOR. A2 A PV A2 A1 A1 PH Todos los puntos que pertenecen al PLANO VERTICAL SUPERIOR tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal contenida en la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos de proyección: PLANO VERTICAL INFERIOR. PV A1 A1 PH A2 A2 A Todos los puntos que pertenecen al PLANO VERTICAL INFERIOR tienen su proyección vertical por debajo de la línea de tierra y su proyección horizontal contenida en la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos de proyección: PLANO HORIZONTAL ANTERIOR. PV A2 A2 A1 A PH A1 Todos los puntos que pertenecen al PLANO HORIZONTAL ANTERIOR tienen su proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y su proyección vertical contenida en la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos de proyección: PLANO HORIZONTAL POSTERIOR. PV A1 A1 A1 A A2 A2 PH Todos los puntos que pertenecen al PLANO HORIZONTAL POSTERIOR tienen su proyección horizontal por encima de la línea de tierra y su proyección vertical contenida en la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos bisectores: 1º PLANO BISECTOR (PRIMER CUADRANTE) PV A2 A2 A A1 PH A1 A1 Todos los puntos que pertenecen al PRIMER PLANO BISECTOR (PRIMER CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales, su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos bisectores: 1º PLANO BISECTOR (TERCER CUADRANTE) PV A1 A1 A1 PH A A2 A2 Todos los puntos que pertenecen al PRIMER PLANO BISECTOR (TERCER CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales, su proyección vertical por debajo de la línea de tierra y su proyección horizontal por encima. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos bisectores: 2º PLANO BISECTOR SEGUNDO CUADRANTE. PV A A2 A1 A2 A1 A1 PH Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO PLANO BISECTOR (SEGUNDO CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales y sus dos proyecciones coinciden en un mismo punto por encima de la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en los planos bisectores: 2º PLANO BISECTOR CUARTO CUADRANTE. PV A1 PH A1 A1 A2 A2 A Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO PLANO BISECTOR (CUARTO CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales y sus dos proyecciones coinciden en un mismo punto por debajo de la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos que se encuentran en los octantes: PV PV 2º PB 1º PB 3º OC 2º OC 1º OC 4º OC 1º OC PH PH 8º OC 5º OC 6º OC 7º OC 2º OC 3º OC 4º OC 5º OC B1 B2 C1 C2 D2 D1 E2 E1 1º OC 6º OC A1 A2 F2 F1 7º OC 8º OC C1 C2 C2 C1

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA: PV A A1 A2 A2 A1 PH Todos los puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA tienen sus dos proyecciones sobre la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto. Puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA: PV A A1 A2 A2 A1 PH Todos los puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA tienen sus dos proyecciones sobre la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta. Vr PV A A2 r2 r B2 B A1 r1 Hr B1 PH En el sistema diédrico a una recta del espacio le corresponden dos proyecciones básicas. Dichas proyecciones pueden ser otras dos rectas o una recta y un punto dependiendo de la posición de la recta. Se denominan TRAZAS DE UNA RECTA a los puntos de intersección con los planos de proyección. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta. PV Vr A2 r2 B2 A1 r1 B1 A1 Hr r1 PH B1 Hr ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta. PV Vr A2 r2 B2 A1 r1 B1 Hr ESQUEMA

Resolución de las TRAZAS DE UNA RECTA dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta. Resolución de las TRAZAS DE UNA RECTA dada por dos puntos. PV Vr Vr A2 A2 r2 B2 r2 B2 A1 A1 r1 r1 B1 B1 Hr Hr ESQUEMA

Resolución de las TRAZAS DE UNA RECTA dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta. Resolución de las TRAZAS DE UNA RECTA dada por dos puntos. PV Vr Vr A2 A2 r2 B2 r2 B2 A1 A1 r1 r1 B1 B1 Hr Hr ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA OBLICUA Vr PV Vr r2 r2 r r1 Hr PH r1 Hr La RECTA OBLICUA se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y a la línea de tierra. Tiene dos trazas y sus proyecciones diédricas son oblicuas a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA HORIZONTAL PV Vr r2 Vr r2 r r1 PH r1 La RECTA HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano vertical de proyección y paralela al horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal es oblicua a la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA FRONTAL PV r2 r2 r Hr r1 r1 PH Hr La RECTA FRONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano horizontal de proyección y paralela al vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y su proyección vertical es oblicua a la misma. ESQUEMA

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL PV Vr r2 Vr r2 r1 r PH r1 La RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano vertical de proyección y estar contenida en el plano horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección vertical coincide con la línea de tierra y su proyección horizontal es oblicua a la misma. ESQUEMA

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL PV r2 r r2 Hr r1 Hr r1 PH La RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL se caracteriza por ser oblicua al plano horizontal de proyección y estar contenida en el vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección horizontal coincide con la línea de tierra y su proyección vertical es oblicua a la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA VERTICAL PV r2 r r2 Hr≡r1 PH r1 Hr La RECTA VERTICAL se caracteriza por ser perpendicular al plano horizontal de proyección y paralela al vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra y su proyección horizontal está determinada por un punto. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA DE PUNTA PV Vr≡r2 Vr r2 r r1 PH r1 La RECTA DE PUNTA se caracteriza por ser perpendicular al plano vertical de proyección y paralela al horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección horizontal es perpendicular a la línea de tierra y su proyección vertical está determinada por un punto. ESQUEMA

RECTA PARALELA A LA LÍNEA DE TIERRA SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA PARALELA A LA LÍNEA DE TIERRA PV A2 r2 B2 A2 r2 B2 A r B r1 r1 A1 B1 PH A1 B1 La RECTA PARALELA A LA LT se caracteriza por ser paralela a los planos de proyección y a la línea de tierra. No tiene trazas y sus proyecciones son paralelas a la línea de tierra. ESQUEMA

RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE PV r2 r2 Hr Vr r Hr Vr r1 r1 PH La RECTA OBLICUA A LOS PLANOS Y QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y cortar a la línea de tierra perpendicularmente. Sus trazas coinciden en un mismo punto sobre la línea de tierra y sus proyecciones son perpendiculares a la misma. ESQUEMA

RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE PV r2 r2 Vr r Hr Hr r1 Vr r1 PH La RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y cortar a la línea de tierra oblicuamente. Sus trazas coinciden en un mismo punto sobre la línea de tierra y ambas proyecciones son oblicuas a la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA DE PERFIL PV Vr Vr r2 r2 r r1 Hr r1 PH Hr La RECTA DE PERFIL se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y perpendicular a la línea de tierra sin pasar por la misma. Tienen dos trazas y sus proyecciones coinciden sobre una misma línea perpendicular a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta RECTA DE PERFIL PV Vr Vr r2 r2 r r1 Hr r1 PH Hr La RECTA DE PERFIL se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y perpendicular a la línea de tierra sin pasar por la misma. Tienen dos trazas y sus proyecciones coinciden sobre una misma línea perpendicular a la línea de tierra. ESQUEMA

Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. PV V3 Vr PP A2 A r2 A3 r r3 B2 B3 B A1 r1 H3 B1 Hr PH Para poder resolver las trazas de una recta de perfil se hace uso de un plano auxiliar perpendicular a la línea de tierra y a los dos planos de proyección denominado PLANO DE PERFIL. ESQUEMA

Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. PV PP V3 Vr PP A2 A3 r2 r3 A3 r3 B3 B2 B3 H3 A1 r1 H3 B1 Hr PH Eliminamos todos los elementos del espacio dejando únicamente las proyecciones determinadas sobre cada uno de los planos. Se abate el plano de perfil sobre el plano vertical y hacemos lo propio con el plano horizontal. ESQUEMA

Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. PV PP V3 Vr A2 A3 r2 r3 B3 B2 H3 A1 r1 A1 B1 Hr r1 PH B1 Hr PH ESQUEMA

Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. vP V3 Vr A2 A3 r2 r3 B3 B2 H3 A1 r1 B1 Hr hP ESQUEMA

Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos. vP V3 Vr A2 A3 r2 r3 B3 B2 H3 A1 r1 B1 Hr hP ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del plano. PV vα α r r2 Vr r1 s2 Hr s1 s hα PH hα En el sistema diédrico los planos se representan por sus trazas. Las TRAZAS DE UN PLANO son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección. PH ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del plano. PV PH vα hα vα hα ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del plano. PV PH vα hα vα hα ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO OBLICUO PV vα vα α PH hα hα El PLANO OBLICUO se caracteriza por ser oblicuo a la línea de tierra y a los dos planos de proyección. Sus trazas se disponen oblicuas a la línea de tierra. ESQUEMA

PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL PV α vα vα hα PH hα El PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicuo al plano vertical y perpendicular al plano horizontal. Su traza vertical se dispone perpendicular a la línea de tierra y su traza horizontal oblicua a la misma. ESQUEMA

PLANO PROYECTANTE VERTICAL SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO PROYECTANTE VERTICAL PV vα α vα hα PH hα El PLANO PROYECTANTE VERTICAL se caracteriza por ser oblicuo al plano horizontal y perpendicular al plano vertical. Su traza horizontal se dispone perpendicular a la línea de tierra y su traza vertical oblicua a la misma. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO HORIZONTAL PV vα vα α PH El PLANO HORIZONTAL se caracteriza por ser paralelo al plano horizontal y perpendicular al plano vertical. No tiene traza horizontal y su traza vertical se dispone paralela a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO FRONTAL PV α hα PH hα El PLANO FRONTAL se caracteriza por ser paralelo al plano vertical y perpendicular al plano horizontal. No tiene traza vertical y su traza horizontal se dispone paralela a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO DE PERFIL PV vα vα α hα PH hα El PLANO DE PERFIL se caracteriza por ser perpendicular a los dos planos de proyección y a la línea de tierra. Sus trazas coinciden sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO PARALELO A LA LT PV vα vα α hα PH hα El PLANO PARALELO A LA LT se caracteriza por ser oblicuo a los dos planos de proyección y paralelo a la línea de tierra. Sus dos trazas se muestran paralelas a la línea de tierra. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO QUE PASA POR LA LT PV A2 A2 α A vα hα hα vα A1 PH A1 El PLANO QUE PASA POR LA LT se caracteriza por ser oblicuo a los dos planos de proyección y contener a la línea de tierra. Sus dos trazas coinciden sobre la LT y se representa con un punto auxiliar que determina su posición. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano. PLANO QUE PASA POR LA LT PV A2 A2 α A vα hα hα vα A1 PH A1 El PLANO QUE PASA POR LA LT se caracteriza por ser oblicuo a los dos planos de proyección y contener a la línea de tierra. Sus dos trazas coinciden sobre la LT y se representa con un punto auxiliar que determina su posición. ESQUEMA

RECTA HORIZONTAL DE PLANO SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos. RECTA HORIZONTAL DE PLANO PV vα vα α Vr r2 r Vr r2 r1 PH hα r1 hα RECTA HORIZONTAL DE PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano se dispone paralela al plano horizontal de proyección y oblicua al vertical. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos. RECTA FRONTAL DE PLANO PV vα vα α r2 r r2 r1 Hr PH hα r1 Hr hα RECTA FRONTAL DE PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano se dispone paralela al plano vertical de proyección y oblicua al horizontal. ESQUEMA

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos. RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO PV vα Vr α Vr vα r2 r 90º r2 r1 Hr PH hα r1 90º Hr hα RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección. Al ser perpendicular a la traza horizontal del plano, su proyección horizontal r1 se dispone perpendicular a la traza horizontal hα. ESQUEMA

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos. RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO vα PV vα α Vr 90º Vr 90º r2 r r2 r1 H Hr PH hα r1 Hr hα RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección. Al ser perpendicular a la traza horizontal del plano, su proyección horizontal r1 se dispone perpendicular a la traza horizontal hα. ESQUEMA

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos. RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO vα PV vα α Vr 90º Vr 90º r2 r r2 r1 H Hr PH hα r1 Hr hα RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección. Al ser perpendicular a la traza horizontal del plano, su proyección horizontal r1 se dispone perpendicular a la traza horizontal hα. ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos. CASOS DE DETERMINACIÓN DE PLANOS. 1. Tres puntos no alineados. 2. Un punto y una recta. α α A B C r A 3. Dos rectas que se cortan. 4. Dos rectas paralelas. s r A r s α α ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos. CASOS DE DETERMINACIÓN DE PLANOS. 1. Tres puntos no alineados. 2. Un punto y una recta. α α A B C r A 3. Dos rectas que se cortan. 4. Dos rectas paralelas. s r A r s α α ESQUEMA

POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. PV V V α vα A r V s B t C H hα H H PH ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. vα Vr Se unen los puntos dados A, B y C para determinar las rectas r, s y t de las que hallamos todas sus trazas. Vs A2 Vt r2 B2 s2 t2 C2 A1 r1 Unimos todas las trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. B1 s1 Hr t1 C1 Ht Hs hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. vα Vr Se unen los puntos dados A, B y C para determinar las rectas r, s y t de las que hallamos todas sus trazas. Vs A2 Vt r2 B2 s2 t2 C2 A1 r1 Unimos todas las trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. B1 s1 Hr t1 C1 Ht Hs hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR UNA RECTA Y UN PUNTO. PV V vα α A r V B t H hα H PH ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR UNA RECTA Y UN PUNTO. vα Vr Se elige un punto B que pertenece a la recta dada. A2 Dibujamos la recta que pasa por los puntos A y B. Vt r2 B2 t2 A1 r1 Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. B1 Hr t1 Ht hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR UNA RECTA Y UN PUNTO. vα Vr Se elige un punto B que pertenece a la recta dada. A2 Dibujamos la recta que pasa por los puntos A y B. Vt r2 B2 t2 A1 r1 Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. B1 Hr t1 Ht hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. PV V V α vα A r s H H hα PH ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. vα Vr Verificar que las rectas se cortan. Observamos si el punto de contacto de las proyecciones verticales coincide bajo la misma línea de correspondencia que el punto de contacto de las proyecciones hori- zontales. Vs Hs A2 r2 s2 Hr A1 Hallamos las trazas de las rectas r y s. r1 s1 Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. vα Vr Verificar que las rectas se cortan. Observamos si el punto de contacto de las proyecciones verticales coincide bajo la misma línea de correspondencia que el punto de contacto de las proyecciones hori- zontales. Vs Hs A2 r2 s2 Hr A1 Hallamos las trazas de las rectas r y s. r1 s1 Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. PV vα V α V s r H H hα PH ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos: POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. vα Si las rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones también lo serán. Vs Vr Hallamos las trazas de las rectas r y s. s2 r2 Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα. r1 s1 Hr Hs hα ESQUEMA DETERMINACIÓN DE PLANOS

A = NO B = SI C = SI D = SI E = NO F = SI SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA. Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones coinciden sobre las proyecciones correspondientes de la recta. Vr ¿Qué puntos están contenidos en alguna de las siguientes rectas? F2 F1 A = NO B = SI C = SI D = SI E = NO F = SI Vr r2 A2 A1 r2 E1 E2 D2 D1 r2 C2 C1 B2 B1 r1 Vr r1 Hr Hr Hr r1 ESQUEMA 2

