Apuntes de Matemáticas 2º ESO TEMA 10.3 ÁNGULOS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO ÁNGULO El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan. También es la región del espacio limitado por dos planos que se cortan. Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Una circunferencia presenta un ángulo total de 360º. α 90º 0º 180º 360º α 270º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º. Decimos entonces que forman un ángulo recto. Un ángulo es agudo si es menor de 90º Un ángulo es obtuso si es mayor de 90º Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS si suman 90º. Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS si suman 180º. Ángulo AGUDO 90º Ángulo OBTUSO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º. La suma de los ángulos interiores de un polígono es: S=180º.(n-2) , de donde n es el número de lados. Los ángulos centrales de un polígono suman siempre 360º. Los ángulos de cada triángulo en que se descompone suman siempre 180º B = 80º A = 60º C = 40º S = 180. n – 360 = 180. (n – 2) en cualquier polígono. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA DE ÁNGULOS Una medida de ángulos se puede escribir como expresión compleja cuando se indican grados (º), minutos (‘) y segundos (“). Ejemplo: 2º 21’ 14” Una medida del ángulo se puede escribir como expresión incompleja cuando se indica sólo en una unidad. Ejemplo: 2’24º Ejemplo: 214’ Ejemplo: 1234” PASO DE EXPRESIÓN COMPLEJA A INCOMPLEJA Y VICEVERSA Se multiplica por 60, o se divide entre 60 según proceda. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Pasar 2º 32’ a segundos (“). 2º = 2 x 60 = 120’ 120’ = 120 x 60 = 7200” 32’ = 32 x 60 = 1920” 7200” + 1920” = 9120” Luego 2º 32’ = 9120” Ejemplo_2 Pasar 5º 3’ 12” a minutos (‘) 5º = 5 x 60 = 300’ 3’ = 3’ 12” = 12 / 60 = 0,2’ 300’ + 3’ + 0,2’ = 303,20’ Luego 5º 3’ 12” = 303,20’ @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_3 Pasar 324’ a grados (º), minutos (‘) y segundos (“). 324’ = 324 / 60 = 5,40º = 5º + 0,4º 0,4º = 0,4 x 60 = 24’ Luego 324’ = 5º 24’ Ejemplo_4 Pasar 3,125º a grados (º), minutos (’) y segundos (“). 3,125º = 3º + 0,125º 0,125º = 0,125 x 60 = 7,5’ 7,5’ = 7’ + 0,5’ 0,5’ = 0,5 x 60 = 30” Luego 3,125º = 3º 7’ 30” @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO SUMA DE ÁNGULOS Para SUMAR ángulos: 1.- Se suman los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos. 2.- Si una vez sumados los segundos son más de 60 se pasan a minutos. 3.- Si una vez sumados los minutos son más de 60 se pasan a grados. Ejemplo_1 Sumar 2º 21’ 14” con 7º 53’ 49” 2º 21’ 14” 7º 53’ 49” ---------------------------- 9º 74’ 63”  9º 75’ 3”  10º 14’ 3” @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Sumar 2 º 59 ' 57 " + 5 º 53 ' 49 " + 12 º 49 ' 58 " 2 º 59 ' 57 " 5 º 53 ' 49 " 12 º 49 ' 58 " ------------------------------- 19 º 161 ' 164 "  19 º 163 ' 44 "  21 º 43 ' 44 " Ejemplo_3 Sumar 2 º 57 " + 5 º 59 ' + 3 º 2 ' 3 " 2 º 57 " 5 º 59 ' 3 º 2 ' 3 " ----------------------------------- 10 º 61 ' 60 "  10 º 62 ' 0 "  11 º 2 ' @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO DIFERENCIA DE ÁNGULOS Para RESTAR ángulos: 1.- Se colocan los grados, minutos y segundos de cada tiempo en columnas, teniendo en cuenta que el ángulo menor se coloca debajo del mayor. 2.- Si el número de segundos del minuendo es menor que el número de segundos del sustraendo, se resta un minuto a los minutos del minuendo y se suman 60 segundos a los segundos del minuendo. 3.- Si el número de minutos del minuendo es menor que el número de minutos del sustraendo, se resta una hora a los grados del minuendo y se suman 60 minutos a los minutos del minuendo. 4.- Se restan los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Restar 2 º 39 ' 47 " a 5 º 3 ' 9 " 5 º 3 ' 9 "  5 º 2 ' 69 "  2 º 39 ' 47 "  2 º 39 ' 47 "  4 º 62 ' 69 " 2 º 39 ' 47 " ---------------------------- 2 º 23 ' 22 " Ejemplo_2 Restar 3 º 57 " a 4 º 35 ' 4 º 35 '  4 º 34 ' 60 " 3 º 57 "  3 º 57 " ---------------------------------- 1 º 34 ' 3 " @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

MULTIPLICACIÓN DE ÁNGULOS Para multiplicar ángulos por un número natural: 1.- Se multiplican los grados, los minutos y los segundos por dicho número. 2.- Si segundos son más de 60 se pasan a minutos. 3.- Si los minutos son más de 60 se pasan a grados. Ejemplo_1 Multiplicar por 7 el ángulo de 2 º 21 ' 14 " 2 º 21 ' 14 " x 7 -------------------------- 14 º 147 ' 98 "  14 º 148 ' 38 "  16 º 28 ' 38 " @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Hallar el producto 12 x 5 º 50 ' 40 " 5 º 50 ' 40 " x 12 -------------------------- 60 º 600 ' 480 "  60 º 608 ' 0 "  70 º 8 ' Ejemplo_3 Hallar el producto 15 x 4 º 50 " 4 º 50 " x 15 60 º 0 ' 750 "  60 º 12 ' 30 " @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO DIVISIÓN DE ÁNGULOS Para DIVIDIR un ángulo por un número natural: 1.- Se dividen los grados entre dicho número y el resto se pasa a minutos, que se suman a los minutos del dividendo. 2.- Se dividen los minutos entre dicho número y el resto se pasa a segundos, que se suman a los segundos del dividendo. 3.- Se dividen los segundos entre el número. Ejemplo_1 Dividir 13 º 39 ' 47 " entre 4 13 º / 4 = 3,25 º = 3 º + 0,25 º 0,25 º = 60 x 0,25 = 15 ' 39 ' + 15 ' = 54 ' 54 ' / 4 = 13,5 ' = 13 ' + 0,5 ' 0,5 ' = 60 x 0,5 = 30 " 47 " + 30 " = 77 " 77 " / 4 = 19 " Luego (13 º 39 ' 47 ") : 4 = 3 º 13 ' 19 " @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Dividir 3 º 9 ' 3 " entre 5 3 º / 5 = 0,6 º  0 º + 0,6 º 60 x 0,6 º = 36 ' 36 ' + 9 ' = 45 ' 45 ' / 5 = 9 ' 3 " / 5 = 0,6 " Luego (3 º 9 ' 3 ") / 5 = 9 ' Ejemplo_3 Dividir 3124 " entre 7 3124 " / 7 = 446 " 446 " / 60 = 7 ' 26 " Luego (3124 ") / 7 = 7 ' 26 " @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO