RESPUESTA TEMPORAL Analizaremos en este capítulo: - Rapidez. Tiempo en alcanzar el régimen permanente. - Amortiguamiento. Más o menos oscilaciones antes del régimen permanente. - Sistemas de 1º y 2º orden.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Función de Transferencia: F(s)= Y(s)/U(s) = 1/(1+s) = = (1/)/ (s+(1/)) = a/(s+a) Restricciones: - polo: s = -a = -1/ positiva (sistema estable) - ceros: no hay - ganancia estática: F(0)=1 (no hay error seguimiento en r.p.)

Y(s) = (1/s).a/(s+a) = 1/s - 1/(s+a) y(t) = 1 - e RESPUESTA A UN ESCALON -t/  Y(s) = (1/s).a/(s+a) = 1/s - 1/(s+a) y(t) = 1 - e u r.p.: y( )=1 E ( ) = 0 o o o o s 1 y 95% 99.3% 63.2% Tiempo de establecimiento al 5%: -t /  s  3 5 t 0.95 = 1 - e t = .Ln0.05 = 3  s -t/  F(s) = K.a/(s+a) y(t) = K.( 1 - e ) r.p.: y( )=K E ( ) = 1-K o o o o K s y 95% 99.3% 63.2%  3 5 t

RESPUESTA A UNA RAMPA LINEAL 2 2 Y(s) = (1/s ).a/(s+a) = 1/s - (1/a)/s + (1/a)/(s+a) -t/  y(t) = t -  +  e -t/  2 u(t) = vt.u (t) U(s) = (v/s ) y(t) = vt - v + v e u=vt v  y t

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 2  n : Amortiguamiento F(s) = 2 2 s + 2s +  n n : Pulsación propia no amortiguada n Restricciones: - ,son coeficientes positivos (sistema estable) - ceros: no hay - ganancia estática: F(0)=1 (no hay error seguimiento en r.p.) n

SITUACION DE POLOS Y RESPUESTA TEMPORAL 2 Polos: s = -  - 1 _ + n n Si > 1 : polos reales y negativos Si 0< < 1 : polos complejos conjugados con parte real negativa =0.5 =0 y =0 x x a =0.5 b  = arcsen  =2 =1 n y( )=1 o o 1 x x x =2 =1 =2 x x =0.5 =0 t

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO (> 1) 2 Polos: s = -  - 1 = -a + b = -a (lento) + n n 1 2 a .a =  1 2 n 2 s = -  - 1 = -a - b = -a (rápido) - n n 2 2 2   1 n 1 n Y(s) = = = s 2 2 s s + 2s +  (s + a) (s + a) n n 1 2 -a /(a - a ) a /(a - a ) 1 2 2 1 1 2 1 = + + s (s + a) (s + a) 1 2 a a -a t -a t 2 1 y(t) = 1 - .e + .e 1 2 (a - a ) (a - a ) 2 1 2 1

SISTEMA DE AMORTIGUAMIENTO CRITICO (= 1) Polos: s = -= -a n 2 2  a 1 n 1 Y(s) = = = s 2 s 2 (s + ) (s + a) n 1 -a -1 = + + s 2 (s + a) (s + a) -a t -a t y(t) = 1 - a.t.e - e

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO AL 5% -a t si a << a (>> 1) y(t) = 1 - e 1 1 2 -a t 0.95 = 1 - e 1 s t = 3/a s 1 -a t -a t = 1 y(t) = 1 - a.t.e - e -a t -a t s s 0.95 = 1 - a.t .e - e t = 4.74/a s s

SISTEMA SUBAMORTIGUADO (0<< 1) 2 2 Polos: s = -  - 1 = -a + b.j + a =   b=- 1 n n n n 2 s = -  - 1 = -a - b.j - n n Respuesta a un escalón: 2  1 n Y(s) = = s (s + a- b.j) (s + a + b.j) * 1 R R = + + s (s + a - b.j) (s + a + b.j) 2 2   n n 1 -j(+) R = = = .e  (- a + b.j).2bj j.(+) 2cos  .e .2bj n 2 1 -a.t y(t) = 1 - .e .cos(b.t - ) cos 