A = SI B = NO C = NO D = SI E = NO F = SI SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA. Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones coinciden sobre las proyecciones correspondientes de la recta. ¿Qué puntos están contenidos en alguna de las siguientes rectas? Hr r2 r1 B1 B2 A2 A1 A = SI B = NO C = NO D = SI E = NO F = SI Vr Hr r2 r1 C2 C1 D1 D2 F1 F2 Vr Hr r2 r1 E1 E2 ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA. Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones coinciden sobre las proyecciones correspondientes de la recta. ¿Qué puntos están contenidos en alguna de las siguientes rectas? C = NO D = SI vP vP Hr r2 r1 B1 A2 A1 Vr C2 C1 r2 r1 D2 D1 Vr Hr r3 V3 A3 D3 C3 B3 r3 H3 hP hP ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA. Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones coinciden sobre las proyecciones correspondientes de la recta. ¿Qué puntos están contenidos en alguna de las siguientes rectas? C = NO D = SI vP vP Hr r2 r1 B1 A2 A1 Vr C1 r2 r1 D2 D1 Vr Hr r3 V3 A3 D3 C3 B3 r3 H3 hP hP ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando sus trazas coinciden sobre las trazas correspondientes del plano. vα PV Vr vα r2 α V r1 s Hr hα H PH hα ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. vα PV vα α Vr r2 V r r1 hα PH hα ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. PV vα vα α Vr r2 V r r1 hα hα PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. PV vα vα α r2 r Hr r1 H hα hα PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. PV PV vα vα r2 α vα r r α r1 H hα PH PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. PV vP vα PV vα vα α α r2 Vr V3 r3 r V PP Pα r Pα r1 H PH hα hα hα PH hP ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano. PV vP vα PV vα vα α α r2 Vr V3 r3 r V PP Pα r Pα r1 H PH hα hα hα PH hP ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO. Un punto pertenece a un plano cuando éste está contenido en una recta que pertenece al plano. 1. Se contiene al punto en una recta que pertenezca al plano. vα PV Vr vα A2 α s2 V A A1 s1 s Hr hα H hα PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO. Un punto pertenece a un plano cuando éste está contenido en una recta que pertenece al plano. Para comprobar si un punto pertenece a un plano lo más práctico es utilizar rectas horizontales o frontales de plano. vα PV vα α Vr A2 r2 V A r A1 r1 hα hα PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO. Un punto pertenece a un plano cuando éste está contenido en una recta que pertenece al plano. Para comprobar si un punto pertenece a un plano lo más práctico es utilizar rectas horizontales o frontales de plano. vα PV vα α Vr A2 r2 V A r A1 r1 hα hα PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos Cuando dos planos se cortan en el espacio generan una recta que pertenece a ambos planos. Los puntos de intersección entre las trazas de los planos coinciden con las trazas de la recta intersección. PV vα vα vβ vβ β α Vs Vr V s2 s2 s s1 s1 H Hr Hs hα hβ PH hα hβ ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL. PV vα vα vβ vβ α V Vr r2 r hα r1 β hα PH hβ hβ CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL. vα vβ Vr PV vα α V vβ r2 r β r1 hα H hα Hr PH hβ hβ CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE VERTICAL. vα PV vα Vr vβ V vβ α r2 r r1 β H Hr PH hβ hα hβ hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO HORIZONTAL. vβ PV vβ Vr vα r2 vα V r r1 α β PH hβ hβ CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO FRONTAL. vβ PV vβ α r2 r r1 hα Vr β hα H PH hβ hβ CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO DE PERFIL. hα vβ PV vβ Vr V3 α r2 r3 V Hr H3 r r1 β H PH hβ hβ hα hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS PROYECTANTES HORIZONTALES. PV vα vα vβ vβ β α r2 r r1 H Hr hα hβ PH hα hβ CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: PLANO PROYECTANTE VERTICAL Y OTRO PROYECTANTE HORIZONTAL. vβ vα PV vβ Vr V β r2 vα α r r1 hα H PH Hr hβ hβ hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO HORIZONTAL Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL. PV vα vα α Vr r2 vβ vβ V β r r1 hα PH hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO FRONTAL Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL. PV vα vα β α r2 r r1 hβ Hr hβ H hα PH hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO PARALELO A LA LT Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL. vα PV vα Vr vβ vβ V β α r2 r r1 hβ Hr hβ H hα PH hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS PARALELOS A LA LÍNEA DE TIERRA. vP vβ PV vβ Pβ vα β Pβ PP r2 r3 vα Pα α r r1 Pα hβ hβ PH hα hα hP CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE UN PLANO PARALELO A LA LT Y UN PLANO QUE PASA POR LA LT. vP PV Pβ A2 A3 β A vα Pβ r3 PP r2 vα r Pα hβ vβ r1 hβ vβ Pα A1 α PH hα hα hP CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN EN EL PV INFERIOR Y SUS TRAZAS HORIZONTALES EN EL PH ANTERIOR. PV vβ β vβ vα vα α r2 r H hβ PH hα Hr V Vr hβ r1 hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PLANO HORIZONTAL POSTERIOR Y EN EL PLANO VERTICAL INFERIOR. PV vβ vβ β vα α r vα H Hr hβ r1 PH hα hβ V Vr r2 hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO. 1. Se utiliza un plano horizontal auxiliar ω que corta a los planos α y β . 2. Se hallan las rectas de intersección s y t entre el plano auxiliar ω y los planos dados. 3. Las rectas s y t se cortan en el punto A que pertenece a la recta r intersección entre α y β. vβ vα r2 PV vβ β vα α Vr t2 s2 A2 Vr Vω V V Vω s t A ω t1 r1 s1 r A1 Hr H hβ hβ hα PH hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos: ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO. 1. Se utiliza un plano horizontal auxiliar ω que corta a los planos α y β . 2. Se hallan las rectas de intersección s y t entre el plano auxiliar ω y los planos dados. 3. Las rectas s y t se cortan en el punto A que pertenece a la recta r intersección entre α y β. vβ vα r2 PV vβ β vα α Vr t2 s2 A2 Vr Vω V V Vω s t A ω t1 r1 s1 r A1 Hr H hβ hβ hα PH hα CASOS ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre rectas y planos: Cuando una recta y un plano se cortan en el espacio generan un punto que pertenece a ambos. Para hallar este punto de intersección se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se contiene a la recta r dada en un plano auxiliar. 2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado. 3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada . obtenemos el punto de intersección I. vα vβ Vr PV α Vs V vβ β vα I2 r2 s2 V r I r1 I1 Hr s s1 Hs H hβ hβ hα PH H hα ESQUEMA 2

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT. SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre rectas y planos: INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT. 1. Se contiene a la recta r dada en un plano auxiliar. 2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado. 3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada obtenemos el punto de intersección I. vβ PV Vr V3 vβ r3 V vα Vs V3 r I2 I3 vα β s2 r2 s3 α V I H3 H3 s1 r1 I1 Hr s H hα Hs PH hα H hβ hβ ESQUEMA 2

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT. SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre rectas y planos: INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT. 1. Se contiene a la recta r dada en un plano auxiliar. 2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado. 3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada obtenemos el punto de intersección I. vβ PV Vr V3 vβ r3 V vα Vr V3 r I2 I3 vα β s2 r2 s3 α V I H3 H3 s1 r1 I1 Hr s H hα Hr PH hα H hβ hβ ESQUEMA 2

PARALELISMO ENTRE RECTAS. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo PARALELISMO ENTRE RECTAS. Si dos rectas son paralelas en el espacio, en el sistema diédrico sus proyecciones homónimas también lo serán. PV Vr Vr s2 r2 V V Vr Vr r1 s2 s s1 r2 r Hr r1 s1 H Hr Hr Hr H PH ESQUEMA 2

TRAZADO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo TRAZADO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO. 1. Por A2 se traza una recta paralela a r2 . Así obtenemos s2. 2. Por A1 se traza una recta paralela a r1 . Así obtenemos s1. PV Vs Vr A2 r2 V s2 V A s r1 r A1 s1 Hr H H Hs PH ESQUEMA 2

TRAZADO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo TRAZADO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO. 1. Por A2 se traza una recta paralela a r2 . Así obtenemos s2. 2. Por A1 se traza una recta paralela a r1 . Así obtenemos s1. PV Vs Vr A2 r2 V s2 V A s r1 r A1 s1 Hr H H Hs PH ESQUEMA 2

PARALELISMO ENTRE PLANOS. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo PARALELISMO ENTRE PLANOS. Si dos planos son paralelos en el espacio, en el sistema diédrico sus trazas homónimas también lo serán. PV hα vα α vα vβ vβ β hα hβ hβ PH ESQUEMA 2

TRAZADO DE UN PLANO PARALELO A OTRO POR UN PUNTO DADO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo TRAZADO DE UN PLANO PARALELO A OTRO POR UN PUNTO DADO. 1. Por el punto A se traza una recta horizontal r paralela a la traza horizontal del plano α dado. 2. Sobre la traza vertical de r se dibuja una recta paralela a vβ . Así obtenemos vα. 3. Por el punto de corte de vα con la LT se traza una recta paralela a hβ. Así obtenemos hα. PV vα vα vβ α Vr A2 vβ r2 β V A A1 r r1 hα hβ hβ hα PH ESQUEMA 2

TRAZADO DE UN PLANO PARALELO A OTRO POR UN PUNTO DADO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo TRAZADO DE UN PLANO PARALELO A OTRO POR UN PUNTO DADO. 1. Por el punto A se traza una recta horizontal r paralela a la traza horizontal del plano α dado. 2. Sobre la traza vertical de r se dibuja una recta paralela a vβ . Así obtenemos vα. 3. Por el punto de corte de vα con la LT se traza una recta paralela a hβ. Así obtenemos hα. PV vα vα vβ α Vr A2 vβ r2 β V A A1 r r1 hα hβ hβ hα PH ESQUEMA 2

PARALELISMO ENTRE RECTAS Y PLANOS. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo PARALELISMO ENTRE RECTAS Y PLANOS. Toda recta paralela a un plano es paralela a una de las rectas que están contenidas en él. El paralelismo entre rectas y planos, salvo excepciones, no se manifiesta directamente a diferencia del paralelismo entre rectas y el paralelismo entre planos. vβ PV Vr vβ Vs r2 s2 vβ V β s1 V r1 r s Hs hβ hβ H H hβ Hr PH ESQUEMA 2

