metodo geometrico de extraccion de endmembers 1 Metodo geométrico para la extracción de endmembers

metodo geometrico de extraccion de endmembers2 Resumen El diagrama de la dispersion de los datos multiespectrales tiende a ser triangular (2 dimensiones) con el extremo en el punto oscuro (correspondiente a la ausencia de iluminación). Los datos, por tanto, no siguen una distribución normal. La transformación de mínimo volumen (MVT) corresponde a un conjunto de ejes no ortogonales que parten del punto oscuro y abarcan estrechamente la muestra.

metodo geometrico de extraccion de endmembers3 Estructura triangular de la dispersión de los puntos en un espacio bidimensional definido por dos bandas.

metodo geometrico de extraccion de endmembers4 Representación del proceso de ajuste de los ejes

metodo geometrico de extraccion de endmembers5 Diagrama trino: representa la proyección desde el punto oscuro de los datos en un plano definido por tres de las bandas de la imagen. Hace el papel de una sección cruzada de los datos. En general la forma de la proyección no es elíptica

metodo geometrico de extraccion de endmembers6 Relación con spectral unmixing El simplex definido por el LMM coincide con el simplex encontrado por MVT. Asume que el diagrama de dispersión mantiene suficiente estructura como para recuperar el simplex. Las coordenadas en el espacio definido por los ejes del MVT no coinciden con las abundancias.

metodo geometrico de extraccion de endmembers7 Variantes del MVT Supone que los datos son full-rank, que el origen O está trasladado al “punto oscuro” y que u es un vector de magnitud unidad. 1- punto oscuro fijo (dark point fixed DPFT): los datos se proyectan en el hiperplano unidad u t x=1. Las nuevas coordenadas se calculan respecto de los vectores borde del simplex mínimo con un vértice en O. 2- punto fijo libre (fixed point free FPFT): corresponde con las coordenadas baricentricas de los datos respecto de los vértices del simplex mínimo. La restricción full-rank implica que puede ser necesario/deseable aplicar tecnicas de reducción de dimensiones antes de MVT.

metodo geometrico de extraccion de endmembers8 DPFT El objetivo es encontrar los punto P i tales que el simplex OP 1..P n sea de mínimo volumen y contenga todos los datos. La cara opuesta a O contiene las proyecciones desde O de todos los datos. Dada la transformación u t x=1, y si P es la matriz [P i ] y Q su inversa: u t P=u t y u t Q=u t. El volumen del simplex viene dado por: abs (det P)/n! La condición para que los x estén en la cara opuesta a O es que y=Px sea no negativo. El problema se define por tanto como max abs(det Q) Sujeto a Qx ≥0.

metodo geometrico de extraccion de endmembers9 El problema se replantea como la maximización del producto de las z i sujetas a: Sean a,b,c los valores mínimos en las coordenadas x, y, z de los datos Podemos escoger inicialmente : Las variaciones de Q se hacen modificando una columna y reescalando el resto. Dado Q=(q ij ), la variación de la k-esima fila introduce un escalado para z i para las restantes filas. Las restricciones que deben cumplir las nuevas coordenadas son:

metodo geometrico de extraccion de endmembers10 Los optimos pueden caer o no en una esquina de la region de soluciones factibles. El problema no esta bien definido para n>3. Se utiliza el simplex para obtener el óptimo

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