SÍNTESIS DE FILTROS Autor: PEDRO QUINTANA MORALES Dto SÍNTESIS DE FILTROS Autor: PEDRO QUINTANA MORALES Dto. Señales y Comunicaciones Universidad de Las Palmas de Gran canaria 2005

3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN Concepto de Aproximación Función Característica Comportamientos de la Aproximación Aproximación de Butterworth PASO BAJO Aproximación de Chebychev PASO BAJO Aproximación de Chebychev Inverso PASO BAJO Aproximación de Cauer PASO BAJO Aproximación de Bessel PASO BAJO Análisis Comparativo

APROXIMACIÓN Función Realizable Especificaciones de Tolerancia Módulo, |H(jw)|, Atenuación, a(w) Fase, f(w), Retardo de Grupo, tg(w) |H(jw)| w a(w) w

APROXIMACIÓN Especificaciones de Atenuación Banda de Paso, a(w) £ ap Banda Atenuada, a(w) ³ aa Banda de transición Discriminación, {ap, aa} Selectividad, {wp, wa} a(w) w wa wp ap aa

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA Función Característica (Atenuación No Racional) a(w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA Propiedades Función Racional, Real y Par en w No Negativa (supuesto a(w)>0) F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación F(w2¥i) = ¥, Ceros de Transmisión Igual Información que a(w)

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA Considerando woi , w¥i Î Â nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro w w¥1 w02 w01 F(w2)

FUNCIÓN CARACTERÍSTICA Comportamiento Asintótico W2 -> ¥ , F(w2) » k2 w2 (n+2L-p-2Q) a(w) » 20 p¥ dB/dec » 6 p¥ dB/oct , p¥=n+2L-p-2Q W2 -> 0 , F(w2) » k2 w2 (n-p) a(w) » 20 p0 dB/dec » 6 p0 dB/oct , p0=n-p

COMPORTAMIENTOS ¿F(w2)? para min{ E(w2) = F(w2) – Fid(w2) } Comportamiento Maximalmente Plano Minimiza E(w20) = F(w20)–Fid(w20) en w0 Taylor, en la Banda de Paso Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste) w wo F(w2)

COMPORTAMIENTOS Comportamiento con Rizado de Amplitud Cte Minimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA ) Máximas Alternancias con raíces simples Aproximación Óptima y Única Transformada de Darlington w F(w2)

APROXIMACIÓN PASO BAJO F(w2) Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Constante, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1), CA (F(wo2)=0), CT (F(w2)=), Pendiente de la Atenuación

APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO Maximalmente Plano en el Origen, ¿CA? Ceros de Transmisión en el Infinito F(w2) = (k wn)2 a(w) w

APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO Cálculo del Filtro de Butterworth, n y k Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Discriminación, Selectividad, Constante, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO Características Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) => Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct

APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO Función de Transferencia Frecuencias Propias

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO RAC en Banda de Paso, ¿CA? Ceros de Transmisión en infinito a(w) w

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO Polinomios de Chebychev, Cn(w) Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w) Propiedades Función Par o Impar según sea n Coeficiente de wn , an = 2n-1 Valores extremos, Cn(1) = 1 RAC en |w| £ 1 , MP en |w| ³ 1 Raíces Simples => Máxima Alternancia n=3 n=4 Cn(x) 1 x

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO Cálculo del Filtro de Chebychev, n y e Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Rizado, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO Características Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO Función de Transferencia Frecuencias Propias

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO RAC en Banda de Atenuación, ¿CT ? Ceros de Atenuación en el origen Forma Modificada de Chebychev F(w2) w 1 F((1/w)2) w 1 1 ----------F((1/w)2) w

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO Cálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y e Orden, a(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< ai Rizado, a(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = ai a(w) w

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO Características Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1) Pendiente de la Atenuación 20 n dB/dec, 6 n dB/oct Ceros de Transmisión, (F(w¥,i2)= ¥)

APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO Función de Transferencia Frecuencias Propias

ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad Orden Cauer (óptimo) Chebychev Butterworth

ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad Nº de Elementos PASIVO depende de CT: infinito (1) finito (2+1) ACTIVO depende CT finito o infinito

ANÁLISIS COMPARATIVO Complejidad Calidad El Q depende de la parte resistiva

ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Retardo de Grupo La distorsión crece con: la pendiente y el rizado BP El retardo crece con: la atenuación (Orden)

ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Respuesta al Escalón al Impulso La distorsión como en el R.G.

ANÁLISIS COMPARATIVO Respuesta Temporal Frecuencias Propias Amortiguamiento

ANÁLISIS COMPARATIVO Butterworth Características transitorias aceptables Valores de LC prácticos y poco críticos Debe usarse siempre que sea posible

ANÁLISIS COMPARATIVO Chebychev Rizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp Menor orden que Butterworth Propiedades transitorias se deterioran con n Orden influye en la elección de Rg y Rc Útil cuando lo que importa es |H(jw)|

ANÁLISIS COMPARATIVO Cauer Óptimo en cuanto al orden Requiere ajuste preciso de resonancias Comportamiento transitorio inaceptable Más componentes que Butterworth y Chebychev

ANÁLISIS COMPARATIVO Chebychev Inverso Óptimo en el orden como Chebychev Comportamiento transitorio como Butterworth Número de componentes como Cauer