P1. Septiembre 2005 a) Calcular el valor de la integral Respuesta.
b) Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la función compleja: Respuesta.
c) Calcular el valor de la integral: Respuesta. siendo Γ la curva |z| = 1/5 con orientación positiva.
d) Determinar el número de ceros con sus multiplicidades y con parte real no negativa que tiene el polinomio complejo: Respuesta. -iR iR Im (z) Al recorrer la semicircunferencia C R con R → ∞:
Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene: Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. Los cortes con los ejes son: - Eje real:
- Eje imaginario: v u La curva pasa por el origen, lo que se traduce en que P(z) tiene raíces imaginarias puras: t = ± 1 => z = ± i. Para aplicar el método de Nyquist el polinomio no puede tener ceros sobre el contorno, por lo que analizamos la existencia de raíces con parte real positiva del polinomio:
Al recorrer la semicircunferencia C R con R → ∞: Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene:
Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. - Los cortes con los ejes son: * Eje real: * Eje imaginario:
- Comportamiento en los extremos del segmento L R cuando R → ∞: * z = it con t → +∞: * z = it con t → -∞:
Dibujamos en el plano w el contorno resultante recorriéndolo desde t→∞ hasta t → -∞ y analizamos cómo varía el argumento: v u
Con todo:, luego el polinomio dado no tiene ninguna raíz con parte real positiva. En definitiva, P(z) tiene dos raíces en el eje imaginario (z = ±i) y ninguna que cumpla Re(z) > 0.
e) Demostrar la siguiente desigualdad: Im (z) 1 Re (z) Respuesta. L: longitud del arco: M: max |Log z| Γ