PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Situaciones que involucran la función potencia

Determina los 3 términos siguientes en cada secuencia

En algunos casos los terminos que continuan la secuencia se obtienen sumando una cantidad fija al numero anterior. En este caso se dice que los terminos estan en una progresion aritmetica, y la cantidad fija se llama diferencia; por ejemplo, en la secuencia: 14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - ... Cada termino se genera sumando 6 al termino anterior. Luego, la diferencia es 6 y el numero que continua la secuencia es 50, ya que 44 + 6 = 50.

Si el termino que continua la secuencia se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad fija, se dice que los terminos estan en una progresion geometrica. En este caso, la cantidad fija recibe el nombre de razon. Por ejemplo, en la secuencia: 2 - 6 - 18 - 54 - 162 - 486 - ... Cada termino se genera multiplicando el termino anterior por 3. Por lo tanto, en la secuencia anterior, la razon es 3 y el numero que sigue es 1 458, ya que 486 ・ 3 = 1 458.

Progresión Aritmética En una progresión aritmética, si el primer termino de la secuencia es a1 y la diferencia es d, los términos que siguen, en función de a1 y d, son:

Ejemplo ¿Cuál es el término 20 de la secuencia? 7 - 16 - 25 - 34 - 43 - 52 - ... Luego, el termino 20 de la secuencia es178.

Progresión Geométrica En una progresión geométrica, si el primer termino de la secuencia es a1 y la razón es r, entonces podemos definir los términos que siguen de esta manera:

Progresión Geométrica ¿cual es el numero que ocupa la posicion 13 de la secuencia? 3 - 6 - 12 - 24 - 48 - 96 - 192 - ... Por lo tanto, el termino 13 de la secuencia es el 12.288.

Función potencia Podemos modelar una progresión geométrica por medio de una función potencia de la forma f(x) = axn –1, donde f(x) representa el termino n-esimo en una progresión geométrica con razón x y dado su primer termino a.

Ejemplo: Calcular el 8° termino de: 5, 15, 45, 135, ..., Desarrollo Razón x= 3, 8° termino n= 8 1° termino a = 5 Al reemplazar en la funcion f (x) = axn-1 f (3) = 5(3)8-1 = 5(3)7 =5(2.187)= 10.935

Problema de Aplicación Un grupo de bacterias se reproduce de tal manera que en un día la cantidad de microorganismos se puede duplicar, triplicar o cuadruplicar, dependiendo de las condiciones ambientales que existan. Si inicialmente hay 2 bacterias, .cuantas habrá después de una semana, en cada caso? Desarrollo Al inicio hay 2 bacterias a=2 En 1 semana (7 días) n= 7 f (x) = axn-1 f (x) = 5(x)7-1

Desarrollo Dado que la tasa de crecimiento puede ser 2, 3 o 4, reemplazando en f (x) = 5(x)7-1 :   f (2) = 226 = 264 = 128 bacterias. f (3) = 236 = 2729 = 1.458 bacterias. f (4) = 246 = 24.096 = 8.192 bacterias. Por lo tanto, si las bacterias se duplican, al cabo de una semana habrá 128; si se triplican, habrá 1.458; y si se cuadruplican habra 8.192 bacterias. .

Actividad:Desarrollar la página 58 del libro de matemática En las siguientes progresiones aritméticas, determina el termino que ocupa la posición 2.014 a. 1, 5, 9, 13, 17, ... b. 6, 17, 28, 39, 50, ... c. 39, 60, 81, 102, 123, ...

2. En las siguientes progresiones geométricas, determina el termino que ocupa la decima posición. b. 5, 30, 180, 1 080, ... c. 7, 63, 567, 5 103, ...

3. Usando una función potencia, determina el termino que ocupa la doceava posición de una progresión geométrica en la que el primer termino es el 4 y cuya razón es la indicada, en cada caso. a. r = 2 b. r = 3 c. r = 4 d. r = 5

4. En una hora, cierto tipo de bacteria triplica su numero 4. En una hora, cierto tipo de bacteria triplica su numero. En el mismo periodo de tiempo la cantidad de otro tipo de bacterias aumenta siete veces. Si en un determinado momento hay 20 bacterias de cada tipo, .cuantas habrá luego de 12 horas?