Vectores en R3 Producto escalar y vectorial

Vectores en R3 Sea un vector A en R3 definido de la forma: 𝐴 =𝑎 𝑖 +𝑏 𝑗 +𝑐 𝑘 Donde i, j , k son los vectores unitarios de los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente.

Vectores en R3 Las operaciones matemáticas utilizadas en los vectores R2 vistas hasta ahora, funcionan de igual manera en R3, aunque para realizarlas se debe tener un poco más de “imaginación espacial”. Además, aunque si se puedan realizar en R2, en este capitulo se hablara del producto escalar y vectorial.

Determinación de un vector en el espacio Sean dos puntos en el espacio P1 y P2, con coordenadas (x,y,z) cualesquiera. Si P1 y P2 definen un vector entre ellos, se puede decir que dicho vector A es: 𝐴 = 𝑋 2 − 𝑋 1 𝑖 + 𝑌 2 − 𝑌 1 𝑗 + 𝑍 2 − 𝑍 1 𝑘 Y su magnitud sería: 𝐴 = 𝑋 2 − 𝑋 1 2 + 𝑌 2 − 𝑌 1 2 + 𝑍 2 − 𝑍 1 2 (x2,y2,z2) 𝑨 (x1,y1,z1)

Ejercicio 1: Defina los vectores y sus magnitudes, si estos comienzan en X1 y terminan en X2: 𝑋 1 = −2,3,0 ; 𝑋 2 = 1,−2,−2 𝑋 1 = 0,1,0 ; 𝑋 2 = 2,3,1 𝑋 1 = 1,2,3 ; 𝑋 2 = 2,1,0 𝑋 1 = 2,1,0 ; 𝑋 2 = −1,0,−2

Proyección de vectores En R3

Vectores unitarios Sea un vector unitario aquel vector cuya magnitud sea igual a la unidad. Dentro de los vectores unitarios en R3 existen 3 vectores fundamentales o también llamados directores, estos son: 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 Estos se encuentran sobre cada eje coordenado, donde 𝒊 corresponde al eje x, 𝒋 corresponde al eje y 𝒌 corresponde al eje z.

Vectores unitarios Aunque se conocen los vectores directores 𝒊 ,𝒋, 𝒌 sobre cada eje coordenado, se debe saber que: “todo vector puede ser representado como la multiplicación de la magnitud del vector y el vector unitario en su dirección” Es decir que podemos establecer para cada vector un vector unitario que lo represente en la dirección determinada. “Sea 𝐴 = 𝐴 , 𝜃 𝐴 , se define como el vector unitario de A, 𝑈 𝐴 a: 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝐴 Donde 𝑈 𝐴 tiene la misma dirección de 𝐴

Vectores unitarios Y Z X 2 1 Sea el vector 𝐴 =2 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 , defina el vector unitario de A, 𝑈 𝐴 . Se debe graficar el vector A, en 3 dimensiones se debe tratar de visualizar espacialmente dicho vector. Puede observar que el mismo vector se encuentra en una sola dirección, Ua seria el vector unitario de dicha recta formada por el vector. 𝑈 𝐴 = 𝐴 𝐴 = 2 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 2 2 + 2 2 + 1 2 = 2 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 9 = 2 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 3 = 2 3 𝑖 + 2 3 𝑗 + 1 3 𝑘

Ejercicios: Determine los vectores unitarios de los vectores: 𝐴 =2 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 𝐴 =−3 𝑖 +3 𝑗 +2 𝑘 𝐴 =3 𝑖 +2 𝑗 − 𝑘 𝐴 =−3 𝑖 − 𝑗 + 𝑘

Producto entre vectores Producto punto y producto cruz

Producto entre vectores Se ha definido previamente que sucede cuando multiplicamos un vector por un escalar. Dentro de la multiplicación vectorial, es decir multiplicar dos vectores entre sí, tenemos dos opciones: Producto Escalar o Punto Producto Vectorial o Cruz.

