Programación Lineal Entera Capítulo 3 Programación Lineal Entera

Objetivos del capítulo Programación lineal entera, programación lineal mixta, modelos binarios. Representaciones gráficas. Aproximación Solución: - Solución usando el computador para de modelos enteros - Falta de análisis de sensibilidad. El uso de Variables Binarias. - Presupuestos de Capital / restricciones para realizar el objetivo.

3.1 Introducción Muchas veces, algunas o todas las variables de decisión deben restringirse a valores enteros. Por ejemplo: El número de aeronaves que se compró este año. El número de máquinas que necesita para producción. El número de viajes que ha realizado un agente de ventas. El número de policía que se asignó a la vigilancia nocturna.

Variables enteras son requeridas cuando el modelo represente una única decisión (no una operación en proceso). Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE) son mucho más difíciles de resolver que los modelos de Programación Lineal (PL). Los algoritmos que resuelven los modelos lineales enteros no entregan resultados de análisis de sensibilidad.

Los modelos de PLE pueden clasificarse como sigue: Solo de enteros, es decir, todas las variables se restringen a enteros. De variables mixtas - algunas variables son enteras, pero no todas. De binarios- todas las variables son 0 ó 1.

3.2 Las complejidades de PLE Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo lineal simple, se puede obtener la solución óptima no entera. Aproximar a valores enteros puede provocar: Soluciones no-factibles Soluciones factibles pero no óptimas Soluciones óptimas.

¿Siempre se utiliza aproximación? Si, particularmente si ¿ Por qué no enumerar todos los puntos enteros factibles y seleccionar el mejor? Enumerar todas las soluciones enteras es poco práctico, a causa del gran número de puntos factibles. ¿Siempre se utiliza aproximación? Si, particularmente si Los valores de las variables de decisión positivas son relativamente grandes, y los valores de los coeficientes de la función objetivo son relativamente pequeños.

El siguiente ejemplo ilustra algunas de las complicaciones que aparecen cuando se utilizan restricciones enteras sobre las variables de decisión.

 Restaurante Boxcar_Burguer El Boxcar_Burger es una nueva cadena de comida rápida. El local planifica su expansión en el centro y áreas suburbanas. La gerencia desea determinar cuántos restaurantes abrir en cada área a fin de aumentar al máximo la ganancia semanal neta.

Requerimientos y restricciones: No más de 19 gerentes pueden ser asignados. Por lo menos deben abrirse dos restaurantes en el centro. La inversión total no puede exceder a $2.7 Millones. Suburbano Centro Inversión por la ubicación 200,000 600,000 Ganancia diaria 1,200 2,000 Horas de operación 24 horas 12 horas Número de gerentes necesarios 3 1

 Solución El modelo matemático se formula a continuación: Variables de Decisión X1 = Número de restaurantes abiertos en lugares suburbanos. X2 = Número de restaurantes abiertos en el centro . El modelo matemático se formula a continuación:

La inversión total no puede exceder $2.7 dólares Ganancia semanal neta La inversión total no puede exceder $2.7 dólares Por lo menos dos restaurantes en el centro No más de 19 gerentes se pueden asignar enteros mayores que 0

Restricciones La inversión total no puede exceder $2.7 millones

3.3 Sensibilidad de un PLE En los problemas de programación lineal entera no es posible realizar el análisis de sensibilidad. Cualquier cambios en los coeficientes de la función objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará resolver el problema nuevamente.

3.4 Programación lineal mixta Incluye algunas variables que están restringidas a valores enteros. El problema de inversión de Shelly Mednick ilustra esta situación.

 Problema de inversión de Shelley Medrick Shelley Mednick ha decidido realizar una inversión. Ella invertirá en: -TCS, una compañía de abastecimiento y comunicaciones y/o - MFI, un fondo mutuo. Shelley es una inversionista precavida. Ella tiene límites sobre el nivel de inversión, y definió una meta para la ganancia anual.

Datos: TCS vende actualmente cada acción a $55. TCS proyecta vender cada acción a $68 dentro de un año. MFI espera obtener 9% de utilidad anual. Restricciones: La utilidad esperada debe ser de por lo menos $250. La cantidad máxima invertida en TCS no debe sobrepasar un 40% de la inversión total. La cantidad máxima invertida en TCS no debe sobrepasar $750.

Utilidad anual esperada  Solución Variables de decisión X1 = Número de acciones a comprar en TCS. X2 = Cantidad de dinero que invertirá en MFI. El modelo matemático: Minimizar Utilidad anual esperada No más de 40% en TCS. No más de $750 en TCS. Entero

TCS MFI 12.24 1009.79 Inversión total=$1682.99 Solución óptima de PL

Solución óptima de programación mixta Inversión total=$1704.44 1044.44 Solución óptima de PL 12

 Problema de requerimiento de personal Sunset Beach necesita salvavidas La playa de Sunset beach contrata salvavidas por los 7 días de la semana. Las regulaciones requieren que los empleados urbanos trabajen cinco días. Las condiciones de seguridad ordenan en promedio 1 salvavidas por 8000 personas La ciudad desea emplear la mínima cantidad de salvavidas posibles.

