Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS PROPÓSITO: Que el estudiante, resuelva cualquier triángulo oblicuángulo que se le presente a partir de tres datos, que correspondan a la medida de 3 elementos medibles. Como en los triángulos rectángulos, la resolución de triángulos oblicuángulos consiste en calcular las medidas desconocidas de los triángulos que se nos proponen. Pero, qué es un triángulo oblicuángulo? Un triángulo oblicuángulo es aquel triángulo cuyos lados son todos oblicuos entre sí; es decir no hay perpendicularidad entre ellos. En otras palabras; ningún ángulo es recto, no hay ángulo de 90º.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Primer trabajo: dibuja tres triángulos oblicuángulos diferentes. Compara la medida de los 3 ángulos de cada triángulo que dibujaste con la medida de los ángulos de cada triángulo de la diapositiva que sigue. Según la medida de cada uno de los 3 ángulos de los triángulos que dibujaste, clasifícalos según se asemejen a los de la diapositiva que sigue. Esa comparación utilízala para autoevaluar tu trabajo. Si encuentras diferencias, en una hoja de tu libreta, comenta en què consistieron las diferencias y que hiciste para adquirir el aprendizaje.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS TRIANGULOS ACUTÁNGULOS RECTANGULOS OBTUSÁNGULOS EQUILÁTEROS ISÓSCELES ESCALENO NO SE PUEDE NO SE PUEDE

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En tu libreta, escribe las siguientes aseveraciones y responde si es cierta o es falsa, justifica tu respuesta. Por ejemplo: Todo triángulo equilátero es oblicuángulo. Respuesta: Cierto, si es oblicuángulo porque en todos los triángulos equiláteros, la medida de sus 3 ángulos es igual a 60º; por lo que ninguno es de 90º, si no hay ningún ángulo recto, todos los triángulos equiláteros son oblicuángulos. (NOTA: PUEDES AYUDARTE CON LA FIGURA DE LA DIAPOSITIVA SIGUIENTE) Todos lo triángulos escalenos son oblicuángulos? Porqué? Un triángulo isósceles tiene que ser oblicuángulo? Porqué? Algún triángulo rectángulo puede ser oblicuángulo? Porque? 5) Todos los triángulos acutángulos son oblicuángulos? Porqué? 6) Todos los triángulos obtusángulos son oblicuángulos? Porqué?

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Ya sabemos qué es un triángulo oblicuángulo, ya lo identificamos, ya podemos decir si un triángulo que nos muestren es oblicuángulo o no y exponer la razón de nuestra respuesta. Retomemos ahora la definición de resolución de triángulos; sólo recordemos que resolver un triángulo es calcular o determinar la medida de los elementos medibles de un triángulo, a partir de conocer la medida de cuando menos tres de esos elementos. En los 3 triángulos que dibujaste primero y luego corregiste si fue necesario, identifica los 6 elementos medibles de cada uno. Es decir, ponle un nombre a cada ángulo y a cada lado. El que te parezca mejor, o más adecuado.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS El nombre de cada uno de esos 3 ángulos son letras minúsculas del alfabeto griego, y son: kappa (κ), lambda (λ) y mu o nu (μ) κ λ μ K L M Obviamente, los lados se llaman K, L y M. Esta acción es lo que se llama identificar los elementos medibles. Como en estos ángulos no hay ángulo recto, no hay catetos. Porqué? De la misma manera, tampoco hay hipotenusa. Porqué? Escribe tus respuestas en tu libreta. Pero si hay lados opuestos a ángulos y ángulos opuestos a lados.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS κ λ μ K L M En el triángulo: M es lado opuesto a (μ); K es lado opuesto a (κ) y L es lado opuesto a (λ). Copia en tu libreta y responde ahí mismo, las siguientes preguntas: Que ángulo se opone a M? Qué ángulo se opone a L? Qué ángulo se opone a K? Las respuestas congruentes a las preguntas anteriores son: Mu o nu. Lambda Kappa Respectivamente. A tus conocimientos, ya se puede añadir la identificación de lados y ángulos opuestos entre sí. FELICIDADES POR TODO ESO.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver adecuadamente un triángulo oblicuángulo cualquiera, debemos tener disponibles tres datos. Además, necesitamos de dos herramientas muy importantes: La ley de los senos y la ley de los cosenos, las cuales deberán memorizar. La primera dice asi: En un triángulo oblicuángulo, la razón entre la medida de un lado y el seno de su ángulo opuesto, es constante. Con símbolos, esto se escribe asi: refiriéndonos al triángulo de esta presentación La ley de los cosenos, dice: El cuadrado de un lado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman esos dos lados.. Refiriéndonos también al triángulo de esta presentación, esta ley se escribe así:

