Teoría Cinética. Mecánica Estadística Lunes 11 de junio de 2007

Resumen: 1. Problema de la teoría cinética. 2. Colisiones binarias. 3. Ecuación de Transporte de Boltzmann. 4. Teorema H de Boltzmann.

Formulación del problema. Sistema a estudiar en la teoría cinética clásica:  Gas diluido.  Temperatura alta. Por lo cual cumple con:

No nos interesa estudiar el movimiento de cada partícula, sino como evoluciona la función f(r,p,t), la cual representa el estado del sistema.

Consideraremos elementos de volumen en el espacio de fases no infinitesimales, pero si muy pequeños para que puedan ser considerados puntuales desde el punto de vista macroscópico. Aproximaremos f como una función continua.

Propósito de la teoría cinética: Hallar la función f(r,p,t) dada la forma de la interacción molecular. Veamos como varía f(r,p,t) en un tiempo muy pequeño, suponiendo que no hay colisiones. En este caso: Estudiemos a continuación la evolución del elemento de volumen del espacio de fases en este intervalo de tiempo, bajo la misma suposición de que en el sistema no hay colisiones.

Ahora suponiendo que hay colisiones: De donde obtenemos la ecuación de movimiento para f:

Determinación de Necesitamos dos suposiciones y dos definiciones: Suposiciones: 1. El elemento de volumen es tan pequeño (aunque tenga muchas moléculas) que cualquier partícula que colisione estando inicialmente en el volumen, será expulsada de éste. 2. Hay moléculas que no estando inicialmente en el volumen, podrán llegar a él, desde el exterior, transcurrido un.

Definiciones: 1. : Número de colisiones por unidad de tiempo y de volumen (del espacio de fases), en que una de las partículas se encontraba inicialmente en el volumen. 2. : Número de colisiones por unidad de tiempo y de volumen, en que una de las partículas finales está en el volumen.

Finalmente con lo anterior podemos escribir: Pero aún nos queda evaluar y, para lo cual tendremos que estudiar el problema de scattering.

Scattering clásico entre dos partículas. Por conservación de energía y momentum: Para que estas ecuaciones tomen una forma más sencilla definamos:

Con lo cual los momentum iniciales de las partículas se pueden escribir como: Y la conservación de energía y momentum queda expresada en función del momentum total y relativo como:

Si además nos ubicamos en el sistema centro de masa: Podemos definir:

Luego calculamos la sección eficaz diferencial de scattering a partir de las trayectorias y hallamos y tal como lo hizo Maxwell. Pero no haremos esto, sino que analizaremos el problema de scattering cuánticamente. ¿Por qué?

Scattering cuántico entre dos partículas. La cantidad básica en un problema de scattering es la matriz de transición T, definida por los elementos de matriz del operador T(E): La probabilidad por unidad de tiempo de determinada transición puede ser expresada en términos de esta matriz:

Demostraremos que, ya que será una condición que ocuparemos más tarde. Como T(E) es función de la interacción, la cual es de origen electromagnético, posee la mismas simetrías que la interacción electromagnética. Estas son: 1. Rotación espacial. 2. Reflexión. 3. Time reversal.

Es posible ver gráficamente que estás operaciones generan la colisión inversa:

Ecuación de transporte de Boltzmann. Recordemos que para obtener la ecuación de transporte nos faltaba conocer la siguiente cantidad: El número de transiciones 12  1’2’ en un elemento de volumen en torno a, debido a colisiones en un tiempo es:

Definiremos una función F (llamada función de transferencia) a través de la relación: Con lo anterior obtenemos que:

Y usando que finalmente encontramos: Pero F sigue siendo una incógnita, por lo cual empleamos la siguiente hipótesis: (llamada “del caos molecular”) No existe correlación entre los momentos de ambas partículas en un elemento de volumen, esto es:

Usando las siguientes definiciones: Reescribimos Y reemplazando en la siguiente expresión obtenida antes:

Obtenemos la ecuación de transporte de Maxwell: Vemos que es una ecuación integro-diferencial no lineal para f. Conociendo f(r,p,t) en algún instante inicial, esta ecuación determina su evolución.

Teorema H Buscamos una distribución de equilibrio, esto es, la solución independiente del tiempo de la ecuación de transporte de Boltzmann: … …

Por lo tanto la distribución de equilibrio en ausencia de fuerzas externas satisface: Por lo cual una condición suficiente para que lo anterior se cumpla es: Pero además esta es una condición necesaria (por demostrar).

Definamos el funcional: Donde f(p,t) satisface: Derivando H(t) vemos que:

Queda por demostrar que es equivalente a: Con lo cual quedaría demostrado que esta última es una condición necesaria para satisfacer la ETB sin dependencia del tiempo. Veamos que demostrando el siguiente teorema, también queda demostrado lo anterior:

Teorema H: Si satisface la ETB, entonces: De la demostración de este teorema vemos que: 1. 2.

La función de distribución solución de la ETB independiente del tiempo recibe el nombre de distribución de Maxwell-Boltzmann. Vemos que es posible reproducir las propiedades de equilibrio del sistema (su termostática) estudiando el estado de estacionario de la ecuación que describe su dinámica. De acuerdo al teorema H dicho estado estacionario se alcanza siempre, bajo las condiciones supuestas, independiente de las condiciones iniciales del sistema, cuando t tiende a infinito. FIN