Definición formal del producto escalar Se define como producto escalar 𝐴 . 𝐵 a: 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 𝑩 cos 𝜽 Donde 𝜃 es el ángulo entre los dos vectores. 𝑨 𝑩 𝜽

Definición de operación “producto escalar” Además, si se cuenta con las coordenadas unitarias de los vectores: 𝐴 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 y 𝐵 = 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 , Donde 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 , 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 ∈ℝ Se define como producto punto 𝐴 . 𝐵 a la operación matemática de: 𝑨 . 𝑩 = 𝒂 𝒙 𝒃 𝒙 + 𝒂 𝒚 𝒃 𝒚 + 𝒂 𝒛 𝒃 𝒛 Donde el resultado de la operación “producto punto” es siempre UN ESCALAR.

Producto escalar ¿Y qué sucede con los vectores unitarios directores? Al aplicar la definición formal: 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 𝑩 cos 𝜽 Si multiplicamos los vectores unitarios entre sí: 𝒊 . 𝒊 = 𝒊 𝒊 cos 𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟏 =𝟏 𝒋 . 𝒋 = 𝒋 𝒋 cos 𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟏 =𝟏 𝒌 . 𝒌 = 𝒌 𝒌 cos 𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟏 =𝟏 Si multiplicamos los vectores unitarios entre ellos: 𝒊 . 𝒋 = 𝒊 𝒋 cos 𝟗𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟎 =𝟎 𝒋 . 𝒌 = 𝒋 𝒌 cos 𝟗𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟎 =𝟎 𝒌 . 𝒊 = 𝒌 𝒊 cos 𝟗𝟎°= 𝟏 𝟏 𝟎 =𝟎 Con eso…

Comprobación de definición matemática del producto escalar Comprobaremos la definición matemática del producto escalar. Asumamos que multiplicamos tal cual nos enseñaron a multiplicar polinomios: 𝐴 . 𝐵 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 . 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 Multiplicamos término por término: 𝐴 . 𝐵 = (𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 )( 𝑖 . 𝑖 ) + (𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 )( 𝑖 . 𝑗 ) + (𝑎 𝑥 𝑏 𝑧 )( 𝑖 . 𝑘 ) +… + (𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 )( 𝑘 . 𝑖 ) + (𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 )( 𝑘 . 𝑗 ) + (𝑎 𝑧 𝑏 𝑧 )( 𝑘 . 𝑘 ) Todos los términos con producto vectorial entre dos unitarios directores distintos serán cero, mientras con los iguales serán uno. La expresión quedara: 𝑨 . 𝑩 = 𝒂 𝒙 𝒃 𝒙 + 𝒂 𝒚 𝒃 𝒚 + 𝒂 𝒛 𝒃 𝒛

Ejercicio 1 Determine el producto escalar entre: 𝐴 = 𝑖 +2 𝑗 +3 𝑘 y 𝐵 =− 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 Resolviendo: 𝑨 . 𝑩 = 𝒂 𝒙 𝒃 𝒙 + 𝒂 𝒚 𝒃 𝒚 + 𝒂 𝒛 𝒃 𝒛 𝑨 . 𝑩 = 𝟏 −𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟏 𝑨 . 𝑩 =−𝟏+𝟒+𝟑=𝟔 𝒖

Ejercicio 2: Uso común del P. escalar Determine el ángulo formado entre los vectores: 𝐴 = 𝑖 +2 𝑗 +3 𝑘 y 𝐵 =− 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 Resolviendo: 𝐴 . 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃 cos 𝜃 = 𝐴 . 𝐵 𝐴 𝐵 = 6 14 6 =0,65 θ=cos −1 0,65 =49°

Interpretación geométrica de P. Escalar La interpretación geométrica del producto escalar es la proyección de un vector sobre otro vector. 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 𝑩 cos 𝜽 Es decir, es la proyección del vector A, con la dirección del vector B. Se lee: “proyección de A sobre B” 𝑨 cos 𝜽 = 𝑨 . 𝑩 𝑩 𝑨 𝑩 𝜽 𝑨 cos 𝜽 = 𝑨 . 𝑈 𝐵 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑨 𝑩= 𝑨 . 𝑈 𝐵 ∴ 𝑨 . 𝑩 = 𝑩 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑨 𝑩 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑨 𝑩= 𝑨 . 𝑩 𝑩 𝑨 cos 𝜽

