Tema 8. LA CIRCUNFERENCIA y x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 . -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 y = -2x + 1 r= 5 C(-2,5) . .P2(2,2) P1(-6,8) . Centro (-2,5) Radio=5 Tema 8. LA CIRCUNFERENCIA (y-k) (x-h) P (x,y) r Centro (h,k) Radio=r y  x C

LA CIRCUNFERENCIA Definición: Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro y la distancia constante se llama radio. y P (x,y)  r  C (h,k) x

Teorema: La circunferencia cuyo centro es el punto (h , k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación: (x-h)2 + (y-k)2 = r2 Aplicando el Teorema de Pitágoras queda: r2 = (x-h)2 + (y-k)2 (Ecuación ordinaria) y P (x,y)  (y-k) r  C (h,k) x (x-h)

Sustituyendo las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria: Corolario: La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación: x 2 + y2 = r2 (forma canónica) Sustituyendo las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria: r2 = (x-0)2 + (y-0)2  x2 + y2 = r2 (Ecuación canónica) y r x C(0,0)

Forma general de la ecuación de la circunferencia: Ecuación ordinaria (x-h)2 + (y-k)2 = r2 x2 +y2- 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 =0 donde D = -2h E = -2 k F = h2 + k2 – r2 Queda: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Desarrollando la ecuación ordinaria

Transformación de la ecuación general a la ecuación ordinaria de la circunferencia. x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0 Ecuación General de la circunferencia (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = -F Agrupación de términos semejantes Completación de cuadrados Si discriminante (r)  0  Circunferencia real Si discriminante (r) = 0  Circunferencia es un punto Si discriminante (r)  0  Circunferencia imaginaria

Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta 2x + y - 1 = 0 Solución: Si el centro (h,k) está sobre 2x + y - 1 = 0 entonces, (h, k) satisface la ecuación de la recta: 2h + k - 1 = 0 (1) y = -2x + 1 y P1(-6,8) . 8 7 6 5 4 .P2(2,2) 3 2 . 1 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 Como la circunferencia pasa por los puntos P(-6,8) y P’(2,2), entonces estos puntos satisfacen la ecuación de la circunferencia: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Para P1(-6,8) (-6-h)2 + (8-k)2 = r2 (2) Para P2(2,2) (2 - h)2 + (2-k)2 = r2 (3) Igualando 2 y 3 queda (-6-h)2 + (8-k)2 = (2-h)2 + (2-k)2

Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta 2x + y - 1 = 0 y = -2x + 1 y P1(-6,8) . 8 7 6 5 4 .P2(2,2) 3 2 . 1 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 Resolviendo se consiguen los valores de h, k, y r 36 –12h + h2 + 64 – 16k + k2 = 4 – 16h + h2 + 4 – 4k + k2 36 –12h + h2 + 64 – 16k + k2 = 4 – 16h + h2 + 4 – 4k + k2 (0 = 92 + 16h -12k)/4 (4) 0 = 23 – 4h + 3 k (4)

Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta 2x + y - 1 = 0 y = -2x + 1 y P1(-6,8) . 8 C(-2,5) . 7 6 5 4 .P2(2,2) 3 2 . 1 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 Resolviendo el sistema de ecuaciones entre (1) 2h + k - 1 = 0 y (2) 23 – 4h + 3 k = 0 queda: h = -2 y k = 5 Luego C = (-2,5)

Ejemplo, Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (-6,8), (2,2) y cuyo centro está sobre la recta 2x + y - 1 = 0 y = -2x + 1 y P1(-6,8) . 8 C(-2,5) . 7 6 5 Nota: Puede observarse que la circunferencia pasa por los puntos dados: (-6,8), (2,2) r= 5 4 .P2(2,2) 3 2 . 1 x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 Sustituyendo los valores de h y k en 3 (ó en 2), se obtiene r: La ecuación de la circunferencia buscada es: