Tema 9.- Óptica Geométrica. 9.1.- Introducción. 9.2.- Estigmatismo y aplanatismo. 9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales. 9.4.- Óptica geométrica paraxial. 9.5.- Dióptrio esférico. 9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano paralelas. 9.7.- Espejo plano. 9.8.- Espejo esférico. 9.9.- Lentes delgadas. 9.10.- Prismas ópticos. 9.11.- Aberraciones.

9.1.- Introducción. ¿Qué se entiende por Óptica Geométrica y Óptica Física? La Óptica Geométrica no tiene en cuenta la naturaleza ondulatoria de la luz y la representa o considera como un haz de rayos. La Óptica Física tiene el cuenta el carácter ondulatorio de la luz y es necesaria para explicar fenómenos como son las interferencias y la difracción de la luz. La Óptica Geométrica es una aproximación válida siempre que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de los obstáculos o discontinuidades a través de los cuales se propaga. Principios de la Óptica Geométrica 1.- Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos. 2.- Se cumple la ley de la reflexión 3.- Se cumple la ley de la refracción 4.- Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano. 5.- Las trayectorias de la luz son reversibles.

9.1.- Introducción. Definiciones Dioptrio. Formado por dos medios de distinto índice de refracción con una superficie de separación perfectamente definida. Espejo. Cuando la superficie límite de un medio es totalmente reflejante constituye un espejo. n n’ Dioptrio esférico n n’ Dioptrio plano Espejo esférico n n Espejo plano

9.1.- Introducción. Definiciones Eje óptico Sistema óptico centrado Sistema óptico. Conjunto de dioptrios y espejos dispuestos a lo largo de la trayectoria de un haz luminoso. Se puede distinguir: Sistema dioptrio. Formado sólo por dioptrios. Sistema catóptrico. Formado sólo por espejos, Sistema catadióptrico. Formado por dioptrios y espejos. Sistema óptico centrado. Todas las superficies que lo forman, sean transparentes o reflejantes son de revolución, con un eje de revolución común para todas. A este eje se le denomina eje óptico del sistema. Sistema óptico centrado Eje óptico

9.2.- Estigmatismo y aplanatismo. Condición de estigmatismo O O’ Condición de aplanatismo A B A’ B’

9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales. Objeto real e imagen real O O’ Objeto real e imagen virtual O O’

9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales. Objeto virtual e imagen real O’ O Objeto virtual e imagen virtual O O’

9.4.- Optica geométrica paraxial. Rayos paraxiales La mayoría de los sistemas ópticos tienen en general un comportamiento no estigmático. Sin embargo son estigmáticos cuando los rayos que intervienen en la formación de imágenes están muy poco inclinados respecto al eje óptico. A estos rayos se les denomina como rayos paraxiales. Sistema óptico no estigmático O O’ O Sistema óptico estigmático

9.5.- Dioptrio esférico. Definición (r < 0) Convenio de signos Convexo (r > 0) Cóncavo (r < 0) Convenio de signos n n’ V  (+) C N  (+) ’(+) y (+) ’(+) (–) (–) ’(–) s (–) s’(+) y’(–)

9.5.- Dioptrio esférico. Relación entre los puntos conjugados en el dioptrio esférico n n’   N d I B h ’ d’ O’ s Distancia objeto  ’ s’ Distancia imagen O V C r s s’ Aproximación paraxial Los rayos de luz que intervienen en la formación de la imagen están muy próximos al eje óptico. Implicaciones: La distancia VB es despreciable frente a los valores de s, s’ y r. Los ángulos medidos en radianes se confunden con sus senos y tangentes.

9.5.- Dioptrio esférico. Relación entre los puntos conjugados en el dioptrio esférico n n’   N d I B h ’ d’ O’ s Distancia objeto  ’ s’ Distancia imagen O V C r s s’ Aproximación paraxial Ley de refracción Además

Focos y distancias focales 9.5.- Dioptrio esférico. Focos y distancias focales Foco imagen (F’) Foco objeto (F) n n’ V n n’ V F’ F f ’ f Distancia focal imagen (f ’ ) Distancia focal objeto (f )

9.5.- Dioptrio esférico. Relación entre las distancias focales Dividiendo Sumando Relación entre las distancias objeto e imagen y las focales F F’ C V

9.5.- Dioptrio esférico. n n’ V C F’ F’ F’ F’

Invariante de Lagrange - Helmholtz 9.5.- Dioptrio esférico. Invariante de Lagrange - Helmholtz V  ’ s s’  ’ y y’ n n’ h I O O’ y Tamaño objeto y’ Tamaño imagen Ley de refracción De la figura Invariante de Lagrange - Helmholtz

9.5.- Dioptrio esférico. Aumentos Aumento lateral () Aumento angular ()  ’ s s’  ’ y y’ n n’ h I O O’ V

A partir del invariante de Lagrange-Helmholtz 9.5.- Dioptrio esférico. Aumentos V  ’ s s’  ’ y y’ n n’ h I O O’ Aumento lateral () Aumento angular () A partir del invariante de Lagrange-Helmholtz Como y se tiene Como se tiene

