Desarrollo de habilidades del pensamiento complejo Dr. Juan Carlos Piceno Rivera 28 de agosto de 2007 BUAP

1. Reconstruye la siguiente división, cada asterisco representa un número y están expresados los productos en cada paso 8 *

Solución. Las pistas son las siguientes: Un número de tres cifras (¡mayor que cien!) multiplicado por 8 dá un número de tres cifras (¡menor que mil!). Un número de tres cifras restado a uno de cuatro da uno de dos cifras ¡menor que 13! (sucede dos veces). Se bajan dos cifras dos veces durante el proceso. El último producto es un número de cuatro cifras. Todo ello significa: 5. El primer producto es mayor que 987 y menor que 1000 (de 1 y 2).

6. De 5 se tiene que el denominador es mayor que la parte entera de (987 / 8) = 123 y menor que 125 de denominador es igual a 124. 7. La última cifra del cociente es 9, la segunda y la cuarta son cero y la tercera es 8. 8 9 1 2 4 3 6 Con lo cual hemos terminado, basta recorrer el proceso de atrás hacia delante, el último producto es 1116 …

2. Cada asterisco de la multiplicación consignada representa un dígito y están escritos todos los ceros, sietes y nueves que aparecen en el proceso. Reconstruye la siguiente multiplicación * x 7 9

Solución. Como sólo la última cifra del primer producto parcial es cero, entonces la última cifra de uno de los factores es 5 y la del otro es par. Caso 1. La última cifra del multiplicando es 5. Esto implica que la última cifra del segundo factor es 2 o 6. * 4 5 x 6 7 9 * 2 3 5 x 4 7 9 8

En el caso en que sea 2 tendremos que la tercera cifra del segundo producto parcial es 8, lo cual es imposible pues la segunda cifra del multiplicador debe ser impar y la cifra de las decenas de multiplicar por cinco más la cifra de las unidades de multiplicar por 3 no es 8 pues sólo tenemos las siguientes combinaciones 4 + 7, 3 + 1, 2 + 5 y 1 + 9 * 2 3 5 x 4 7 9 8

En el caso en que sea 6 es imposible obtener cero como tercera cifra del tercer producto parcial, lo cual es posible sólo cuando la primera cifra del multiplicador es 9, de donde tenemos que la segunda cifra del multiplicando debe ser cero ¡¡contradiciendo el enunciado!! Por lo tanto la última cifra del multiplicando no es 5, es decir, que la última cifra del multiplicador es 5. 1 * 4 5 x 9 6 7

Cómo la tercera cifra del primer producto parcial es 7 y los productos por cinco sólo terminan en cero o en cinco entonces el 7 sólo es posible obtenerlo como 0 + 7 o 5 + 2, siendo el 2 o el 7 la cifra de las decenas del producto de 5 por la última cifra del multiplicando, de donde éste debe ser 4 y la tercera debe ser impar. * 6 3 4 x 9 5 7 Así tenemos que la cifra de las decenas de multiplicar la primera cifra del multiplicador por 4 más la de las unidades por la tercera cifra debe terminar en cero

Cómo vemos la factible es que la tercera cifra del multiplicando sea 3 igual que la primera del multiplicador lo que nos lleva a que la tercera cifra del segundo producto parcial sea 3 * 3 4 x 6 5 7 9 Es decir, la cifra de las unidades del resultado de sumar la cifra de las decenas de la multiplicación por cuatro de la segunda cifra del multiplicador más la cifra de las unidades de ésta por 3 es 3. * 2 3 4 x 1 5 7 9

Si la segunda cifra del multiplicador es 1 entonces es imposible obtener 9 como segunda cifra del segundo producto parcial. Así que la siguiente combinación se dá con que la segunda cifra del segundo factor sea 4 , con lo cual hemos terminado. 1 2 3 4 x 5 7 9 6

= + D O N A L D G E R A L D R O B E R T +

+ + D O N A L D G 0 R A L D R O B E R T D O N 5 L D G 0 R 5 L D R O B 0 R T + + L es menor que 5 y D + G = R y (N + R + 1 = B) . Caso 1.1 L = 4 implica que R = 8 o 9 y N = 0 ¡Contradicción! De aquí L no es 4. Caso 1.2 L = 3 implica que R = 6 o 7 y N menor que 3. Caso 1.2.1 R = 6 implica que D es menor que 5, D = 4, 2 o 1.

+ + Caso D = 4 4 O 1 5 3 4 2 0 6 5 3 4 B = 8, ¡¡Contradicción!! 2 0 6 5 3 4 R O B 0 6 8 + B = 8, ¡¡Contradicción!! Caso D = 2 + 2 O N 5 3 2 G 0 R 5 3 2 6 O B 0 6 4 G = 4, ¡¡Contradicción!!

+ Caso 1.2.2 R = 7 implica que D es mayor que 5, D = 6 u 8. Caso D = 6 G 0 7 5 3 6 7 O 9 0 7 2 G = 1, ¡¡Contradicción!! Caso D = 8 R = 9, ¡¡Contradicción!! Caso 1.3 L = 2 implica R = 4 o 5. Caso R = 5 implica D mayor que 5, ¡¡Contradicción!!, de donde R = 4. .

R = 4 implica D menor que 4, D = 3 o 1. Caso D = 3 3 O N 5 2 3 1 0 4 5 2 3 4 O B 0 4 6 N mayor que 6, lo cual también contradice lo Establecido. Caso D = 1 implica que T = 2 ! Caso 1.4 L = 1 implica R = 2 o 3, R = 3 implica D mayor que 5 !. De donde R = 2, luego (D,G) es (0,2) o (2,0) o (1,1) ! Conclusión E no es 0.

+ + D O N A L D G 9 R A L D R O B E R T D O N 4 L D G 0 R 4 L D R O B 0 R T + + L es mayor que 5 y D + G + 1= R y N + R = 10 + B . Caso 2.1 L = 6 implica R = 2 o 3 lo cual implica D = 0 o G = 0 !. Caso 2.2 L = 7 implica R = 4 o 5, es decir, D + G = 3 o 4, (D,G) = (1,2) o (2,1) o D mayor que 5. Todas son imposibles pues D = 2 implica T = 4 !, D = 1 implica G = 2 = T ! y D mayor que 5 implica R mayor que 5 !.

Caso 2.3 L = 8 implica R = 6 o 7. Caso R = 6 implica (D,G) = (2,3) o (3,2) o (1,4) o (4,1), las dos últimas son imposibles pues A=4. D = 2 implica T = 4 !, D = 3 implica T = 6 ! . Caso R = 7 implica D mayor o igual que 5 luego (D,G) = (5,1) 5 O N 4 8 5 1 9 7 4 8 5 7 O B 9 7 0 5 2 6 4 8 5 1 9 7 4 8 5 7 2 3 9 7 0 + +