CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD

Objetivo: Presentar los conceptos indispensables para entender la confiabilidad Propósitos presentar el concepto de tiempo de vida y falla exponer el concepto de distribución de probabilidad definir confiabilidad definir MTBF - MTTF explicar el “tiempo de misión” visualizar la velocidad de falla gráficamente presentar los elementos de estadística descriptiva obtener una distribución empíricamente

¿POR QUÉ CONFIABILIDAD? El cliente es más crítico y más consciente de las características del producto Las compañías que sobreviven en los negocios son aquellas capaces de controlar la confiabilidad de sus productos Los costos de la mala calidad de productos sin confiabilidad pueden ser muy altos

CONFIABILIDAD ¿PARA QUÉ? ¿Cuál es la vida promedio del producto? ¿Cuántas fallas espera el próximo año? ¿Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio a este producto? ¿Cómo podemos hacerlo más efectivo en costo?

TIEMPO DE VIDA Y FALLA La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida de un producto. Durante este período el cliente obtiene las características ofrecidas intencionalmente. Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la característica ofrecida al cliente, se considera que ha habido una Falla del producto. Esto representa el término del tiempo de vida.

MODELOS DE TIEMPO DE VIDA Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La frecuencia relativa o la probabilidad con que ocurrirá ese tiempo. La regla que asigna valores de frecuencia relativa o probabilidades a los valores de una variable se llama Distribución de Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t) Predice el comportamiento de cualquier situación probabilística Probabilidad de t de caer en algún punto del rango t1 a t2 El área total bajo la curva siempre es 1 o 100% t1 t2

EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Histograma PDF Weibull

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta un tiempo t1, obtenemos la Distribución de Probabilidad Acumulada {CDF ó F(t)}. F(t1) = P(t  t1)

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD Función de Distribución Acumulada La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor específico, e.g., t1 Cuando la variable es tiempo de falla, esto representa la no confiabilidad o la probabilidad de que una unidad falle antes del tiempo t1

DISTRIBUCION ACUMULADA DE PROBABILIDAD Función de Densidad de Probabilidad Función de Distribución Acumulada 1 No confiabilidad, F(t) t1 t1

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema ejecute su función de intención sin fallar para un intervalo específico, bajo condiciones establecidas. Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un determinado tiempo. R(t) = 1 - F(t) Algunos autores presentan como sinónimos Supervivencia y Confiabilidad

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD Función de Densidad de Probabilidad Función de Confiabilidad 1 t1 t1

MTBF - MTTF Si el tiempo de vida para una característica de calidad es una variable aleatoria y conocemos su distribución de probabilidad , podemos calcular una medida de localización, por ejemplo el valor de su media. El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo en Inglés, y se refiere a una medición básica de confiabilidad para artículos que se pueden reparar. MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto es para artículos que no pueden ser reparados.

MTBF - MTTF 98.932 La media estimada del tiempo de vida está marcada con la línea punteada es de 98.932, se obtuvo calculando el promedio de los tiempos La media calculada para esta distribución Weibull es función de sus parámetros h=2 y b=2 1.77245

¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión) Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado durante el cual el producto entrega la característica de calidad satisfactoriamente. El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y sirve para establecer una meta de logro por parte del producto en cuanto a sus características. Tiempo de Misión ¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión)

VELOCIDAD DE FALLA h(t) = PDF / R(t) La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa de Falla es la fracción de fallas probables entre la proporción de supervivientes al tiempo t. Cuando se conoce la Distribución de Probabilidad de t, se calcula a partir de h(t) = PDF / R(t) Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos que quedan. La tasa de falla representa la propensión a la falla de un producto como una función de su edad o tiempo en operación. La tasa de falla en cualquier tiempo dado es la proporción que caerá en la siguiente unidad de tiempo respecto a aquellas unidades que han sobrevivido a este tiempo.

