Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales. Una de las enésimas manifestaciones del principio de incerteza. Para tener mucha resolución temporal (para generar fluctuaciones muy rápidas) hace falta un ancho de frecuencias muy grande. Si se dispone de una banda de frecuencias pequeña, la resolución temporal es pobre. w1 w2 La representación esepctral. Para dar forma (para mandar información) no basta con emitir en una frecuencia pura. Cambiando la amplitud de w2, por ejemplo, se puede modular la amplitud de la señal. Con que resolución temporal? 1

La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia resultan en una tercera, de la misma frecuencia y de amplitud determinada por la relacion de fase entre ambas. Cuando la diferencia de fase es de medio ciclo, se anulan. La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia y diferente amplitud (el caso mas genérico) resulta en la modulación de la amplitud por un termino de interferencia que no llega a anularse. 2

Mirar la posición en función del espacio, para un tiempo fijo. Una oscilación cos(kx) Mirar la posición en función del tiempo, en un punto fijo. Una oscilación Existe alguna relación entre w y k?? 3

En esta configuración, todas las fuerzas son cero. Modelo de juguete de una cuerda, de un polímero, del campo eléctrico, del agua. En fin, de cualquier continuo en el que sus componentes están unidas elásticamente. En este caso, solo para que la vida sea mas fácil, los nodos se mueven hacia arriba y hacia abajo. En esta configuración, todas las fuerzas son cero. No hay tensión y la cuerda esta en equilibrio. 4

Cuanto tiempo tarda en “reaccionar” el nodo contiguo? Se rompe el equilibrio, generando una perturbación en un punto. Pasa lo que todos sabemos, una suerte de efecto domino. Cuanto tiempo tarda en “reaccionar” el nodo contiguo? Cuanto mayor la fuerza (k), mas aceleración, cuanto mayor la masa (m), mas inercia. Por ende, la propagación de esta perturbación ((( la velocidad a la que viaja la onda, veremos))) debería aumentar con k y disminuir con m. 5

Dos rasgos característicos mas: Las masas tienen inercia El efecto domino no lo es tanto, los dominós no se caen (tienen inercia) y Dos rasgos característicos mas: Las masas tienen inercia Las fuerzas son reciprocas (acción y reacción) tao, la perturbación de la primer masa perturba la segunda y esta a su vez perturba la tercera (la onda que viaja), pero también la primera!. En ausencia de fricción, este conjunto de resortes, se queda oscilando. 6

Pregunta: Sobre que nodos (olvidemos los del borde) hay una fuerza neta? La fuerza ejercida sobre un nodo resulta de la suma de fuerzas de sus nodos contiguos. Cada una de estas fuerzas queda determinada por la “pendiente”, es decir la derivada. Por ende, si la pendiente cambia (la derivada de la derivada, osea la derivada segunda) fuerzas habemus. A que corresponde esto geométricamente. La derivada segunda determina los puntos de curvatura (como el mínimo de un potencial armónico). Los puntos de mas curvatura, los de mas torsion, los de mas derivada segunda - veremos porque vale la pena introducir esta noción – son donde hay mayor fuerza. 7

Que da la ecuación de movimiento? En el continuo, se vuelve mas fácil… Versión “mas”correcta Se puede, por lo tanto, estimar, casi sin cuentas, la ecuación de onda. Esta es una ecuación nueva, que relaciona la derivada segunda (la curvatura) en el espacio con la derivada segunda (la curvatura) en el espacio, estableciendo una física de propagación y tensión. Es una de las ecuaciones mas ubicuas (fundamentales) de la física. 8

Cualquier solución de la forma Una solución de la ecuación de ondas en 1 y 2 dimensiones con condición de borde (z=0 en la frontera). Suma de ondas viajeras reflejadas. Funciona. Cualquier suma de estas soluciones también funciona. Todas estas soluciones son ondas (hay muchas de ellas, viajeras, esféricas, estacionarias que resultan básicamente de combinaciones (interferencia) de estas funciones en alguna base. 9

También es una solución: Siempre que La distancia recorrida en un ciclo El tiempo que tarda un ciclo La velocidad es c para la luz en el vacío, LK/M para una cuerda, dP/dp para el sonido … 10

Mirar la posición en función del espacio, para un tiempo fijo. Una oscilación cos(kx) Mirar la posición en función del tiempo, en un punto fijo. Una oscilación Existe alguna relación entre w y k?? La distancia recorrida en un ciclo El tiempo que tarda un ciclo 11

El tiempo que tarda un ciclo Mismo w (el ciclo en un punto es igual) pero k es mayor (el periodo mas pequeño) entonces la velocidad de propagación disminuye. La distancia recorrida en un ciclo El tiempo que tarda un ciclo 12

