Teoría de Colas

TEORÍA DE COLAS Análisis de tiempo de respuesta Nomenclatura Ws : tiempo promedio para atender una tarea μ = 1/ Ws : tasa de atención Wq : tiempo promedio de una tarea en cola W = Wq + Ws : Tiempo promedio de una tarea en el sistema (Tiempo de respuesta) λ : tasa de arribos (núm. promedio de tareas que llegan por unidad de tiempo) Ls : Número promedio de tareas en servicio Lq : Número promedio de tareas en cola L = Lq + Ls : Número promedio de tareas en el sistema

L = λ x W Lq = λ x Wq Ls = λ x Ws ρ = λ/μ TEORÍA DE COLAS (cont) LEY DE LITTLE L = λ x W Lq = λ x Wq Ls = λ x Ws UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR (O INTENSIDAD DE TRÁFICO) ρ = λ/μ

EJEMPLOS 1. Un sistema de E/S con un disco recibe 10 solicitudes de E/S por segundo. Si el tiempo promedio de servicio del disco es de 50 ms, cúal es la utilización del sistema de E/S?

λ = 10 E/S por seg. (IOPS) ρ = λ/μ = 10/20 = 0.5 EJEMPLOS 1. Un sistema de E/S con un disco recibe 10 solicitudes de E/S por segundo. Si el tiempo promedio de servicio del disco es de 50 ms, cúal es la utilización del sistema de E/S? λ = 10 E/S por seg. (IOPS) μ = 1/50ms = 1/0.05 seg= 20 E/S por seg. (IOPS) ρ = λ/μ = 10/20 = 0.5

EJEMPLOS 2. Un requerimiento de disco tarda en prom. 50 ms. Un sistema de E/S que tiene varios discos recibe 200 requerimierntos por segundo. Cuántas solicitudes en promedio están siendo atendidas por el servidor de disco (“disk server”)?

EJEMPLOS 2. Un requerimiento de disco tarda en prom. 50 ms. Un sistema de E/S que tiene varios discos recibe 200 requerimientos por segundo. Cuántas solicitudes en promedio están siendo atendidas por el servidor de disco (“disk server”)? Ls = λ x Ws = 200 x 0.05 = 10

Tiempo promedio de espera en servicio o tiempo residual ½ Ws (1 + Var (S) / Ws 2) = ½ Ws (1 + C) (si exponencial C = 1, y tiempo promedio de espera = Ws ) En donde S es la variable aleatoria que mide el tiempo de servicio. Si no se conoce Ws o Var(S) se estiman con la media muestral ponderada MMP o la varianza muestral (VM) respec : MMP = ( Σ fi x Ti )/ Σ fi donde fi frecuencia tarea i y Ti duración tarea i VM = ( Σ fi x Ti 2 )/ Σ fi - MMP2

TIEMPO DE RESPUESTA: W = Wq + Ws Wq = Lq x Ws + ρ [½ Ws (1 + C)]  (SI ES FIFO) Wq = λ x Wq x 1/µ + ρ [½ Ws (1 + C)]  Wq = ρ x Wq + ρ [½ Ws (1 + C)]  Wq (1- ρ) = ρ [½ Ws (1 + C)]  Wq = ρ [½ Ws (1 + C)] (1- ρ) W = ρ [½ Ws (1 + C)] + Ws

EJEMPLO Un procesador envía 10 solicitudes de E/S por segundo. El tiempo promedio de servicio es de 20 ms y Var(S)=4ms2 Calcule: a)Uso de disco b)Tiempo promedio en cola c)Tiempo promedio de respuesta

EJEMPLO Un procesador envía 10 solicitudes de E/S por segundo. El tiempo promedio de servicio es de 20 ms y Var(S)=4ms2 Calcule:a)Uso de disco, b)Tiempo promedio en cola y c)Tiempo promedio de respuesta Respuesta: ρ = λ/µ = 10/(1/0.02) = 0.2 Wq = ρ [½ Ws (1 + C)] = 0.2 (½ 0.02 (1 + 0.000004 s2 ) = (1- ρ) 0.8 0.02 s2 = 0.002525 seg. c) W = 0.002525 + Ws = 0.002525 + 0.02 = 0.022525 seg.