INFERENCIA ESTADÍSTICA

INTERVALOS CARACTERISTICOS

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ + k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: P(μ – k < x < μ + k) = p

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Ejemplo_1 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9. Si dentro del intervalo hay un área de 0,9, fuera de él habrá 0,1. Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,05. Por tanto: P (z > k) = 0,05  P (z ≤ k) = 0,95 En las tablas encontramos p(1,64) = 0,9495, p (1,65) = 0,9505. Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,6451) = 0,9. Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total.

PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2 zα/2 0,9 0,05 1,645 0,95 0,025 1,96 0,99 0,005 2,575

Intervalos en N(μ, σ) A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable: X - μ Z = --------- σ Operando tenemos: X - μ = Z.σ  X = μ + Z.σ PERO K=X En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p=1 – α es: (-k, k) = (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) P(μ – k < x < μ + k) = p P(μ – Zα/2.σ < x < μ + Zα/2.σ ) = p

INTERVALOS Y VALORES CRÍTICOS En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Probabilidades Valor crítico Intervalos característicos 1 – α α/2 zα/2 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) 0,9 0,05 1,645 (μ – 1,645.σ , μ + 1,645.σ) 0,95 0,025 1,96 (μ – 1,965.σ , μ + 1,96.σ) 0,99 0,005 2,575 (μ – 2,575.σ , μ + 2,575.σ)

INTERVALOS Y NIVEL DE CONFIANZA k 0 k=zα/2 0,05 0,90 0,05 0,025 0,95 0,025 0,005 0,99 0,005 – 4.σ – σ μ + σ + 4.σ

Estimación de parámetros   Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un: Intervalo de confianza Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza específico. Nivel de confianza (1- α ) Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. Nivel de significacion (α ) o riesgo admisible Valor critico ( k) como (zα/2) Error de estimación admisible (E) Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Media y Proporción muestral EJEMPLOS DE MEDIA MUESTRAL, x La media de las edades de una muestra de alumnos es de 15,25 años. La media del sueldo bruto de una muestra de trabajadores es de 1250 €. La media de fallos cometidos en una muestra de dictados es de 21,35 EJEMPLOS DE PROPORCIÓN MUESTRAL, p’ En una muestra de alumnos 3 de cada 7 han suspendido. En una muestra de trabajadores el 18,37 % están en el paro. De los 200 asistentes, 5 adquirieron algún producto de la empresa. NOTACIONES En una población la media muestral es μ, y la desviación típica, σ. En una población la proporción media es μ = p, y la desviación típica, σ.

Estimación de parámetros   Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra. Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un: Intervalo de confianza Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un nivel de confianza específico. Nivel de confianza Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza. Error de estimación admisible Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Estimación de la media de una población Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Estimación de una proporción Si en una población, una determinada característica se presenta en una proporción p, la proporción p' , de individuos con dicha característica en las muestras de tamaño n, se distribuirán según:

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos. 1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes. 2.Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n ≥ 4

En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones? p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18 E = 0.2 - 0.18 = 0.02 P (1 - zα/2 <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314 0.8686 - 0.1314 = 0.737 Nivel de confianza: 73.72%

Prueba de hipótesis

Unidad III: Prueba de Hipotesis ¿Qué es una hipótesis? Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros: Media Varianza Proporción/Tasa OJO: Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis. Dicha creencia puede ser o no ser verdadera Unidad III: Prueba de Hipotesis

Contrastando una hipótesis Son demasiados... Creo que la edad media es 17 años... ¡Gran diferencia! Rechazo la hipótesis Muestra aleatoria Unidad III: Prueba de Hipotesis

Identificación de hipótesis Hipótesis nula Ho La que contrastamos Los datos pueden refutarla No debería ser rechazada sin una buena razón. Hipótesis Alternativa H1 Niega a H0 Los datos pueden mostrar evidencia a favor No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. Unidad III: Prueba de Hipotesis

Unidad III: Prueba de Hipotesis ¿Quién es H0? Problema: ¿La altura media o promedio de los estudiantes de la UASF es 1.60 m? Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hipótesis nula Unidad III: Prueba de Hipotesis

Unidad III: Prueba de Hipotesis ¿Quién es H0? Problema: El tiempo de vida promedio de una determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras es de 20,000 horas. Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hipótesis nula Unidad III: Prueba de Hipotesis

¿Quién es H0? Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta epidemia es una ciudad grande, no es mayor del 10%. Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hipótesis nula

Ejercicios: Durante los últimos semestres, el profesor de Estadística de una universidad ha registrado que el rendimiento medio de sus alumnos es de 14 puntos. Este año le ha tocado 40 alumnos sobresalientes porque su rendimiento medio ha sido 17 puntos y el profesor les proclama como superiores a todos los alumnos que ha tenido en la fecha. Qué hipótesis plantearía?

Región crítica y nivel de significación Valores ‘improbables’ si... Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H0 Nivel de significación: a Número pequeño: 1% , 5% Fijado de antemano por el investigador Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta a=5% Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 H0: m=40

Contrastes: unilateral y bilateral La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Bilateral H1: m¹20 Unilateral Unilateral H1: m<20 H1: m>20 Unidad III: Prueba de Hipotesis

Contraste Bilateral   Se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H0: μ = k (o bien H0: p = k) y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k). El nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas respecto de la media. La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente intervalo de probabilidad para x o p', es decir:

La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k). 1 - α α z α 0.90 0.10 1.28 0.95 0.05 1.645 0.99 0.01 2.33 Contraste unilateral   Caso 1 La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k). La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ < k (o bien H1: p < k). El nivel de significación α se concentra en una parte o cola. La región de aceptación en este caso será:

Caso 2 La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k). La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ > k (o bien H1: p > k). La región de aceptación en este caso será:

Establecimiento del procedimiento para una prueba de hipótesis 1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1. Bilateral H0=k H1 ≠ k Unilateral H0≥ k H1 < k H0 ≤k H1> k 2.A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α. Determinar: -El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales) -La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p') o intervalo de confianza Verificacion : Calcular el parametro muestral x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza. Bilateral H0=k H1 ≠ k Unilateral H0≥ k H1 < k Unilatera l H0 ≤k H1> k

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H0 : μ = 6 La nota media no ha variado. H1 : μ ≠ 6 La nota media ha variado . 2. Zona de aceptación Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: zα/2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78) 3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 . 4. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H0, con un nivel de significación del 5%.