 Solución Resumen del Problema Asignar salvavidas para 5 días consecutivos. Minimizar el número total de salvavidas. Satisfacer los requerimientos mínimos de salvavidas para cada día (ver el siguiente modelo lineal). Datos Para cada día, el mínimo de salvavidas requeridos son: Dom. Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. 8 6 5 4 6 7 9

Variables de Decisión: Xi = el número de salvavidas que trabajará el día i para i=1, 2, …,7 (i=1 es Domingo) La Función Objetivo: Minimizar el número total de salvavidas necesarios.

¿quién trabajará el domingo? Para asegurar que los salvavidas sean los suficientes por cada día, pregunte que trabajadores estarán de turno. Por ejemplo: ¿quién trabajará el domingo? X3 X4 X5 X6 X1 mar. mie. jue. vie. dom. Repita este procedimiento por cada día de la semana, y construya las restricciones del caso.

El modelo matemático Todas las variables enteras mayores que 0

Nota: existe una solución óptima alternativa

3.5 Programación lineal entera binaria Las variables binarias toman solamente los valores 0 y 1. Cualquier situación puede ser modelada por un “si/no”, “bueno/malo” ,etc., contenido dentro de la categoría binaria. Por ejemplo Si un nuevo plan de salud se adopta si no se adopta Si se compra el edificio si no se compra

Condominio Salem City El condomionio Salem City debe elegir un proyecto de distribución de fondos de manera tal que la mayoría de la población se vea beneficiada. Los datos relevantes y concernientes al condominio en la ciudad son: * Estimar el costo de cada proyecto * Estimar el número de trabajadores permanentes que empleará el proyecto. * Encuesta de los 9 proyectos más importantes para la ciudad.

Resultados de la Encuesta Distribución de fondos Salem City debe escoger su proyecto de fondos de manera tal que la mayoría de la población se vea beneficiada, para ello realiza una encuesta sobre los 9 proyectos más urgentes. Resultados de la Encuesta

Variables de decisión Función Objetivo * Xj, conjunto de variables binarias que indican si el proyecto j es seleccionado (Xj = 1) o no (Xj = 0). Función Objetivo * Maximizar la cantidad el puntaje para la obtención de fondos del proyecto. Restricciones - Vea el modelo matemático

El modelo matemático CONTINUA L La mayor cantidad de fondos a destinar no puede superar los $900.000 El número de nuevos trabajos debe ser por lo menos 10 El número de nuevos policías debe ser a lo más 3. Debe comprarse una patrulla o un carro de bomberos se debe restaurar la sala de música o invertir en programas deportivos Deben invertirse en programas deportivos o restaurar la sala de música antes de comprar nuevos computadores CONTINUA

CONTINUA *Tres de las siguientes 5 restricciones deben ser satisfechas Por lo menos $250.000 deben guardarse (no usar más de $650.000) Se requieren al menos 3 policias y debe comprarse el equipo de bomberos Se deben contratar siete nuevos policias Al menos 15 nuevos trabajos se deben crear (no 10) Tres proyectos de educación se deben financiar. La condición que al menos 3 de las 5 restricciones deben cumplirse puede ser representado por una variable binaria Yi = 1 si la restricción es considerada 0 si no es considerada CONTINUA

Este conjunto de restricciones se agrega al modelo original LAS RESTRICCIONES CONDICIONADAS SON MODIFICADAS COMO SIGUE: Las siguientes restricciones se agregan para asegurar que a lo más 2 de los objetivos se realizaran Este conjunto de restricciones se agrega al modelo original

3.6 Incluyendo Cargos Fijos El modelo de programación lineal no incluye un costo fijo dentro de sus consideraciones. Se asume que este costo no puede ser calculado, lo cual no siempre es verdadero. En un problema de cargo fijo se tiene: Costo Total = CX + F si X>0 0 si X = 0 donde : C es una variable de costo, y F es el costo fijo

Electrónica GLOBE, INC Electrónica GLOBE fabrica dos tipo de control remoto G50 y G90. GLOBE tiene 4 fabricas y 3 centros de distribución. Cada planta opera bajo sus propias condiciones, por lo cual tienen diferentes costos fijos de operación, costos de producción, tasa de producción y horas de producción disponibles.

Ultimamente la demanda ha disminuido por lo cual la gerencia esta pensando en cerrar una o más de las plantas. La gerencia desea: * Desarrollar una óptima política de distribución * Determinar que planta cerrar (si es que existe alguna)

Datos Costos de producción, tiempo, disponibilidad Proyección de la demanda mensual

* Costo de transporte por 100 unidades * Al menos el 70% de la demanda en cada centro de distribución se debe satisfacer * Precio de venta unitario - G50 = $22 ; G90= $28 City Francisco Cincinnati Kansas San Philadelphia $200 300 500 St.Louis 100 400 New Orleans 200 Denver

Variables de decisión Xi = cientos de G50 producidos en la planta i Zi = cientos de G90 producidos en la planta i Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta la distribuidora j Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta la distribuidora j Identificación de lugares