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver convenientemente un triángulo oblicuángulo, es necesario observar los datos que nos dan, para determinar cuál de las leyes utilizar para resolverlo. Por ejemplo, si conocemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, puede utilizarse la ley de los senos para calcular el opuesto al otro lado conocido. Conociendo la medida de dos ángulos, restamos su suma de 180º y obtenemos la medida del tercer ángulo. Utilizamos la ley de los senos para determinar la medida del único lado que desconocíamos. Si M = 8, L = 6 y μ = 123º, calcular κ, λ y K 8 6 ----------- = --------- esto queda: 8(senλ)=6(0.8386) Sen 123 Sen λ Senλ = (5.032)/8 senλ = 0.6290, entonces λ = 38.97º. κ λ μ K L M κ + λ + μ = 180, entonces κ + 38.97 + 123 = 180 κ = 180 – 161.97 κ = 18.03º 8/sen 123º = K /sen 18.03, entonces, K = 2.9524.

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Puede ser que los datos sean dos ángulos y el lado entre ellos. Esto se resuelve: Restamos de 180º la suma de los 2 ángulos conocidos. Utilizamos la ley de los senos dos veces para calcular los dos lados desconocidos. En el triángulo, κ = 37º, λ = 54ª y M = 8 μ = 180 – (37+64) = 180 – 101 = 79º μ = 79º Por la ley de los senos: (M/sen μ) = (K/sen κ) (8/sen 79) = (K/sen 37) 8/0.9816 = K/0.6018, entonces, K = 8(0.6018)/0.9816 K = 4.90 (M/sen μ) = (L/sen λ) (8/sen 79) = L/sen 54) 8/0.9816 = L/0.8090, entonces, L = 8(0.8090)/0.9816 L = 6.58 κ λ μ K L M

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS κ λ μ K L M Se conocen: dos lados y el ángulo que forman. M = 10, K = 5 y λ = 29º. Por la ley de los cosenos, calculamos el lado que falta. L2 = M2 + K2 – 2MKcosλ L2 = (10)2 + (5)2 – 2(10)(5)cos 29º L2 = 100 + 25 -2(10)(5)(0.8746) = 125 – 87.46 = 37.54 L = 6.1269 Por la ley de los senos: (M/sen μ) = (L/sen λ) 10/sen μ= 6.1269/sen λ 10/sen μ = 6.1269/0.4848 (10)(0.4848)/6.1269 = sen μ sen μ = 0.7912 μ = 52.30º K/sen κ = L/sen λ 5/sen κ = 6.1269/0.4848 (5)(0.4848)/6.1269 = sen κ sen κ = 0.198 κ = 11.0582

Geometría y trigonometría. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS κ λ μ K L M Se conocen los 3 lados: M = 9, K = 7, L = 5 Se calcula un ángulo con la ley de los cosenos. Por ejemplo: M2 = K2 + L2 – 2KLCos μ (9)2 = (7)2 + (5)2 – (2)(7)(5)cos μ 81 = 49 + 25 – (2)(7)(5)cos μ 81 = 74 – 70Cos μ 81 – 74 = - 70 cos μ 7 = -70 cos μ Cos μ = 7 / -70 = -0.10 Cos μ = -0.10 entonces, μ = 95.7391º Por la ley de los senos, calculamos el segundo ángulo: M/sen μ = L/sen λ 9/0.9949 = 5/sen λ Sen λ = (5)(0.9949)/9 Sen λ = 0.5527 λ = 33.5539º Por la ley de los senos, calculamos el último ángulo. M/Sen μ = K/Sen κ 9/0.9949 = 7/Sen κ Sen κ = (7)(0.9949)/9 Sen κ = 0.7738 Κ = 50.6973 Comprobación: 95.7391 + 33.5539 + 50.6973 = 179.9903, Muy aproximado a 180º