RECTA PARALELA A UN PLANO PASANDO POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo RECTA PARALELA A UN PLANO PASANDO POR UN PUNTO. 1. Se traza una recta s que esté contenida en el plano β. 2. Finalmente, por el punto A se traza una recta r que sea paralela a la recta s. La recta r es paralela al plano β. Recordemos, toda recta paralela a un plano es paralela a una de las rectas que están contenidas en él. Por tanto, son infinitas las rectas paralelas al plano que pueden pasar por el punto. PV vβ Vr A2 Vs r2 s2 vβ V β s1 V A A2 A1 r1 r s Hs hβ A1 H H hβ Hr PH ESQUEMA 2

PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta r paralela a la recta s conocida. 2. Finalmente, se contiene a la recta r en un plano β. Los infinitos planos que pueden contener a la recta r son paralelos a la recta s dada. vβ PV r2 r1 Vr Hr A2 Vs s2 V vβ β s1 V A2 A A1 r s Hs A1 H hβ H hβ PH ESQUEMA 2

PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta r paralela a la recta s conocida. 2. Finalmente, se contiene a la recta r en un plano β. Los infinitos planos que pueden contener a la recta r son paralelos a la recta s dada. vβ PV r2 r1 Vr Hr A2 Vs s2 V vβ β s1 V A2 A A1 r s Hs A1 H hβ H hβ PH ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. TEOREMAS DE PERPENDICULARIDAD Si una recta es perpendicular a un plano, es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. r r r r u s t α ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. TEOREMAS DE PERPENDICULARIDAD Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, r por ejemplo, es paralela a un plano α, las proyecciones ortogonales r1 y s1 de ambas rectas sobre dicho plano, son también perpendiculares. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES s r s1 r1 α ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, r por ejemplo, está contenida en el plano α, las proyecciones ortogonales r1 y s1 de ambas rectas sobre dicho plano, son también perpendiculares. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES (CASO PARTICULAR) s s1 r r1 α ESQUEMA 2 Si una recta s es perpendicular a cualquier recta r de un plano α, su proyección ortogonal s1 sobre este plano también es perpendicular a r.

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, r por ejemplo, está contenida en el plano α, las proyecciones ortogonales r1 y s1 de ambas rectas sobre dicho plano, son también perpendiculares. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES (CASO PARTICULAR) s s1 r r1 α ESQUEMA 2 Si una recta s es perpendicular a cualquier recta r de un plano α, su proyección ortogonal s1 sobre este plano también es perpendicular a r.

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si la recta r es perpendicular al plano α será perpendicular a todas las rectas contenidas en éste, y por tanto, a su traza hα que es una recta contenida en el mismo. Se cumple, así, el teorema de las tres perpendiculares: si r es perpendicular a la traza horizontal hα contenida en H, su proyección ortogonal r1 también es perpendicular a hα. r2 vα Hr r Vr α r1 hα H r1 ESQUEMA 2 hα En el sistema diédrico una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones diédricas son perpendiculares a las trazas homónimas del plano.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE PASA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE PASA POR UN PUNTO. 1. Se traza una recta perpendicular a vα por A2. Así obtenemos la proyección vertical r2. 2. Se traza una recta perpendicular a hα por A1. Así obtenemos la proyección horizontal r1. vα PV A2 A2 vα r2 A α r2 r I2 Vr Hr I I1 r1 r1 hα A1 hα A1 RECORDEMOS: Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones diédricas son perpendiculares a las trazas homónimas del plano. ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta horizontal s perpendicular a r. Las proyecciones horizontales de ambas rectas serán perpendiculares (teorema de las 3 perpendiculares). 2. Se contiene a la recta horizontal s en un plano perpendicular a r. Por Vr se traza una recta perpendicular a r2. Así obtenemos vα. Para obtener hα, trazamos una paralela a s1 por el punto de corte de vα con la línea de tierra. r2 PV vα r2 r vα Vs A2 s2 s2 A2 Vs A s A1 s1 s1 A1 α r1 r1 hα PV ESQUEMA 2 hα

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta horizontal s perpendicular a r. Las proyecciones horizontales de ambas rectas serán perpendiculares (teorema de las 3 perpendiculares). 2. Se contiene a la recta horizontal s en un plano perpendicular a r. Por Vr se traza una recta perpendicular a r2. Así obtenemos vα. Para obtener hα, trazamos una paralela a s1 por el punto de corte de vα con la línea de tierra. r2 PV vα r2 r vα Vs A2 s2 s2 A2 Vs A r A1 s1 s1 A1 α r1 r1 hα PV ESQUEMA 2 hα

PLANO PERPENDICULAR A OTRO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. PLANO PERPENDICULAR A OTRO. Para que dos planos α y β sean perpendiculares es preciso que uno de ellos, por ejemplo β, contenga a una recta r perpendicular a α. Se deduce entonces, que los infinitos planos que contienen a la recta r son perpendiculares al plano α, por lo que este problema tiene infinitas soluciones. vα β vβ r2 r α Hr Vr 1. Se traza una recta r perpendicular al plano α. Para ello, sabemos que …ambas proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. r1 hβ hα 2. Contenemos a la recta r en un plano β. El plano β es perpendicular ….al plano α. ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A OTRO QUE PASA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. PLANO PERPENDICULAR A OTRO QUE PASA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta r perpendicular al plano α. Para ello, sabemos que las dos ….proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano. 2. Contenemos a la recta r en un plano β. El plano β contiene al punto A y es perpendicular al ….plano α. Recordemos que cualquier plano que contenga a la recta r es perpendicular a α. Vω A2 vα vβ β r2 Vπ r A α Hr Vr r1 hβ Hπ ESQUEMA 2 Hω hα A1

PLANO PERPENDICULAR A OTRO QUE PASA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. PLANO PERPENDICULAR A OTRO QUE PASA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta r perpendicular al plano α. Para ello, sabemos que las dos ….proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano. 2. Contenemos a la recta r en un plano β. El plano β contiene al punto A y es perpendicular al ….plano α. Recordemos que cualquier plano que contenga a la recta r es perpendicular a α. Vω A2 vα vβ β r2 Vπ r A α Hr Vr r1 hβ Hπ ESQUEMA 2 Hω hα A1

RECTA PERPENDICULAR A OTRA. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A OTRA. Si trazamos un plano cualquiera α, perpendicular a una recta r, cualquier recta que esté contenida en α, será perpendicular a r. 1. Se traza un plano α cualquiera, perpendicular a la recta r. La recta s es perpendicular ….a la recta r por estar contenida en un plano α que es perpendicular a r. 2. Seguidamente se traza una recta s arbitraria contenida en el plano α. vα r2 Vs r s2 α s s1 t u Hs Hr Vr r1 hα ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta s horizontal perpendicular a la recta r ( teorema de las tres ….perpendiculares). 2. Seguidamente se traza un plano α perpendicular a la recta r que contiene a la recta horizontal s. 3. Por el punto A se traza una recta arbitraria t, ….que esté contenida en el plano α. vα Vt t2 r2 Vs A2 s2 t1 Hr Vr A1 s1 Ht r1 Recordemos que cualquier recta que pase por el punto A y esté contenida en el plano α, siempre será perpendicular a la recta r. ESQUEMA 2 hα

RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO. SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad. RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO. 1. Por el punto A se traza una recta s horizontal perpendicular a la recta r ( teorema de las tres ….perpendiculares). 2. Seguidamente se traza un plano α perpendicular a la recta r que contiene a la recta horizontal s. 3. Por el punto A se traza una recta arbitraria t, ….que esté contenida en el plano α. vα Vt t2 r2 Vs A2 s2 t1 Hr Vr A1 s1 H t r1 Recordemos que cualquier recta que pase por el punto A y esté contenida en el plano α, siempre será perpendicular a la recta r. ESQUEMA 2 hα

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos viene dada por la longitud del segmento limitado en sus extremos por dichos puntos. En sistema diédrico un segmento se proyecta en su longitud real del espacio, sólo cuando éste se muestra paralelo a alguno de los planos de proyección. B2 B D d2 A DC Diferencia de cota A2 A1 d1 A1 d1 B1 α B1 D LA VERDADERA MAGNITUD de un segmento AB, es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento y la diferencia de cota entre los puntos extremos A y B, o también un cateto es la proyección vertical del segmento y el otro la diferencia de alejamiento entre los puntos A y B. DC ESQUEMA 3

