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Publicada porBasilio Telleria Modificado hace 10 años
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL
Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL
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Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Introducción. Relación con la Programación Lineal Continua Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva mediante modelos de análisis envolvente de datos (DEA). Formulación de problemas de programación entera y mixta. Aplicaciones. Algoritmos de solución Implementación informática Estudios de casos reales de aplicación
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Introducción. Programación Lineal Continua
Objetivos: minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo desigualdad o igualdad. Llamamos “vector factible” al conjunto de valores que satisfacen todas las restricciones. Resolución: consiste en encontrar aquel valor del vector factible que minimiza/maximiza la función objetivo “solución óptima”.
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Formulación del problema
Función objetivo: Max(Min) Z=c1x1+c2x2+..+cnxn Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones) s.a a11x1+a12x2+..+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+..+a2nxn = b2 am1x1+am2x2+..+ammxn = bm Otras restricciones características del tipo de variables x1,x2,...xn 0 Variables de decisión (incógnitas) xj (j=1,2,....n) Recursos disponibles (datos) b1,b2,...bm Coeficientes tecnológicos aij , cj (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)
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Ejemplo1 X1 cantidad de producto 1 X2 cantidad de producto 2 Planta
Planta Capacidad usada Capacidad disponible Producto 1 Producto 2 1 2 3 4 12 18 Ganancia 3 5
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Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de proteinas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita. ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KALORIAS LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 5 60 HUEVO 2 PIEZAS 80 15 $ 7 ESPINACAS 1 RACION 100 125 78 $ 2 CHULETAS 2 CHULETS 25 10 55 $45 175 PESCADO 1 MOJARRA 150 $60 PASTEL 2 REB. 30 05 08 $50 200
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Ejercicio 2 La cadena de restaurantes California, que trabaja 24 h. al día, ha abierto un nuevo restaurante en Las Palmas, y por ello requiere contratar camareros. El administrador ha dividido las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero trabaja 3 horarios consecutivos, formular el problema de P.L. que determine el mínimo número de camareros por contratar. Horario mínimo camareros 0-3 4 3-6 3 6-9 8 9-12 6 12-15 7 15-18 14 18-21 10 21-24 5
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Ejercicio 3 Una empresa determinada tiene disponible un millón de euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea invertir: PROYECTO COSTO UTILIDAD 1 500000 325000 2 200000 122000 3 195000 095000 4 303000 111000 5 350000 150000 Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo total del mismo, formular el modelo P.L. que defina la mejor inversión para la empresa.
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Métodos de resolución: Método Gráfico
Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables. Max Z= X1+1.4X2 S.a X1+0.5X26, 0.5X1+X26, X1+X27 1.4X1+X29 X1,X20
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Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1:
Max Z=3x1+5x2 s.a. x14 2x2 12 3x1+2x2 18 x1,x20
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Métodos de resolución: Método Simplex
Suposiciones: El conjunto formado por las restricciones es convexo La solución siempre ocurre en un punto extremo Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes Método: Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función objetivo Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar otro punto. Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la solución, nos hallamos en el óptimo.
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Programación Lineal Entera
De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras (número de personal a contratar). Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al problema Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución inicial. Si esta es entera (final) Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un variable que presenta solución no entera y divide el problema en dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex
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Programación Lineal Binaria
De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) “Ejercicio 3” Max Z=325x1+122x2+95x3+11x4+150x5 s.a 500x1+200x2+195x3+303x4+350x51000 Resolución: Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)
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Programación Multiobjetivo
En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar: Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población minimizando los costes de implantación de una determinada política “El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas Max Z1=2x1-x2+95x3+11x4+150x5 Max Z2=-x1+5x2 s.a x1+x28 -x1+x23 x16, x24 , x1,x20
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Análisis Envolvente de Datos (DEA)
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