Ejercicio 3: Sean los vectores: 𝐴 = 𝑖 +2 𝑗 +3 𝑘 y 𝐵 =− 𝑖 +2 𝑗 + 𝑘 Determine la proyección de A sobre B, sabiendo que el ángulo entre ellos es 49°. Resolución: Se pide 𝑷𝒓𝒐𝒚 𝑨 𝑩 por tanto: Proy A B= A . B B = 6 6 =2,45 Ojo: Aunque no se coloca el vector unitario de B, se debe recordar que el escalar está medido sobre la dirección del vector B

Propiedades del producto escalar 𝑨 . 𝑩 = 𝑩 . 𝑨 𝒂 𝑨 . 𝑩 =𝒂 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 .𝒂 𝑩 , 𝒂 ∈ℝ 𝑨 . 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 . 𝑩 + 𝑨 . 𝑪 Se pide al estudiante que para cualquier par de vectores, compruebe las propiedades.

Generalidades: P. Escalar Se usa para hallar el ángulo entre dos vectores, sea en R2 o en R3 (coplanares). Se usa para definir la proyección de un vector sobre otro. Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el producto escalar entre ellos es 0.

Producto Vectorial

Producto vectorial A diferencia del producto escalar que puede ser utilizado en R2, el producto vectorial es EXCLUSIVO de R3. Se define al producto vectorial, también llamado producto cruz, como: 𝑨 𝒙 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝜽 El resultado del producto escalar SIEMPRE es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores involucrados.

Producto vectorial Si se cuenta con las coordenadas unitarias de los vectores: 𝐴 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 y 𝐵 = 𝑏 𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏 𝑧 𝑘 , Donde 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 , 𝑎 𝑧 , 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 , 𝑏 𝑧 ∈ℝ Para determinar el producto vectorial o cruz 𝐴 𝑥 𝐵 se debe colocar los vectores de tal manera que se forme una matriz de la forma: 𝑨 𝒙 𝑩 = 𝒊 𝒋 𝒌 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 Donde el resultado de la operación “producto cruz” es siempre UN VECTOR perpendicular a los vectores A y B. Para resolver la matriz, se debe aplicar el determinante, utilizando como guía la fila que contenga los unitarios directores. 𝑨 𝒙 𝑩 =+ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 − 𝑏 𝑦 𝑎 𝑧 𝒊 − 𝑎 𝑥 𝑏 𝑧 − 𝑏 𝑥 𝑎 𝑧 𝑗 + 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑘

Interpretación geométrica del producto vectorial La magnitud del producto vectorial entre dos vectores, 𝐴 𝑥 𝐵 , es equivalente al valor del área del paralelogramo formado por ambos vectores. Eje Z Eje Y Eje X  Asen  A B

Producto triple Se define como producto triple a la operación: 𝐴 𝑥 𝐵 . 𝐶 Donde los vectores A y B son coplanares entre sí y NECESARIAMENTE el vector C no debe compartir el mismo plano con A y B simultáneamente. Por obvias razones, al ejecutar el producto vectorial entre A y B se obtendrá un vector, que al operar escalarmente con C, se obtendrá un escalar. Es decir: El producto triple da como resultado un ESCALAR 𝑪 𝑩 𝑨

Producto triple 𝑪 𝑩 𝑨 𝐴 𝑥 𝐵 . 𝐶 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 𝐴 𝑥 𝐵 . 𝐶 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 Al aplicar conjuntamente el producto vectorial con el producto escalar en el producto triple se puede obtener el valor del volumen del paralelepípedo formado por la base (formada por los vectores en producto vectorial) y la altura (formado por el vector que aplica el producto escalar). 𝑪 𝑩 𝑨

Fin Vectores