Coordenadas Polares MAT022 Resumen VBV

Coordenadas Cartesianas

Definiciones  r Eje Polar POLO: Origen (0,0) EJE POLAR: Eje X EJE NORMAL: Eje Y r: distancia dirigida de 0 a P : ángulo dirigido en sentido antihorario r  Eje Polar

Pasar de Coordenadas Cartesianas a Polares x= r cos  y= r sen  x2+y2= r2 tg = y/x

Ejemplos: Escribir en coordenadas polares: P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ). Escribir en coordenadas cartesianas: P ( 2 ,  ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , -/6 ). Y dibujar en el plano.

Ya cuando uno se familiariza con las coordenadas polares…. …no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares: se hace directamente. Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia ángulos y magnitudes.

Importante!!!! En coordenadas rectangulares la representación de un punto es única. Esto no sucede en coordenadas polares: (r, ), (-r, + ) y (r, +2k) representan el mismo punto.

Esto es, ( r ,  ) = ( r ,  + 2 k ), ( r ,  ) = ( - r ,  + ), Donde k es entero

Ejemplos Hallar las coordenadas rectangulares de: P(-2 , 4/3) Q (-3 , 11/6) R (-4 , 3/4) S(-2 , 5/3) Considerar todos los puntos que cumplen: r = 4 sen  Transformar a coordenadas cartesianas e identificar su grafica.

Rectas Radiales

Graficas Polares r = f() se llama ECUACIÓN POLAR. G={ ( x , y ) : x = r cos  , y = r sen  ,  Dom(f) } = {( f() cos  , f() sen  ) :  Dom(f) } Ejemplos: r = 2  = /3 r = sec 

Definiciones Importantes: Función Acotada: r = f() es ACOTADA si M>0, t.q. |r| M, Dom(f) Simetría: Polar (X) : r() = r(-) Normal (Y) : r() = r(-) Polo (O) :

r Simetría: r  -  -   Polar (X) : r() = r(-) O bien al intercambiar simultáneamente: r  -r     -  la ec. no varia Normal (Y) : r() = r(-) O bien al intercambiar simultáneamente: r  -r    - la ec. no varia  -  r

Polo (O) : la ecuación no varia al intercambiar: r  -r o   +

(-1)n r = f(  + n ) OBSERVACIÓN: Cuando decimos que la ecuación no varia estamos diciendo que se obtiene una de sus múltiples representaciones: (-1)n r = f(  + n )

Estrategias para Graficar: Estudiar si la función es: Acotada Simétrica Periódica Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta) Construir tabla Calcular Interceptos, máximos y mínimos.

GRAFICAS IMPORTANTES

RECTAS RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO  =  Ejemplo: Graficar:  = /4

RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO, A UNA DISTANDO “d” DEL POLO Ejemplo: graficar:

RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES r= d cosec  r= d sec  Ejemplo: Graficar: r = 2 sec  r= cosec  Probar!!!!

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” CON CENTRO EN (a,) r=2a cos( - ) Ejemplo: Graficar: r = 4 cos( - /3)

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a” r=2a cos() r=2a sen()

Ejemplos: graficar: r=2 r=4cos() r=4sen()

Estudiar las circunferencias que se obtienen para …. = 0 =  = /2 = 3/2

PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS Se obtienen de la ecuación: e=1 : parábola 0<e<1 : elipse e > 1 : hipérbola

Ejemplos: graficar:

CARACOLES O LIMONARES Son de la forma: Se diferencian, según: r = a  b cos  r = a  b sen  Se diferencian, según: |a| = |b| : Cardioide |a| > |b| : Caracol sin Rizo |a| < |b| : Caracol con Rizo

CARDIOIDE r=1+cos() r=1+sen()

LIMACONES O CARACOLES r=1/2 + cos() r= 3 – 2 cos()

r= 2 – 3 sen()

ROSAS Son del tipo: r = cos (n) Donde n es un numero entero. Si n es par, entonces la grafica tiene 2n pétalos Si n es impar, entonces la grafica tiene n pétalos

ROSAS r=2sin(3) r=2cos(3) r=sen(4)

Otro tipo de rosa… Una rosa dentro de otra r= 1 – 2 sen (3)

LEMNISCATA Son de la forma: r2 = a sen (2) r2 = a cos (2)

LEMNISCATA r2=4cos(2) r2=4sen(2)

Ejemplos: graficar: r2=- 4 sen(2) r2=- 4 cos(2)

ESPIRAL ARQUIMEDES: r= cte  LOGARITMICA r=cte ek r=e r=

Ejercicios Propuestos: Graficar las siguientes ecuaciones polares: r = 5 r = -3 cos  r = 2 / (2 – sen ) r = 2 – 4sen  r - 2 +5 sen  = 0 r2 = 3sen (2) r = sen  + cos  sen  + cos  = 0

Intersección de Graficas Polares. Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, debe tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Ejemplo: r=1-2cos() r=1

Ejercicios Propuestos: Graficar y encontrar los puntos de intersección: A) r = - 6 cos() r = 2 – 2 cos() B) r = 2cos(2) r=1 C) r= cos(2) r= cos() D) r = 3 cos() r = 1+ cos() E) r = 3 sen() F) r2= -8 cos(2) r = 2 G) r = 3 /(2+ sen ) r = 4+ 4 sen ()

ÁREA EN COORDENADAS POLARES r=f() = Si f es una función continua, positiva =

Como encontramos  =  ,  = ???? La pregunta es … Como encontramos  =  ,  = ????

Teorema Si f()= 0 y f’()  0 entonces, la recta  =  es tangente a la grafica de r = f() en el polo.

Ejemplos: Encontrar el área… r = 1+cos()

Ejercicios Propuestos: Encontrar el área… r= 2 cos (3) r= 2 sen (3)

IMPORTANTE!!!! La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo.

Área de la región encerrada por las gráficas de dos ecuaciones polares r = f ( ) y r = g () = 0 g ()  f ( ) r=g() =

IMPORTANTE!!! Encontrar los puntos de intersección de la curva Determinar si g ()  f ( ) o f ()  g ( )

Ejercicio f()= 2 sen() g() = 2 cos() Hallar el área comprendida en el primer cuadrante que es exterior a g() = 2 cos() e interior a f() = 2 sen() Solución: a) Intersección: Resolver la ec: 2 cos() = 2 sen() ⇔  =  / 4 b) Área: g() = 2 cos()

Ejercicios Propuestos: Hallar el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos() ) y dentro de la circunferencia r = 6cos () . Hallar el área común a las dos circunferencias r = 2sen () y r = 2cos () . Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1. 1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y exterior a (2) 2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1) e interior a (2) 3. Hallar el área interior a ambas.