El tiempo que tarda un ciclo Mismo v (el frente de onda se propaga a la misma velocidad) pero k es mayor (el periodo mas pequeño) entonces w aumenta, … o viceversa, como gusten. La distancia recorrida en un ciclo El tiempo que tarda un ciclo 13

d El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) Una región del espacio donde observamos (la pantalla, un eje en alguna dirección…) d Una fuente de luz. Si es (como suele ser) coherente y es (como suele ser) monocromática. El campo generado por la fuente en el espacio y en el tiempo es: Entender el campo en todo el espacio puede ser difícil, en un punto del espacio todo se vuelve mas sencillo, queda una función del tiempo y toda la información espacial (la distancia entre la fuente y el punto, la longitud de onda de la fuente) se resume en un numero: cuanto cambia la fase. Noten que la geometría, el espacio y k, a quedado resumido en un cambio de fase. El campo eléctrico en el punto es igual al de la fuente con un cambio de fase que refleja el retraso. El espacio: Un medio donde la luz se propaga a cierta velocidad. 14

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) La fase relativa queda determinada por la relación (el cociente) entre d y λ, en realidad por el resto de esta división, ya que la parte entera de este cociente implica que antes de llegar, la onda a dado un numero de ciclos completos, lo que no afecta la fase. Dicho de otra manera (verificar esto): 15

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) La suma de dos cosenos con una diferencia de fase que queda determinada por una diferencia de fase en la fuente y una diferencia de camino. Sumar cosenos, sabemos La “dificultad” de un ejercicio de interferencia suele ser un problema geométrico. De calcular ángulos y distancias. . 16

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) 17

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) 18

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) Un maximo 19

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) Un máximo en el centro 20

Aguita de colores 21

Aguita de colores 22

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) 23

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) Si esta es la longitud de onda (notar que es mas pequeña que d, entonces, encontramos, geométricamente, un ángulo para el que los caminos entre las dos fuentes se separan justo en un ciclo. Y si aumentamos la longitud de onda, como cambia ese ángulo? 24

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) Si esta es la longitud de onda (notar que es mas pequeña que d, entonces, encontramos, geométricamente, un ángulo para el que los caminos entre las dos fuentes se separan justo en un ciclo. Y si aumentamos la longitud de onda, como cambia ese ángulo? 25

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción) En el centro los dos llegan con el mismo camino. A medida que aumenta el angulo el que sale de arriba tiene mas ventaja (i.e. un camino mas corto). El limite de esto (la maxima ventaja es cuando el angulo es 90 grados, en cuyo caso la ventaja del de arriba es d. Si en este camino no llega a sacarle un ciclo entero (una longitud de onda) no hay manera de sumarse en fase. Con este artilugio de interferencia,no es posible combinar constructivamente dos fuentes si la longitud de onda es mayor que la distancia. Cuando la longitud de onda es d, solo para 90 grados las distancias se compensan. Para longitudes de ondas aun mas grandes (o de mas pequeños) no se ven otros máximos de interferencia. 26

Aguita de colores 27

Aguita de colores 28

Aguita de colores 29

Aguita de colores Cuando d es mayor que la longitud de onda, para ningun angulo llegan a separarse en un ciclo completo con lo que el unico maximo esta en el centro. 30

Interferencia aplicada: Como emitir en la dirección que uno quiere? 31

Para cualquier punto en este eje, la diferencia de fase resulta: Se dispone de dos fuentes que emiten luz monocromatica. Las fuentes pueden moverse y podemos ajustar su fase a voluntad. Queremos emitir en la dirección norte sur, pero no en la dirección Este-Oeste. Que hacer? Para cualquier punto en este eje, la diferencia de fase resulta: Que viene a ser lo mismo Si están en fase, acabamos de ver, en el centro y hacia el norte la interferencia es constructiva. (mitad del problema resuelto – que esten en fase) Para que en el eje horizontal la interferencia sea destructiva, la distancia ha de ser la mitad de la longitud de onda. (problema resuelto) 32

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SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA SOLUCION? Para cualquier punto en este eje, la diferencia de fase resulta: Agregarle una longitud de onda entera. Esto resultara en algún cambio o será todo lo mismo. 34

SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA SOLUCION? A medida que d aumenta, esta ecuación tiene mas soluciones enteras (recordar que el seno vale como mucho uno) y por ende mas máximos. 35

SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, Y QUEREMOS TRANSMITIR EN LA DIRECCION ESTE-OESTE. SE PUEDE? Para cualquier punto en este eje, la diferencia de fase resulta: Primer problema. Como hacer que en la dirección norte, en el centro de los dos emisores, donde el camino es necesariamente el mismo, la senal sea nula. (desfasando las fuentes en medico ciclo. Primer mitad resuelta!) La diferencia de camino en el eje x ha de completar el otro medio ciclo, por ende d=lambda/2 36

SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA SOLUCION? 37

ULTIMO PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL ULTIMO PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL. COMO HACER PARA TRANSMITIR AL ESTE, PERO NO AL OESTE. O VICEVERSA. Primer hecho, las fases han de ser distintas. Sino, para que no transmita a la izquierda no queda otra que hacer que la diferencia de camino sea media longitud de onda. Interferencia destructiva corresponde a un desfasaje de pi, y constructiva de dos pi (o cero pi) la solucion, que el desfasaje este en el medio…. 38

PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL. COMO HACER PARA TRANSMITIR AL ESTE, PERO NO AL OESTE. O VICEVERSA. 39

VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO? 40

VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO? Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto, pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos… Como resolverlo? 41