Construcción gráfica de imágenes 9.5.- Dioptrio esférico. Construcción gráfica de imágenes n n’ F’ C F Dioptrio convexo y Imagen real e invertida y’ n n’ F F’ C y’ Imagen virtual, derecha y mayor que objeto y

9.5.- Dioptrio esférico. Construcción gráfica de imágenes Dioptrio cóncavo n n’ F’ C F y Imagen virtual, derecha y menor que objeto y’

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Definición n n’ V

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Relación entre puntos conjugados Caso particular del dioptrio esférico con n n’ V n n’ V O’ O’ O s s O s’ s’

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Aumentos Aumento lateral Aumento angular

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Refracción en láminas plano paralelas n n’ I2 2’ 2 I1 e Espesor de la lámina 1 1’ d e En la primera superficie : En la segunda superficie :

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Refracción en láminas plano paralelas n’ n e n n’ d I2 2’ 2 I1 1 1’ d e Desplazamiento del rayo: Aprox. paraxial Ley de Snell:

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Relación entre puntos conjugados n’ n e O3 O2 s1’ O1 s1 s2’ s2 Primera superficie: Segunda superficie: Desplazamiento imagen:

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas Relación entre desplazamiento de imagen y rayo n’ n O1 O2 s d O3 e Desplazamiento imagen: Desplazamiento del rayo:

9.7.- Espejo plano. Ley de la reflexión (convenio de signos) La ley de la refracción referida a  y ’ se cumplirá si se toma n = -n’ n Espejo plano  Ángulo de incidencia ’  N ’ Ángulo de reflexión S O

9.7.- Espejo plano. Relación entre puntos conjugados Caso particular del dioptrio esférico con y n S O O’ O’ S O s s’ La imagen ofrecida por un espejo plano es virtual.

9.7.- Espejo plano. Aumento lateral Aumento lateral B B’ A’ Imagen de igual tamaño que el objeto situada al otro lado a la misma distancia.

9.8.- Espejo esférico. Relación entre puntos conjugados Caso particular del dioptrio esférico con Espejo cóncavo S C C Espejo convexo S I ’  ’ O’  I O’ O s s O r r s’ s’

9.8.- Espejo esférico. Focos y distancias focales Distancia focal imagen (f ’ ) Distancia focal objeto (f ) S C C S F F f f

9.8.- Espejo esférico. Aumento lateral Construcción gráfica de imágenes S F C Espejo cóncavo Imagen real, invertida y menor que objeto y y’

9.8.- Espejo esférico. Espejo cóncavo Imagen real, invertida y mayor que objeto y y’ S C F Espejo cóncavo Imagen virtual, derecha y mayor que objeto y’ y

9.8.- Espejo esférico. Espejo convexo Imagen virtual, y Imagen virtual, derecha y menor que objeto y’

9.9.- Lentes delgadas. Definición y tipos de lentes Biconvexa Plano convexa Menisco convergente Lente convergente Bicóncava Plano cóncava Menisco divergente Lente divergente

9.9.- Lentes delgadas. Relación entre puntos conjugados nm nl Primer dioptrio: Segundo dioptrio:

9.9.- Lentes delgadas. Focos y distancias focales Distancia focal imagen (f ’ ) Distancia focal objeto (f )

9.9.- Lentes delgadas. Relación entre las distancias focales Relación entre las distancias objeto e imagen y las focales

9.9.- Lentes delgadas. Biconvexa Plano convexa Menisco Lente convergente Plano convexa Biconvexa Menisco Lente divergente Plano cóncava Bicóncava Menisco

9.9.- Lentes delgadas. Focos de una lente convergente Focos de una lente divergente F’ F f’ f

9.9.- Lentes delgadas. Construcción gráfica de imágenes Lente convergente F F’ s’ Imagen real e invertida y s y’ F F’ Imagen virtual, derecha y mayor que objeto y’ y s’ s

9.9.- Lentes delgadas. Construcción gráfica de imágenes Imagen virtual, derecha y menor que objeto Lente divergente F F’ y y’ s s’

9.9.- Lentes delgadas. Aumento lateral Potencia de una lente F F’ y y’ s s’ Aumento lateral  ’ Como y y además Potencia de una lente La potencia de una lente P se define como Cuando la distancia focal se expresa en metros la potencia viene dada en dioptrías.

9.9.- Lentes delgadas. Lentes delgadas acopladas En ocasiones las lentes se acoplan con distintos fines. En este caso para cada lente se verificará que 1ª lente 2ª lente Al ser delgadas y estar acopladas con lo que sumando las dos expresiones anteriores Llamando y queda donde

 Ángulo de refrigencia 9.10.- Prismas ópticos. Expresiones fundamentales n´ n  Ángulo de refrigencia   Ángulo de desviación N1 N2  Refracción en caras del prisma 1ª Cara  2ª Cara Ángulo de refrigencia Ángulo de desviación

m Ángulo de desviación mínima 9.10.- Prismas ópticos. Condición de desviación mínima Si se mide el ángulo de desviación de un prisma en función del ángulo de incidencia se obtiene experimentalmente que   n´ n  N1 N2    1 2 m Ángulo de desviación mínima m 1= 2