TIEMPO DE PICO Y SOBREPASO t = /b p 3 M -tg M p Sobrepaso M = e 1.05 p p 1 1º pico t , Sobrepaso M 0.95 2 p p M p 2 2º pico 2. t , Sobrepaso -M t p s p t t 2t 3t t 3 a p p p 3º pico 3. t , Sobrepaso M p p Ejemplo:  = 0.4 1º pico t , y = 1 + 0.254 = 1.254 p 2 2º pico 2. t , y = 1 - 0.254 = 0.935 p 3 3º pico 3. t , y = 1 + 0.254 = 1.016 p

RAPIDEZ Pulsación propia no amortiguada  n Pulsación propia  = b =  .cos  d n Tiempo de alcance t = ((/2) + )/( .cos ) a n Tiempo de pico t = /b p Tiempo de establecimiento al 5% t (y(t ) = 0.95) s s - no expresiones analíticas - hay discontinuidades

  / (rad)% t  t  t d n p n a n p n s PARAMETROS DE RESPUESTA A UN ESCALON DE UN SISTEMA DE 2º ORDEN SUBAMORTIGUADO   / (rad)% t  t  t d n p n a n p n s 0.2 0.980 0.201 52.7 1.81 3.21 13.7 0.25 0.968 0.253 44.4 1.88 3.24 10.8 0.3 0.954 0.305 37.2 1.97 3.29 10.1 0.35 0.937 0.358 30.9 2.06 3.35 7.88 0.4 0.917 0.412 25.4 2.16 3.43 7.61 0.45 0.893 0.467 20.5 2.28 3.52 5.25 0.5 0.866 0.524 16.3 2.42 3.63 5.29 0.55 0.835 0.582 12.6 2.58 3.76 5.29 0.6 0.800 0.644 9.5 2.77 3.93 5.23 0.65 0.760 0.708 6.8 3.00 4.13 5.03 0.7 0.714 0.775 4.6 3.29 4.40 2.90 0.75 0.661 0.848 2.8 3.66 4.75 3.12 0.8 0.600 0.927 1.5 4.16 5.24 3.38 0.85 0.527 1.016 0.6 4.91 5.96 3.68 0.9 0.436 1.120 0.2 6.17 7.21 4.01 0.95 0.312 1.253 0.0 9.04 10.06 4.37

ESPECIFICACION DE RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS EN GENERAL - Buscar los polos dominantes de 2º orden (resto de polos tienen módulo suficientemente grande o bien polos y ceros compensan sus efectos) - Diseños típicos: = 0.5 a 0.7 M = 15% a 5% p  = 30º a 45º

= arcsen  Polo lejano con efecto despreciable x Polos dominantes  Sistema ~ 2º orden x x Polo y cero compensan sus efectos Polos dominantes x Sistema ~ 2º orden x o x

EFECTO DE CEROS Y POLOS ADICIONALES 2  1 s-z n Cero adicional Y(s) = s 2 2 -z s + 2s +  n n -a.t j 1 -a+bj-z -j(+) y(t) = 1 + A .e .cos(b.t + ) A.e = .e . -z cos  Si z >>  el efecto del cero no es importante n 2  1 -p n Polo adicional Y(s) = s 2 2 s - p s + 2s +  n n 2 - -a.t -p.t n y(t) = 1 + A .e .cos(b.t + ) + R.e R = 2 2 p - 2p +  n n j 1 -p -j(+) A.e = .e . Si p >>  el efecto del polo no es importante n cos  -a+bj-p

Los ceros incrementan el sobrepaso y los polos lo disminuyen Los ceros adelantan el tiempo de pico y los polos los retrasan Regla general: Puede despreciarse el efecto de un cero o polo adicional si: - Su módulo es 5 veces mayor que el de los polos de 2º orden ( ) - Su constante de tiempo es 10 veces menor que la de los polos de 2º orden (1/a).  n