Probabilidad clásica o teórica

Objetivo Al finalizar el modulo, el estudiante será capaz de calcular la probabilidad de un evento usando el enfoque de probabilidad clasica o teórica.

Probabilidad clásica o teórica   El enfoque clásico permite calcular el valor de la probabilidad antes de observar cualquier evento de la muestra. Para definir la probabilidad de un evento se deben satisfacer las condiciones que se indican a continuación. 

En el espacio muestral 𝑆, la cantidad de observaciones es finita. El número total de observaciones en el experimento es un número natural. Cada observación en el espacio muestral 𝑆 tiene la misma posibilidad de ocurrir.

Para calcular la probabilidad teórica de un evento 𝐸 se utiliza la siguiente fórmula: 𝑷 𝑬 = 𝐞𝐥 𝐧ú𝐦𝐞𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑬 𝐞𝐥 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝐞𝐥 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍

Ejemplo 1 Si tenemos una vasija con 1 bolita roja, 6 blancas y 3 amarillas y el evento 𝑨 consiste en sacar una bolita amarilla, entonces la probabilidad del evento A es 𝑃 𝑨 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑎marillas 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑠𝑖𝑗𝑎 = 3 1+6+3 = 3 10 =0.30 La probabilidad de sacar una bolita amarilla es de un 30%.

Ejemplo 2 Si tenemos una caja con 9 bolas enumeradas como se ilustra en la figura y el evento 𝐵 consiste en sacar la bola con el número siete, entonces la probabilidad del evento B es 𝑃 𝑩 = total de bolas enumeradas con el número siete número total de bolas en la caja = 1 9 ≈0.111   La probabilidad de sacar una bola con el número siete es aproximadamente de un 11%.

Resultados de tres lanzamientos de una moneda Ejemplo 3 Al lanzar una moneda tres veces, la posibilidad de que salga cara o cruz es igual en cada tirada. Si 𝑪 representa el resultado de cara y 𝑿 representa el resultado de cruz, entonces tenemos los ocho resultados posibles que se ilustran en la tabla. Resultados de tres lanzamientos de una moneda CCC XCC CXC CCX XXC XCX CXX XXX

Ejemplo 3 Al lanzar una moneda tres veces, la posibilidad de que salga cara o cruz es igual en cada tirada. Si 𝑪 representa el resultado de cara y 𝑿 representa el resultado de cruz, entonces tenemos los ocho resultados posibles que son: cara, cara, cara ↔ CCC cruz, cara, cara ↔ XCC cara, cruz, cara ↔ CXC cara, cara, cruz cruz, cruz, cara cruz, cara, cruz cara, cruz, cruz cruz, cruz, cruz

Resultados de tres lanzamientos de una moneda CCC XCC CXC CCX XXC XCX CXX XXX De acuerdo con la tabla insertada a la derecha, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras, dos caras, una cara o cero caras?

Elementos del espacio muestral Resultado de cada tirada Probabilidad P( # de caras) CCC   3 caras P( 3 caras) = 1 8 = 0.125 XCC 2 caras CXC P( 2 caras) = 3 8 = 0.375 CCX 2 caras XXC 1 cara XCX P( 1 cara ) = 3 8 = 0.375 CXX XXX 0 caras P( 3 caras) = 1 8 =0.125 La probabilidad de obtener tres caras es 12.5%. La probabilidad de obtener dos caras es 37.5%. La probabilidad de obtener una cara es 37.5%.

Ejemplo 4 Consideremos el lanzamiento de un dado de seis caras. En un solo lanzamiento existen seis posibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El dado está balanceado y cada número tiene la misma posibilidad de salir. Defínase el evento 𝑬 como el resultado de obtener el número cinco. La probabilidad de que ocurra el evento 𝑬 es 1 6 . Esto significa que de cada seis lanzamientos se espera que uno de ellos sea un cinco. 𝑃 𝐄 = 1 6

Ejemplo 5 Se lanzan 2 dados al mismo instante y el espacio muestral consiste en los siguientes resultados: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 6) Observamos que el total de resultados posibles es 21.

continuación del ejemplo 5 ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 6 ? Si el evento 𝐴 se define como el conjunto de las observaciones cuya suma es seis, entonces: 𝐴 = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }. P(𝐴) = 3 21 = 1 7 ≈ 0.1429 La probabilidad es aproximadamente 14.29%

Ejemplo 6 Si se lanzan dos dados: uno verde y otro rojo; ¿cuál sería el espacio muestral? El espacio muestral es el siguiente: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) El total de observaciones en el espacio muestral es 36.