9.10.- Prismas ópticos. Condición de desviación mínima n n´ Si el ángulo de desviación es mínimo se cumple que n´ n   N1 Con lo que se tiene Si se conoce el ángulo de desviación mínima se puede determinar el índice de refracción de un prisma

9.10.- Prismas ópticos. Emergencia de la luz en un prisma Condición que debe cumplir el ángulo de refrigencia Para que exista rayo emergente en un prisma es necesario que Por otro lado en la primera cara del prisma el ángulo de refracción puede tomar valores comprendidos entre Sumando ambas expresiones Condición de un prisma para ofrecer rayos emergentes Por tanto un prisma no ofrece rayo emergente cuando Prisma de reflexión total

9.10.- Prismas Ópticos. Emergencia de la luz en un prisma Condición que debe cumplir el ángulo de incidencia Un prisma que puede ofrecer rayos emergentes ( ) sólo lo hace para determinados ángulos de incidencia n´ n  N1 N2 1 2 N2

9.10.- Prismas Ópticos. Emergencia de la luz en un prisma

9.10.- Prismas Ópticos. Emergencia de la luz en un prisma

Vidrio flint de silicato Vidrio crown de silicato 9.10.- Prismas Ópticos. Dispersión de luz en un prisma El índice de refracción de un material depende de la longitud de onda de la luz (). Para muchos materiales n’ disminuye a medida que aumenta . Vidrio flint de silicato Vidrio flint de borato Cuarzo Vidrio crown de silicato Violeta Rojo Luz Blanca Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta N

9.10.- Prismas Ópticos. Dispersión de luz en un prisma Se caracteriza el carácter dispersivo de un material a través de Número de Abbe Índices de refracción nd Para =587.6 nm (amarillo) nF Para =486.1 nm (azul) nC Para =656.3 nm (rojo) Para los vidrios ópticos d toma valores entre 20 y 75 d < 50 FLINT d > 50 CROWN

9.10.- Prismas Ópticos. Dispersión de luz en un prisma Un fenómeno atmosférico donde se pone de manifiesto la dispersión de la luz es la formación de arco iris.

9.10.- Prismas Ópticos. Dispersión de luz en un prisma

9.10.- Prismas Ópticos. Dispersión de luz en un prisma

9.11.- Aberraciones. Definición y tipos. Hasta ahora hemos supuesto que los rayos que intervienen en la formación de las imágenes eran paraxiales y la luz monocromática (de una sola longitud de onda). En realidad esto no es así. Por un lado, los rayos forman ángulos grandes con el eje óptico haciendo que las imágenes formadas por los sistemas ópticos no sean geométricamente semejantes a los objetos. A estos defectos de las imágenes se les llama aberración geométrica. Por otro lado si se emplea luz no monocromática (de varias longitudes de onda como la luz blanca) los rayos de distinta longitud de onda se dispersarán al atravesar el sistema óptico, y no convergerán en un mismo punto. A estos defectos de las imágenes se les denomina aberración cromática. Las aberraciones geométricas a su vez se clasifican en aberración esférica, coma, astigmatismo, curvatura de campo y distorsión.

9.11.- Aberraciones. Aberración esférica. Es una aberración simétrica que se produce para puntos que están situados sobre el eje óptico del sistema. Rayos periféricos Rayos paraxiales Lente Círculo de confusión mínima Aberración esférica longitudinal Aberración esférica transversal

9.11.- Aberraciones. Aberración esférica. Se puede eliminar usando diafragmas que intercepten los rayos no paraxiales. El problema es la poca cantidad de luz que entra al sistema óptico. También se pueden eliminar usando superficies no esféricas para las lentes y los espejos. Un ejemplo es el uso de espejos parabólicos en los grandes telescopios astronómicos.

9.11.- Aberraciones. Coma. Es una aberración no simétrica que se produce para puntos que están situados fuera del eje óptico del sistema. Se puede eliminar usando diafragmas Plano objeto Plano imagen Lente Lente Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Eje óptico Imagen comática

Círculo de confusión mínima Plano focal meridional 9.11.- Aberraciones. Astigmatismo. Cuando el cono de rayos que atraviesa el sistema óptico es asimétrico, la aberración óptica que se genera se denomina astigmatismo. Eje óptico Lente Círculo de confusión mínima Objeto puntual Plano focal sagital Plano focal meridional

9.11.- Aberraciones. Curvatura de campo. Ocurre cuando la imagen de un objeto situado en un plano normal al eje óptico se forma en una superficie curva. Objeto plano Imagen curvada Lente

Imagen no distorsionada 9.11.- Aberraciones. Distorsión. Se produce cuando el aumento lateral varía en función de la posición del punto objeto. Imagen no distorsionada Distorsión en barril Distorsión en corsé

9.11.- Aberraciones. Aberración cromática. Se produce como consecuencia de la dispersión de la luz cuando sobre el sistema óptico incide luz no monocromática.

9.11.- Aberraciones. Aberración cromática. Se pueden corregir usando un sistema de dos lentes (acopladas o no) que están formadas por dos vidrios distintos: flint y crown.