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos viene dada por la longitud del segmento limitado en sus extremos por dichos puntos. En sistema diédrico un segmento se proyecta en su longitud real del espacio, sólo cuando este se muestra paralelo a alguno de los planos de proyección. B DA D D A Diferencia de cota d2 B2 A2 A1 d1 B1 α A1 DA d1 LA VERDADERA MAGNITUD de un segmento AB, es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento y la diferencia de cota entre los puntos extremos A y B, o también un cateto es la proyección vertical del segmento y el otro la diferencia de alejamiento entre los puntos A y B. B1 ESQUEMA 3

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. La distancia de un punto A a un plano α, viene dada por la longitud del segmento perpendicular al plano limitado en sus extremos por el punto A y el punto B de intersección con el mismo plano. A d2 vβ vα A2 DA Vi D D Hd B2 Vd i2 B α B1 1. Por el punto A se traza una recta d perpendicular al plano α. i1 DA 2. Hallamos el punto intersección B de la recta d con el plano α. Hi 3. El segmento AB es la distancia que separa al plano α del punto A. A1 Al no mostrarse AB paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud. d1 hα hβ 4. Utilizando la diferencia de alejamiento hallamos la verdadera magnitud D. ESQUEMA 3

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. La distancia de un punto A a una recta r, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a la recta r, limitado en sus extremos por el punto A y el punto B de intersección con la recta. vα vβ Vs r2 r D B2 Vt DA A2 d2 α t2 A D Hr Vr s2 B A1 s1 d1 DA 1. Por el punto A se traza un plano α perpendicular a la recta r. B1 2. Hallamos el punto intersección B de la recta r con el plano α. t1 r1 3. El segmento AB es la distancia que separa al punto A de la recta r. AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud. Hs hβ hα 4. Utilizando la diferencia de alejamiento hallamos la verdadera magnitud D. ESQUEMA 3

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS. La distancia entre dos rectas paralelas r y s, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a ambas rectas, limitado en sus extremos por los puntos de intersección con las rectas. vα vβ Vt r2 s r vω s2 B2 α Vt d2 D A t2 DC Vr A2 B Vs t2 t1 d1 1. Se traza un plano α perpendicular a las rectas r y s. A1 t1 B1 2. Hallamos los puntos de intersección A y B de las rectas ….r y s con el plano α. Ht D r1 s1 DC hω 3. El segmento AB es la distancia que separa a las rectas r y s. Ht AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud. hα hβ 4. Utilizando la diferencia de cota hallamos la verdadera magnitud D. ESQUEMA 3

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS. SISTEMA DIÉDRICO: Distancias. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS. La distancia entre dos planos paralelos α y β, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a ambos planos, limitado en sus extremos los puntos de intersección con cada uno de los planos. vω vα Vt r2 α β A2 vβ t2 A D B Vs DC B2 s2 Vr s1 B1 1. Se traza una recta r perpendicular a los planos. Hs D 2. Hallamos los puntos de intersección de la recta r … con los planos α y β. Así obtenemos A y B A1 DC hβ 3. El segmento AB es la distancia que separa a los planos α y β. t1 r1 AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud. hα Ht 4. Utilizando la diferencia de cota hallamos la verdadera magnitud D. ESQUEMA 3 hω