GLOBE Electrónica Modelo Nº 1 : Todas las plantas operativas

* La gerencia desea maximizar la ganancia neta Función Objetivo * La gerencia desea maximizar la ganancia neta * La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100) * La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y transportadas a la distribuidora j = Ganancia Bruta - Costo de transporte por 100 u * Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4 +1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4 - 200X11 - 300X12 - 500X13 - 100X21 - 100X22 - 400X23 - 200X31 - 200X32 - 300X33 - 300X41 - 100X42 - 100X43 - 200Z11 - 300Z12 - 500Z13 - 100Z21 - 100Z22 - 400Z23 - 200Z31 - 200Z32 - 300Z33 - 300Z41 - 100Z42 - 100Z43 Ganancia Bruta G50 Costo de Transporte G90

Todas las variables enteras mayores que 0 Restricciones Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una planta es igual a la cantidad producida por esta. La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta. Las horas de producción para cada planta no puede exceder de la cantidad de horas de producción total 6X1 + 6Z1 640 7X2 + 8Z2 960 9X3 + 7Z3 480 5X4 + 9Z4 640 Todas las variables enteras mayores que 0 Para G50 X11 + X12 + X13 = X1 X21 + X22 + X23 = X2 X31 + X32 + X33 = X3 X41 + X42 + X43 = X4 Para G90 Z11 + Z12 + Z13 = Z1 Z21 + Z22 + Z23 = Z2 Z31 + Z32 + Z33 = Z3 Z41 + Z42 + Z43 = Z4 Para G50 X11 + X21 + X31 + X41 < 20 X11 + X21 + X31 + X41 > 14 X12 + X22 + X32 + X42 < 30 X12 + X22 + X32 + X42 > 21 X13 + X23 + X33 + X43 < 50 X13 + X23 + X33 + X43 > 35 Para G90 Z11 + Z21 +Z31 + Z41 < 50 Z11 + Z21 + Z31 + Z41 > 35 Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60 Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42 Z13 + Z23 + Z33 + Z43 < 70 Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49

Calculo de la solución óptima mediante WINQSB

Resumen El valor óptimo de la función objetivo es $356.571. Note que el costo fijo de operación de las plantas no se considera en la función objetivo porque todas las plantas se encuentran en operación Restando el costo fijo de $125.000 resulta una ganancia neta mensual de $231.571.

GLOBE Electrónica Modelo Nº 2 : El número de plantas operativas en cada ciudad es una variable de decisión

Variables de decisión Xi = cientos de G50 producidos en la planta i Zi = cientos de G90 producidos en la planta i Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta la distribuidora j Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta la distribuidora j Yi = Una variable binaria (0-1) que describe el número de plantas operando en la ciudad i

* La gerencia desea maximizar la ganancia neta Función Objetivo * La gerencia desea maximizar la ganancia neta * La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100) * La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y transportadas a la distribuidora j = Ganancia Bruta - Costo de transporte de i a j - Costo fijo condicionado

Función Objetivo Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4 +1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4 - 200X11 - 300X12 - 500X13 - 100X21 - 100X22 - 400X23 - 200X31 - 200X32 - 300X33 - 300X41 - 100X42 - 100X43 - 200Z11 - 300Z12 - 500Z13 - 100Z21 - 100Z22 - 400Z23 - 200Z31 - 200Z32 - 300Z33 - 300Z41 - 100Z42 - 100Z43 - 40000Y1 - 35000Y2 - 20000Y3 - 30000Y4

Todos Xij, Xi, Zij, Zi > 0, y Yi son 0,1. Restricciones Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una planta es igual a la cantidad producida por esta. La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta. Las horas de producción para cada planta no puede exceder de la cantidad de horas de producción total 6X1 + 6Z1 - 640Y1 0 7X2 + 8Z2 - 960Y2 0 9X3 + 7Z3 - 480Y3 0 5X4 + 9Z4 - 640Y4 0 Todos Xij, Xi, Zij, Zi > 0, y Yi son 0,1. Para G50 X11 + X12 + X13 = X1 X21 + X22 + X23 = X2 X31 + X32 + X33 = X3 X41 + X42 + X43 = X4 Para G90 Z11 + Z12 + Z13 = Z1 Z21 + Z22 + Z23 = Z2 Z31 + Z32 + Z33 = Z3 Z41 + Z42 + Z43 = Z4 Para G50 X11 + X21 + X31 + X41 < 20 X11 + X21 + X31 + X41 > 14 X12 + X22 + X32 + X42 < 30 X12 + X22 + X32 + X42 > 21 X13 + X23 + X33 + X43 < 50 X13 + X23 + X33 + X43 > 35 Para G90 Z11 + Z21 +Z31 + Z41 < 50 Z11 + Z21 + Z31 + Z41 > 35 Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60 Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42 Z13 + Z23 + Z33 + Z43 < 70 Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49

Calculo de la solución óptima mediante WINQSB

Resumen La planta de Philadelphia debe ser cerrada. El esquema de producción mensual debe realizarse de acuerdo a los resultados obtenidos de la solución. La ganancia neta mensual será de $266.115, $34.544 más que cuando todas las plantas se encontraban en operación.