TASA DE FALLA O TASA DE RIESGO Por ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a prueba en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos están trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguientes horas como lo ilustra la figura. No. de sobrevivientes 1000 400 350 300 tiempo 0 2000 2100 2200 horas La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es: h(2000) = (número de fallas por hora posteriores a las 2000 horas) número de sobrevivientes a las 2000 horas = (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es: h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora

“TINA DE BAÑO” Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una población a través del tiempo se observa un comportamiento descrito como la “Tina de baño” h(t) Fallas “infantiles” Fallas por deterioro Fallas constantes t

ESTADISTICA DESCRIPTIVA La Estadística Descriptiva se orienta a proporcionar una descripción útil, clara e informativa de una masa de datos numéricos. Esto se hace al considerar tópicos como: la colección y procesamiento de datos originales, presentación tabular y gráfica, fuentes de datos, distribución de frecuencias, medidas de tendencia central y medidas de dispersión. Un histograma es una descripción útil, clara e informativa de la distribución de frecuencias

ESTADISTICOS Un estadístico es cualquier función de las observaciones en una muestra aleatoria, que no dependa de parámetros desconocidos La media muestral, la varianza muestral, la desviación estándar muestral y los coeficientes de variación, sesgo y curtosis son algunos de los estadísticos más comunes. Obsérvese que como un estadístico es una función de los datos provenientes de una muestra aleatoria, es a su vez una variable aleatoria. Es decir, si se obtuvieran dos muestras aleatorias diferentes provenientes de la misma población y se calcularan las medias muestrales, podría esperarse que los valores obtenidos fueran diferentes.

Estadística Descriptiva Medidas Descriptivas Descripción POBLACION MUESTRA Otras medidas son la mediana y la moda, la media tiene propiedades estadísticas mejores Medida de tendencia central MEDIA Medida de dispersión la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza VARIANZA Medida del grado de variabilidad La Normal tiene un rango 0.05<CV<0.25 La exponencial: CV= 1 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = S x COEFICIENTE DE SESGO Medida de Simetría a3<0 cola izquierda a3=0 simétrica (v.gr.Normal) a3>0 cola derecha Medida de Agudeza COEFICIENTE DE CURTOSIS a4<0 - aguda que la Normal a4=0 aguda como Normal a4>0 +aguda que la Normal

Estadística Descriptiva ¿Porqué son importantes los estadísticos? Describen completamente los datos Coeficiente de Variación CV comúnmente utilizado para describir propiedades mecánicas de los materiales. aproximadamente 15% para fractura aproximadamente 7% para resistencia a la cedencia ayudan a determinar la distribución apropiada la distribución normal tiene un rango 0.05 < CV < 0.25 Exponencial CV = 1

Estadística Descriptiva ¿Porqué son importantes los estadísticos? Coeficiente de sesgo medida de simetría 3 < 0 distribución sesgada a la izquierda(tiene una cola a la izquierda) 3 = 0 distribución simétrica Distribución Normal 3 = 0 3 > 0 distribución sesgada a la derecha (tiene una cola a la derecha Coeficiente de curtosis medida de agudeza (puntiaguda) 4 < 3 distribución menos aguda que la Normal 4 = 3 distribución Normal 4 > 3 distribución más aguda que la Normal

Estadística Descriptiva Porqué son importantes los estadísticos los tres ayudan a determinar los parámetros de la distribución CV La Exponencial tiene un CV constante El parámetro de forma de la distribución Weibull es bien estimado con el coeficiente de variación CV coeficientes de sesgo y curtosis la relación entre ellos ayuda a determinar la distribución que mejor se ajusta

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN PDF = f ( t ) = l e - l t Distribución Exponencial CDF = F ( t ) = 1 - e - l t CONFIABILI DAD = R ( t ) = e - l t TASA DE FALLA = h ( t ) = l 1 MEDIA = l = 0.003, MEDIA = 333 = 0.002, MEDIA = 500 = 0.001, MEDIA = 1,000

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN - 1 æ t ö b æ t ö - ç ÷ ç ÷ PDF = f ( t ) = ç ÷ e è h ø Distribución Weibull 2 parámetros ç ÷ h h è ø b æ t ö - ç ÷ ç ÷ CDF = F ( t ) = 1 - e è h ø b æ t ö - ç ÷ ç ÷ CONFIABILI DAD = R ( t ) = e è h ø b - 1 b æ t ö TASA DE FALLA = h ( t ) = ç ÷ ç ÷ h h è ø æ 1 ö MEDIA = h G ç 1 + ÷ ç ÷ b è ø