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. El giro es uno de los procedimientos empleados en geometría descriptiva para situar un elemento, punto, recta o plano en posición más cómoda o adecuada respecto a los planos de proyección. α A E1 Eje A’ β Recta de punta. Recta vertical. En este procedimiento la figura del espacio se desplaza, girando alrededor de una recta tomada como eje de giro. Este eje de giro puede adoptar cualquier posición con respecto a los planos de proyección, pero el caso más sencillo y general es cuando se toma una recta perpendicular a alguno de los planos planos del diedro, es decir, o una recta de punta o una recta vertical. PARA QUE UN GIRO QUEDE DEFINIDO TENEMOS QUE CONOCER: 1. ¿Qué es lo que gira? (un punto, una recta, un plano, etc.)....………………... 2. ¿Alrededor de qué recta gira? .…………………………………………………. 3. ¿Cuántos grados gira? (10º, 20º, 80º, 180º, etc.) ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. El giro es uno de los procedimientos empleados en geometría descriptiva para situar un elemento, punto, recta o plano en posición más cómoda o adecuada respecto a los planos de proyección. α A E1 Eje A’ β Recta de punta. Recta vertical. En este procedimiento la figura del espacio se desplaza, girando alrededor de una recta tomada como eje de giro. Este eje de giro puede adoptar cualquier posición con respecto a los planos de proyección, pero el caso más sencillo y general es cuando se toma una recta perpendicular a alguno de los planos planos del diedro, es decir, o una recta de punta o una recta vertical. PARA QUE UN GIRO QUEDE DEFINIDO TENEMOS QUE CONOCER: 1. ¿Qué es lo que gira? (un punto, una recta, un plano, etc.)....………………... 2. ¿Alrededor de qué recta gira? .…………………………………………………. 3. ¿Cuántos grados gira? (10º, 20º, 80º, 180º, etc.) ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PUNTO. Cuando un punto P gira alrededor de un eje E, describe una circunferencia que determina un plano α perpendicular al eje. El centro de la circunferencia E1 es la traza del eje con el plano, siendo su radio r la distancia del punto P al eje E. Eje α α = 90º con el eje E. r E1 P r β P’ En la figura el punto P gira alrededor de un eje E hasta la nueva posición P’, tras describir un ángulo β. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PUNTO. Para girar el punto P tomamos una recta vertical como eje de giro. El plano α, determinado por la circunferencia que describe el punto P al girar, es perpendicular al eje y paralelo al PH, por este motivo, todo lo que está contenido en el plano se proyecta en verdadera magnitud. Cuando un punto gira alrededor de un eje vertical su cota no varía. PV e2 E2 P2 P2’ P2 P2’ E r P β P’ α r Hr P1 e1 β r E1 P1’ Hr P1 P1’ PH ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PUNTO. Para girar el punto P tomamos una recta vertical como eje de giro. El plano α, determinado por la circunferencia que describe el punto P al girar, es perpendicular al eje y paralelo al PH, por este motivo, todo lo que está contenido en el plano se proyecta en verdadera magnitud. Cuando un punto gira alrededor de un eje vertical su cota no varía. Con un eje de punta el alejamiento no varía. PV E2 P2’ P2 P2’ E β e2 P2 Vr r P β P’ α r E1 Hr P1 P1’ P1 e1 P1’ PH ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UNA RECTA. Para girar una recta un ángulo determinado basta girar, con el mismo ángulo, a dos puntos de la misma. Caso 1: La recta es cortada por el eje. Caso 2: La recta y el eje se cruzan. Podemos distinguir dos casos Caso 1 Por un punto A de la recta r se traza un eje vertical e. 1. e2 Elegimos otro punto cualquiera de la recta r, por ejemplo el punto B, para hacerlo girar un ángulo β determinado. 2. A2 r2 r2’ Hacemos centro en e1, con radio hasta B1 trazamos un arco con ángulo β para obtener B1’. 3. B2 B2’ Unimos los puntos A1 y B1’ para obtener la proyección horizontal r1 de la recta girada. 4. Por B2 trazamos una recta auxiliar paralela a la LT que corta a la línea de correspondencia de B1’ en B2’. 5. e1 r1 A1 r1’ Unimos los puntos A2 y B2’ para obtener la proyección vertical r2’ de la recta girada. 6. B1 β B1’ ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UNA RECTA. Para girar una recta un ángulo determinado basta girar, con el mismo ángulo, a dos puntos de la misma. Caso 1: La recta es cortada por el eje. Caso 2: La recta y el eje se cruzan. Podemos distinguir dos casos Caso 2 Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e1. 1. e2 r2 Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A1’. Si r1 es perpendicular a n, entonces n’ será perpendicular a r1’. Por A1’ trazamos una recta perpendicular a n’, así obtenemos r1’. 2. A2 A2’ r2’ Elegimos otro punto B de la recta y lo giramos hasta hacerlo coincidir con r1’ en B1’. El ángulo girado de B es igual al de A. 3. B2 B2’ A1’ Por B2 y A2 trazamos rectas auxiliares paralelas a la LT que cortarán a las líneas de corres-pondencia de B1’ y A1’ en los puntos B2’ y A2’. 4. n’ r1’ B1’ e1 n β Unimos los puntos A2’ y B2’ para obtener la proyección vertical r2’ de la recta girada. 5. B1 A1 r1 ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UNA RECTA. Para girar una recta un ángulo determinado basta girar, con el mismo ángulo, a dos puntos de la misma. Caso 1: La recta es cortada por el eje. Caso 2: La recta y el eje se cruzan. Podemos distinguir dos casos Caso 2 Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e1. 1. e2 r2 Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A1’. Si r1 es perpendicular a n, entonces n’ será perpendicular a r1’. Por A1’ trazamos una recta perpendicular a n’, así obtenemos r1’. 2. A2 A2’ r2’ Elegimos otro punto B de la recta y lo giramos hasta hacerlo coincidir con r1’ en B1’. El ángulo girado de B es igual al de A. 3. B2 B2’ A1’ Por B2 y A2 trazamos rectas auxiliares paralelas a la LT que cortarán a las líneas de corres-pondencia de B1’ y A1’ en los puntos B2’ y A2’. 4. n’ r1’ B1’ e1 n β Unimos los puntos A2’ y B2’ para obtener la proyección vertical r2’ de la recta girada. 5. B1 A1 r1 ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PLANO. Para determinar las nuevas trazas de un plano α girado, podemos girar tres puntos del mismo, un punto y una recta o dos rectas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: Girando la traza horizontal del plano α y una de sus rectas horizontales cuando el eje es vertical. Se traza una recta r horizontal de plano que se corte con el eje e. 1. EJE VERTICAL e2 vα hα Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e1. 2. vβ’ Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A’. Si n es perpendicular a hα, entonces n’ será perpendicular a hβ’. Por A’ trazamos una recta perpendicular a n’. Así obtenemos hβ’ . 3. Vr r2’ Vr’ r2 Por e1 trazamos una recta paralela a hβ’. Así obtenemos r1’ y su traza . 4. ’ Trazamos la línea de correspondencia de ’ para obtener Vr’ sobre r2. La proyección vertical r2 de la recta coincide con la proyeción vertical de la recta girada r2’. 5. e1 n’ n A’ r1 A Unimos Vr’ y el punto de corte de la traza hβ’ con la LT para obtener la traza vertical del plano girado vβ’. 6. r1’ hβ’ ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PLANO. Para determinar las nuevas trazas de un plano α girado, podemos girar tres puntos del mismo, un punto y una recta o dos rectas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: Girando la traza vertical del plano α y una de sus rectas frontales cuando el eje es de punta. Se traza una recta r frontal de plano que se corte con el eje e. 1. e1 hα vα e2 EJE DE PUNTA vβ’ Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e2. 2. r2’ r2 A Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A’. Si n es perpendicular a vα, entonces n’ será perpendicular a vβ’. Por A’ trazamos una recta perpendicular a n’. Así obtenemos vβ’ . 3. n A’ n’ ’ Por e2 trazamos una recta paralela a vβ’. Así obtenemos r2’ y su traza ’. 4. Trazamos la línea de correspondencia de ’ para obtener Hr’ sobre r1. La proyección horizontal r1 de la recta coincide con la proyeción horizontal de la recta girada r1’. 5. r1 r1’ Hr’ Hr Unimos Vr’ y el punto de corte de la traza vβ’ con la LT para obtener la traza horizontal del plano girado hβ’. 6. hβ’ ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Giros. GIRO DE UN PLANO. Para determinar las nuevas trazas de un plano α girado, podemos girar tres puntos del mismo, un punto y una recta o dos rectas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: Girando la traza vertical del plano α y una de sus rectas frontales cuando el eje es de punta. Se traza una recta r frontal de plano que se corte con el eje e. 1. e1 hα vα e2 EJE DE PUNTA vβ’ Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e2. 2. r2’ r2 A Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A’. Si n es perpendicular a vα, entonces n’ será perpendicular a vβ’. Por A’ trazamos una recta perpendicular a n’. Así obtenemos vβ’ . 3. n A’ n’ ’ Por e2 trazamos una recta paralela a vβ’. Así obtenemos r2’ y su traza ’. 4. Trazamos la línea de correspondencia de ’ para obtener Hr’ sobre r1. La proyección horizontal r1 de la recta coincide con la proyeción horizontal de la recta girada r1’. 5. r1 r1’ Hr’ Hr Unimos Vr’ y el punto de corte de la traza vβ’ con la LT para obtener la traza horizontal del plano girado hβ’. 6. hβ’ ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. GENERALIDADES Abatir un plano α es hacer coincidir a éste con otro plano particular y fijo. El abatimiento de un plano se efectúa girando el mismo alrededor de una de sus trazas. Esta traza, que funciona como un eje de giro, recibe el nombre de charnela. En la práctica el plano fijo sobre el cual se abate, es uno de los planos de proyección, con lo cual todos los elementos contenidos en el plano móvil se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna en verdadera magnitud, aspecto que constituye el motivo principal del uso de este método. PV α vα A la traza que se usa como charnela se le designa con una ch, y a la traza abatida se le representa entre paréntesis. hα ch vα ( ) PH En un abatimiento siempre tenemos que especificar: Qué plano se abate. Qué traza se usa como charnela o eje de giro. En qué sentido gira el plano que se abate. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. GENERALIDADES Abatir un plano α es hacer coincidir a éste con otro plano particular y fijo. El abatimiento de un plano se efectúa girando el mismo alrededor de una de sus trazas. Esta traza, que funciona como un eje de giro, recibe el nombre de charnela. En la práctica el plano fijo sobre el cual se abate, es uno de los planos de proyección, con lo cual todos los elementos contenidos en el plano móvil se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna en verdadera magnitud, aspecto que constituye el motivo principal del uso de este método. PV α vα A la traza que se usa como charnela se le designa con una ch, y a la traza abatida se le representa entre paréntesis. hα ch vα ( ) PH En un abatimiento siempre tenemos que especificar: Qué plano se abate. Qué traza se usa como charnela o eje de giro. En qué sentido gira el plano que se abate. ESQUEMA 4

ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL PV PV vα ch vα α α ( ) hα hα hα ch vα ( ) PH PH vαch vα ( ) hα ( ) vα hαch hα hα COMO CHARNELA ESQUEMA 4 vα COMO CHARNELA

ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL PV PV vα ch vα α α ( ) hα hα hα ch vα ( ) PH PH vαch vα ( ) hα ( ) vα hαch hα hα COMO CHARNELA ESQUEMA 4 vα COMO CHARNELA

SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA. vα como charnela vαch PV (A) A2 A2 vαch (A) A (α) α B2 (C) (B) B2 C2 C2 (C) ( ) hα C (B) B B1 C1 A1 ( ) hα B1 hα A1 C1 PH hα Con centro en 0, abatimos la traza horizontal del plano α hasta hacerla coincidir con la LT. 1. Giramos las proyecciones horizontales A1, B1 y C1 hasta (hα) trazando arcos de circunferencia concéntricos en 0 (intersección de las trazas del plano con la línea de tierra). 2. Trazamos las líneas de correspondencia paralelas a la LT desde cada una de las proyecciones verticales de los puntos, así como las perpendiculares a (hα) desde los puntos de corte con los arcos para obtener los vértices abatidos (A), (B) y (C). 3. Unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida. 4. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA. hα como charnela vα A2 vα A2 PV A α B2 B2 C2 C2 C B B1 (B) C1 (C) A1 B1 hαch A1 (B) ( ) vα ( ) vα (A) (α) C1 (C) hαch PH (A) Trazamos una perpendicular a la charnela por 0, para obtener la traza vertical abatida (vα). 1. Desde las proyecciones horizontales de los vértices A1, B1 y C1, trazamos líneas de correspondencia perpendiculares a la charnela. 2. A continuación, sólo tenemos que trasladar las cotas de los puntos sobre cada una de las líneas de correspondencia para obtener los vértices abatidos de la figura. 3. Finalmente, unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida. 4. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA. hα como charnela vα A2 vα A2 PV A α B2 B2 C2 C2 C B B1 (B) C1 (C) A1 B1 hαch A1 (B) ( ) vα ( ) vα (A) (α) C1 (C) hαch PH (A) Trazamos una perpendicular a la charnela por 0, para obtener la traza vertical abatida (vα). 1. Desde las proyecciones horizontales de los vértices A1, B1 y C1, trazamos líneas de correspondencia perpendiculares a la charnela. 2. A continuación, sólo tenemos que trasladar las cotas de los puntos sobre cada una de las líneas de correspondencia para obtener los vértices abatidos de la figura. 3. Finalmente, unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida. 4. ESQUEMA 4

ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 1 SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 1 hα como charnela vα AN = N(A) vα α A2 PV A A2 N A1 r A1 N (r) (r) hαch (A) (A) PH hαch vα ( ) ( ) vα Elegimos un punto A sobre la traza vertical del plano vα. 1. Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2. Con centro en N y radio NA2, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto A abatido (La distancia NA2 se manifiesta en verdadera magnitud por lo que no cambia una vez abatida la traza). 3. Finalmente, unimos el punto N con el punto (A) para obtener la traza vertical del plano abatida. 4. ESQUEMA 4

ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 2 SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 2 hα como charnela vα vα α A2 PV A cota A2 N A1 cota r cota A1 cota r N (A) (A) (r) (r) (r) hαch (A) (A) PH hαch vα ( ) ( ) vα ESQUEMA 4 Elegimos un punto A sobre la traza vertical del plano vα. 1. Por A1 trazamos una perpendicular que corta a la charnela hαch en el punto 0. 2. Sobre el plano horizontal abatimos el triángulo formado por los vértices A2, A1 y 0. De este modo, trazamos la cota de A perpendicularmente al segmento 0A1 para obtener A abatido. 3. Al unir 0 con (A) obtenemos, en verdadera magnitud, el radio del arco que describe el punto A al girar alrededor de la charnela. 4. 5. Con centro en 0 y radio r trazamos un arco que corta a la perpendicular en (A). Al unir N con (A) obtenemos la traza vertical del plano α abatida.

ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 2 SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 2 hα como charnela vα vα α A2 PV A cota A2 N A1 cota r cota A1 cota r N (A) (A) (r) (r) (r) hαch (A) (A) PH hαch vα ( ) ( ) vα ESQUEMA 4 Elegimos un punto A sobre la traza vertical del plano vα. 1. Por A1 trazamos una perpendicular que corta a la charnela hαch en el punto 0. 2. Sobre el plano horizontal abatimos el triángulo formado por los vértices A2, A1 y 0. De este modo, trazamos la cota de A perpendicularmente al segmento 0A1 para obtener A abatido. 3. Al unir 0 con (A) obtenemos, en verdadera magnitud, el radio del arco que describe el punto A al girar alrededor de la charnela. 4. 5. Con centro en 0 y radio r trazamos un arco que corta a la perpendicular en (A). Al unir N con (A) obtenemos la traza vertical del plano α abatida.

DE UN PLANO OBLICUO QUE CONTIENE A UNA FIGURA PLANA SISTEMA DIÉDRICO: Abatimiento DE UN PLANO OBLICUO QUE CONTIENE A UNA FIGURA PLANA vα hα como charnela vα Vr B2 t2 α C PV Vr r2 A2 r2 Vr Vr A s2 r C2 N B r1 B1 r1 N A1 t1 (V) (t) C1 (B) hαch (V) (r) (C) (r) (A) PH A1 (C) vα ( ) s1 (s) hαch Trazamos una recta horizontal r por el vértice A. 1. ( ) vα (A) Por trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2. (B) Con centro en N y radio NVr, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (V). 3. Unimos el punto N con el punto (V) para obtener la traza vertical del plano α abatida. 4. Por (V) trazamos una paralela a la charnela. Así obtenemos (r). 5. Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela que corta a (r) en el vértice (A). Seguidamente repetimos el mismo proceso para los demás vértices. 6. ESQUEMA 4

DE UN PLANO OBLICUO QUE CONTIENE A UNA FIGURA PLANA SISTEMA DIÉDRICO: Abatimiento DE UN PLANO OBLICUO QUE CONTIENE A UNA FIGURA PLANA vα hα como charnela vα Vr B2 t2 α C PV Vr r2 A2 r2 Vr Vr A s2 r C2 N B r1 B1 r1 N A1 t1 (V) (t) C1 (B) hαch (V) (r) (C) (r) (A) PH A1 (C) vα ( ) s1 (s) hαch Trazamos una recta horizontal r por el vértice A. 1. ( ) vα (A) Por trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2. (B) Con centro en N y radio NVr, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (V). 3. Unimos el punto N con el punto (V) para obtener la traza vertical del plano α abatida. 4. Por (V) trazamos una paralela a la charnela. Así obtenemos (r). 5. Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela que corta a (r) en el vértice (A). Seguidamente repetimos el mismo proceso para los demás vértices. 6. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. GENERALIDADES Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles. El método consiste en, sin variar la posición de la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro que también sea perpendicular al plano de proyección que se conserva. De este modo, se obtiene un nuevo sistema diédrico de planos ortogonales. PV P PH Cambio de plano vertical ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. GENERALIDADES Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles. El método consiste en, sin variar la posición de la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro que también sea perpendicular al plano de proyección que se conserva. De este modo, se obtiene un nuevo sistema diédrico de planos ortogonales. PV Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario. PHr PH Cambio de plano horizontal ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. GENERALIDADES Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles. El método consiste en, sin variar la posición de la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro que también sea perpendicular al plano de proyección que se conserva. De este modo, se obtiene un nuevo sistema diédrico de planos ortogonales. A2 PV A Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario. PHr A1 A1’ PH Cambio de plano horizontal En los cambios de plano, la figura del espacio permanece fija mientras que uno de los planos cambia, luego la proyección de la figura sobre ese mismo plano también cambia. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. GENERALIDADES Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles. El método consiste en, sin variar la posición de la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro que también sea perpendicular al plano de proyección que se conserva. De este modo, se obtiene un nuevo sistema diédrico de planos ortogonales. PV A2 P A2’ A Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario. A1 PH Cambio de plano vertical En los cambios de plano, la figura del espacio permanece fija mientras que uno de los planos cambia, luego la proyección de la figura sobre ese mismo plano también cambia. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. NOTACIONES Al efectuar un cambio de plano, se coloca en la primitiva Línea de Tierra una llave con las letras V (para el plano vertical) y H (para el plano horizontal). La nueva Línea de Tierra, llevará la misma llave con las mismas letras H y V, afectando con el subíndice 1 a la que corresponda con el plano cambiado, así H indica que es el plano vertical el cambiado y VHr cuando se trata del horizontal. Cambio de plano vertical PH PV P V H H ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. NOTACIONES Al efectuar un cambio de plano, se coloca en la primitiva Línea de Tierra una llave con las letras V (para el plano vertical) y H (para el plano horizontal). La nueva Línea de Tierra, llevará la misma llave con las mismas letras H y V, afectando con el subíndice 1 a la que corresponda con el plano cambiado, así H indica que es el plano vertical el cambiado y VHr cuando se trata del horizontal. PH PV PHr Cambio de plano Horizontal 1 Hr V Hr V H Cambio de plano Vertical. 2 Si los dos planos han sido cambiados la indicación será Hr para la nueva LT. En el primer cambio de plano, la nueva línea de tierra se indicará además por dos trazos en los extremos situados debajo de ella y siempre en la parte correspondiente al plano horizontal. Si los planos cambiados han sido dos, ello se indica en la nueva línea de tierra por tres trazos. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. NOTACIONES Al efectuar un cambio de plano, se coloca en la primitiva Línea de Tierra una llave con las letras V (para el plano vertical) y H (para el plano horizontal). La nueva Línea de Tierra, llevará la misma llave con las mismas letras H y V, afectando con el subíndice 1 a la que corresponda con el plano cambiado, así H indica que es el plano vertical el cambiado y VHr cuando se trata del horizontal. PH PV PHr Cambio de plano Horizontal 1 Hr V Hr V H Cambio de plano Vertical. 2 Si los dos planos han sido cambiados la indicación será Hr para la nueva LT. En el primer cambio de plano, la nueva línea de tierra se indicará además por dos trazos en los extremos situados debajo de ella y siempre en la parte correspondiente al plano horizontal. Si los planos cambiados han sido dos, ello se indica en la nueva línea de tierra por tres trazos. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO VERTICAL Cuando se realiza un cambio de plano vertical, cambia la proyección vertical del punto mientras la proyección horizontal permanece fija. A2 A2’ PV H Cota A2 V H P A2’ A Cota A1 PH 1. Cambia la proyección vertical 2. Se mantiene la cota A1 3. Cambia el alejamiento Así mismo, se observa que la cota del punto permanece invariable, al no moverse el plano horizontal. Por el contrario, el alejamiento sí se modifica al moverse el plano vertical. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL Cuando se realiza un cambio de plano horizontal, cambia la proyección horizontal del punto mientras la proyección vertical permanece fija. A2 A2 PV A V Hr Alej. V H Alej. PHr A1’ A1 A1’ A1 1. Cambia la proyección horizontal. PH 2. Se mantiene el alejamiento. 3. Cambia la cota. Así mismo, se observa que el alejamiento del punto permanece invariable, al no moverse el plano vertical. Por el contrario, la cota sí se modifica al moverse el plano horizontal. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL Cuando se realiza un cambio de plano horizontal, cambia la proyección horizontal del punto mientras la proyección vertical permanece fija. A2 A2 PV A V Hr Alej. V H Alej. PHr A1’ A1 A1’ A1 1. Cambia la proyección horizontal. PH 2. Se mantiene el alejamiento. 3. Cambia la cota. Así mismo, se observa que el alejamiento del punto permanece invariable, al no moverse el plano vertical. Por el contrario, la cota sí se modifica al moverse el plano horizontal. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE DOS PLANOS . DE PROYECCIÓN. Cuando sea necesario realizar dos cambios de plano, se efectuará primeramente uno de ellos y a continuación el segundo. Caso1: Primero cambia el PH. A2 H Cota A2 A2’ Cota Cota V H V Hr Hr Alej. Cota Hr A1 Alej. V H Alej. Alej. A1’ A2’ A1’ A1 Caso2: Primero cambia el PV. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE DOS PLANOS . DE PROYECCIÓN. Cuando sea necesario realizar dos cambios de plano, se efectuará primeramente uno de ellos y a continuación el segundo. Caso 1 A2 H Cota A2 A2’ Cota Cota V H V Hr Alej. Cota Hr Hr A1 Alej. V H Alej. Alej. A1’ A2’ A1’ A1 Caso 2 ESQUEMA 4

