MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

¿Qué es el movimiento armónico simple? Un movimiento armónico simple es un movimiento periódico y oscilatorio, sin rozamiento, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido contrario. Son movimientos vibratorios que se pueden expresar mediante funciones armónicas.

Conceptos previos Movimiento periódico: - Se repite a intervalos iguales de tiempo -Periodo T :  Tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación -Frecuencia F: número de oscilaciones que se realiza en un segundo Se mide en segundos (Se deducirá más adelante) Se mide en hertz o

Movimiento Vibratorio: -Producido por una fuerza que varía periódicamente y que en todo momento es directamente proporcional al desplazamiento -El movimiento vibratorio no es uniforme, es producido por una fuerza periódica lo que implica una aceleración variable: Ej: el péndulo -Oscilación o vibración completa o ciclo: Es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio

Amplitud Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Amplitud En el péndulo se escribe como A Amplitud

Posición de Equilibrio Resorte de Hooke LEY DE HOOKE: “ Fuerza es proporcional a la elongación” Constante de Hooke Constante de Hooke: K= Constante de Hooke ( ) F= Fuerza Externa (en Newton) x= Elongación (en metros) = K Posición de Equilibrio Elongación resorte= 2cm por masa 4 kg X X0

Fuerzas que actúan en el sistema Se considera que en el sistema no hay roce -Fuerza externa: Fuerza necesaria para sacar el sistema del punto de equilibrio -Fuerza restauradora: Aplicada por el resorte, necesaria para que el resorte vuelva a su posición de equilibrio Es contraria a Fext Suma de Fuerzas es 0 De lo anterior se desprende que: Entonces: F restauradora = -F externa X0 Fext = kx Fr= - Kx

Fr= - Kx Fext= 2000 * 2* 10-2 Fext = kx Ejemplo de lo estudiado: A un resorte de Hooke, que cuelga verticalmente, cuya posición de equilibrio es , se le adosa una masa de 4kg. Su elongación es 2cm ¿Cuál es la constante de Hooke? X0 Se considera Fext= m*g (actúa la gravedad) Fext= 4kg * 10 m/s Fext= 40 N X= 2 cm 2* 10-2 40 N = K 2* 10-2 K= 2000 b)¿Cuál es la fuerza de restauración? K= 2000 x= 2* 10-2 Fr= -2000 * 2* 10-2 Fr= - Kx Fr= -40 N c) ¿Cuál es la fuerza externa? K= 2000 x= 2* 10-2 Fext= 2000 * 2* 10-2 Fext = kx F ext= 40 N

Trabajo Método del gráfico W= ½ * Kx Si la fuerza es constante se tiene que: Método del gráfico Podemos determinar el trabajo realizado entre las posiciones x1 y x2 calculando el área sombreada, es decir: w= Fx x: distancia F: fuerza externa Se deduce la fórmula para M.A.S W= ½ * Kx

Aceleración Magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2. En M.A.S es siempre negativa Deducción fórmula: F= -Kx ma = -Kx Se considera que el resorte no tiene masa x: elongación cualquiera k: constante m: masa que mueve el sistema a= -Kx m

Energía de un M.A.S. Energía cinética En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa. Energía cinética Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.

Energía potencial elástica La energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por: Energía mecánica No depende de la posición. Es constante

Velocidad V = La velocidad varía en el M.A.S: Al aplicarle una fuerza el punto de máxima velocidad es el punto de equilibrio En los extremos (de elongación y contracción) la velocidad es igual a 0. Deducción de la fórmula: Ep = ½ Kx0 2 ½ kx + ½ mv2 = ½ Kx0 2 /* 2 kx2 + mv2 = Kx0 2 mv2 = Kx0 - kx2 mv2 = K (x0 2- x2 ) V =

Periodo Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - w2x (para M.A.S cinemática) tenemos:   Si sustituimos  por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

Ejemplos MAS Oscilación de un resorte horizontal, masa adosada Oscilación de un resorte vertical, masa adosada Oscilación de un péndulo

Péndulo Es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

Ecuación del movimiento Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud,l Se tiene las siguiente fórmulas: Sólo si el ángulo es pequeño se trata de una M.A.S

Resorte Un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido

Tabla ejemplo resorte con masa adosada