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN Abra el archivo Distribución.xls Señale la columna de tiempo y pongala en orden ascendente Veamos cómo se construyen las curvas de distribución usando el EXCEL

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN Agregue un renglón inicial con cero y una columna con un contador que inicie en cero Obtenga R(t) por la diferencia R(t) = 1-F(t) Agregue una columna donde estime F(t) usando la fórmula de Kaplan Meier*: ( F(t) = i/N) Note que puede estimar la Confiabilidad de 90% para un tiempo de 35.389 * La fórmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN Se estima la tasa de falla para los tiempos observados, con el inverso del número de supervivientes 1/(N+1-i) Por último se estima el intervalo de confianza normal al 95% para la confiabilidad

EJEMPLO DE DISTRIBUCIÓN Gráficas de Confiabilidad R(t) y de la Función Acumulada F(t) generadas en EXCEL Recuerde que: R(t) = 1- F(t)

EJEMPLO DE DISTRIBUCION Use el archivo: distribución.mtw Ahora en Minitab...

Para un tiempo de 35.389 la confiabilidad es del 90% Cálculo de R(t) para un tiempo Distribution Analysis Variable: tiempo Censoring Information Count Uncensored value 60 Nonparametric Estimates Characteristics of Variable Standard 95.0% Normal CI Mean Error lower upper 98.9320 8.4776 82.3162 115.5478 Median = 75.8120 IQR = 83.4620 Q1 = 49.5260 Q3 = 132.9880 Kaplan-Meier Estimates Number Number Survival Standard 95.0% Normal CI Time at Risk Failed Probability Error Lower Upper 9.5200 60 1 0.9833 0.0165 0.9509 1.0000 27.9780 59 1 0.9667 0.0232 0.9212 1.0000 28.8550 58 1 0.9500 0.0281 0.8949 1.0000 29.3740 57 1 0.9333 0.0322 0.8702 0.9965 34.8990 56 1 0.9167 0.0357 0.8467 0.9866 35.3890 55 1 0.9000 0.0387 0.8241 0.9759 39.6550 54 1 0.8833 0.0414 0.8021 0.9646 43.4610 53 1 0.8667 0.0439 0.7807 0.9527 43.8810 52 1 0.8500 0.0461 0.7597 0.9403 45.3520 51 1 0.8333 0.0481 0.7390 0.9276 45.7350 50 1 0.8167 0.0500 0.7188 0.9146 46.0760 49 1 0.8000 0.0516 0.6988 0.9012 46.6130 48 1 0.7833 0.0532 0.6791 0.8876 49.0890 47 1 0.7667 0.0546 0.6596 0.8737 49.5260 46 1 0.7500 0.0559 0.6404 0.8596 49.6190 45 1 0.7333 0.0571 0.6214 0.8452 52.3110 44 1 0.7167 0.0582 0.6026 0.8307 Para un tiempo de 35.389 la confiabilidad es del 90%

INTERPRETACION DE RESULTADOS Observamos las gráficas de las distribuciones empíricas de: riesgo y confiabilidad Las asignaciones de probabilidades se basan sólo en las frecuencias observadas, y no suponen ningún modelo especial.

PUNTOS CLAVE tiempo de vida y falla distribución de probabilidad confiabilidad MTBF - MTTF tiempo de misión velocidad de falla estadística descriptiva distribución empírica

REFERENCIAS Statistical Methods for Reliability Data, Meeker and Escobar, 1998 Handbook of Reliability Engineering and Management by Ireson, Coombs, and Moss, McGraw Hill, 1990 Engineering Statistics Handbook, capitulo 8, en http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm How To Plan An Accelerated Life Test -- Some Practical Guidelines., Meeker and Hahn, ASQ Reliability and Life Testing Handbook, Vols.1 y 2, Dimitri Kececioglu, Prentice Hall, 1991 Electronic Component Reliability, Finn Jensen, Wiley, 1998 Reliability Review, ASQ Brian Henninger’s accelerated test project Software - Minitab version 12.2 (Minitab Inc) y WEIBULL 5.0 (Reliasoft) Otras fuentes - Mechanical Prediction Library, Reliability Tips, Brian Henninger, Doug Kemp, Ken Zagray, Bill Wunderlin, Alex Cambon, University of Maryland Accelerated Testing Course - Modarres