LA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. LA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO Para determinar las nuevas proyecciones de una recta al efectuar un cambio de plano, basta con hallar las nuevas proyecciones de dos de sus puntos y unirlos para formar las nuevas proyecciones de la recta. En el ejemplo partimos de un cambio de plano horizontal. Como sabemos, en el cambio de plano horizontal se modifica la proyección horizontal de un punto, pero su alejamiento se mantiene sin variación. B2 r2 V Hr A2 V H Alej. Alej. r1 Por tanto, sólo tenemos que lanzar, desde las proyecciones verticales A2 y B2, las líneas de correspondencia que sabemos son perpendiculares a la nueva línea de tierra. A continuación, trasladamos los alejamientos correspondientes a cada B1 Alej. B1’ A1 r1’ Alej. A1’ punto para así obtener las nuevas proyecciones horizontales A1’ y B1’. Finalmente, unimos los dos puntos que determinarán la proyeción r2’. ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO, TRANSFORMAR UNA RECTA OBLICUA EN UNA RECTA HORIZONTAL O FRONTAL Para transformar una recta oblicua en una recta frontal, sólo basta con hacer un cambio de plano vertical de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección horizontal de la recta r1. Para transformar una recta oblicua en una recta horizontal, sólo basta con hacer un cambio de plano horizontal de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección vertical de la recta r2. B2 B2 V Hr Cota r2 r2 A2 A2 Alej. B1’ Cota V H Alej. r1’ H r1 B1 Cota A1’ V H A1 Alej. Alej. Cota r1 B1 r2’ A2’ B2’ ESQUEMA 4 A1

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO, TRANSFORMAR UNA RECTA OBLICUA EN UNA RECTA VERTICAL. Para transformar una recta oblicua en una recta vertical, primero transformamos a la recta oblicua en una recta frontal mediante un cambio de PV. A continuación transformamos a la recta frontal en una vertical mediante un cambio de PH. 1º Transformar la recta oblicua r en una recta frontal. Hacemos un cambio de plano vertical de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección horizontal de la recta. A continuación, trasladamos las cotas correspondientes a cada punto para obtener la nuevas proyecciones A1’ y B1’. Unimos los puntos y obtenemos la proyección vertical r2’ de la recta. B2 Cota r2 A2 Cota V H H Hr Alej. r1 B1 Cota 2º Transformar la recta frontal r en una recta vertical. Hacemos un cambio de plano horizontal de modo que la nueva LT quede perpendicular a la nueva proyección vertical r2’. Sobre las líneas de correspondencia trasladamos los aleja-mientos para obtener la nueva proyección horizontal de la recta r1’. Alej. A1 Cota r1’ r2’ A1’ Alej. A2’ B2’ ESQUEMA 4

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO, TRANSFORMAR UNA RECTA OBLICUA EN UNA RECTA VERTICAL. Para transformar una recta oblicua en una recta vertical, primero transformamos a la recta oblicua en una recta frontal mediante un cambio de PV. A continuación transformamos a la recta frontal en una vertical mediante un cambio de PH. 1º Transformar la recta oblicua r en una recta frontal. Hacemos un cambio de plano vertical de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección horizontal de la recta. A continuación, trasladamos las cotas correspondientes a cada punto para obtener la nuevas proyecciones A1’ y B1’. Unimos los puntos y obtenemos la proyección vertical r2’ de la recta. B2 Cota r2 A2 Cota V H H Hr Alej. r1 B1 Cota 2º Transformar la recta frontal r en una recta vertical. Hacemos un cambio de plano horizontal de modo que la nueva LT quede perpendicular a la nueva proyección vertical r2’. Sobre las líneas de correspondencia trasladamos los aleja-mientos para obtener la nueva proyección horizontal de la recta r1’. Alej. A1 Cota r1’ r2’ A1’ Alej. A2’ B2’ ESQUEMA 4

EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO VERTICAL SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO Para determinar las nuevas trazas de un plano α en un cambio de plano, podemos cambiar tres puntos del mismo, un punto y una recta, dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: CAMBIO DE PLANO VERTICAL PRIMER MÉTODO Primer método: Al tratarse de un cambio de plano vertical, la traza horizontal no sufre variación alguna. Seguidamente, elegimos el punto A que pertenece a la traza vertical y cuya proyección horizontal coincide sobre el punto de corte de las dos líneas de tierra. La línea de corres-pondencia del punto A será per-pendicular a las dos líneas de tierra, como se trata de un cambio de plano vertical, cambia la proyección vertical del punto pero no su cota que se traslada sobre la nueva línea de correspondencia para obtener A2’. Si vα pasa por A2, entonces vα’ pasará por A2’. Finalmente, unimos el punto de corte de hα con la LT con A2’ para obtener la nueva traza vertical. vα’ H vα A2 A2’ V H A1 hα ESQUEMA 4

EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO VERTICAL SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO Para determinar las nuevas trazas de un plano α en un cambio de plano, podemos cambiar tres puntos del mismo, un punto y una recta, dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: CAMBIO DE PLANO VERTICAL SEGUNDO MÉTODO Segundo método: Como se trata de un cambio de plano vertical, la traza horizontal no sufre variación alguna. vα’ vα H r2’ Vr r2 Una vez trazada la nueva línea de tierra, dibujamos una recta hori-zontal de plano r, cuya proyección horizontal r1 tampoco varía con el cambio de plano vertical. V H Vr’ ’ r1 La cota de la traza vertical de la recta no varía y la proyección vertical r2 seguirá siendo paralela a la LT del nuevo plano vertical. hα Si vα pasa por Vr, la nueva traza vα’ pasará por Vr’. Sólo tenemos que unir el punto de corte de la traza horizontal hα con la nueva línea de tierra y la traza vertical de la recta Vr’. ESQUEMA 4

EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO VERTICAL SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano. EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO Para determinar las nuevas trazas de un plano α en un cambio de plano, podemos cambiar tres puntos del mismo, un punto y una recta, dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo: CAMBIO DE PLANO VERTICAL SEGUNDO MÉTODO Segundo método: Como se trata de un cambio de plano vertical, la traza horizontal no sufre variación alguna. vα’ vα H r2’ Vr r2 Una vez trazada la nueva línea de tierra, dibujamos una recta hori-zontal de plano r, cuya proyección horizontal r1 tampoco varía con el cambio de plano vertical. V H Vr’ ’ r1 La cota de la traza vertical de la recta no varía y la proyección vertical r2 seguirá siendo paralela a la LT del nuevo plano vertical. hα Si vα pasa por Vr, la nueva traza vα’ pasará por Vr’. Sólo tenemos que unir el punto de corte de la traza horizontal hα con la nueva línea de tierra y la traza vertical de la recta Vr’. ESQUEMA 4

ABATIMIENTO DE UN PLANO PARALELO A LA LT SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos. ABATIMIENTO DE UN PLANO PARALELO A LA LT vα como charnela vπ (hα) (B) vα (A) V.M. PV vαch vα3 (α) C2≡ (C) α3 vαch A3 π C1 B2 hα3 α3 hα A1 α B1 hαch hα C1 hπ PH vα ( ) Elegimos un punto A sobre la traza vertical del plano vα. 1. Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2. Con centro en N y radio NA2, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto A abatido (La distancia NA2 se manifiesta en verdadera magnitud por lo que no cambia una vez abatida la traza). 3. Finalmente, unimos el punto N con el punto (A) para obtener la traza vertical del plano abatida. 4. ESQUEMA 4