31 Olimpiada Matemática Thales Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 S.A.E.M THALES 1

Pintando cubos 31 Olimpiada Matemática Thales S.A.E.M THALES Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 2 2

Solución Menú Problema nº 5: PINTANDO CUBOS Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cm de arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores. Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una sola cara pintada, que sin ninguna.” ¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz? Razona tu respuesta Solución Menú 3 3

Solución: Enunciado Menú Comenzamos con 1 cubito: Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas. Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2: En este caso todos los cubitos tendrán tres de sus caras pintadas. Enunciado Menú 4

Solución: Enunciado Menú Continuamos con el cubo de lado 3: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú 5

Solución: Enunciado Menú Continuamos con el cubo de lado 4: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú 6

Solución: Enunciado Menú Continuamos con el cubo de lado 5: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú 7

Solución: Enunciado Menú Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos: Cubos de lado n Cubitos 1 cara pintada Cubitos 0 caras pintada n=5 6·(5-2)2 (5-2)3 n=4 6·(4-2)2 (4-2)3 n=3 6·(3-2)2 (3-2)3 n=2 6·(2-2)2 (2-2)3 Enunciado Menú 8

Solución: Enunciado Menú Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2. Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2 El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2 El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3 Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3 De donde 6=n-2 por tanto n=8 Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos de 1cm de arista. Enunciado Menú 9

Solución: Enunciado Menú Vamos a verificarlo con una tabla: Lado n Cubitos con una cara pintada 6·(n-2)2 Cubitos con ninguna cara pintada (n-2)3 Igual número de caras Lado 1 Imposible Lado 2 6·(2-2)2 = 0 (2-2)3 = 0 Si Lado 3 6·(3-2)2 = 6 (3-2)3 = 1 No Lado 4 6·(4-2)2 = 24 (4-2)3 = 8 Lado 5 6·(5-2)2 = 54 (5-2)3 = 27 Lado 6 6·(6-2)2 = 96 (6-2)3 = 64 Lado 7 6·(7-2)2 = 150 (7-2)3 = 125 Lado 8 6·(8-2)2 = 216 (8-2)3 = 216 Lado 9 6·(9-2)2 = 294 (9-2)3 = 343 Enunciado Menú 10

Solución: Enunciado Menú El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado. Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir: 512 cubitos de 1 cm de arista HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Enunciado Menú 11