Sesión 14.1 Cónicas: Hipérbola

Consideraciones previas Las hipérbolas y las señales de radio son la base del sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance). Es un sistema de ayuda a la navegación electrónico hiperbólico que utiliza el tiempo transcurrido entre la recepción de señales de radio transmitidas desde tres o más transmisores para determinar la posición del receptor. En la actualidad se usa el GPS (Sistema de Posicionamiento Global)

La hipérbola Es el conjunto de puntos en el plano, cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano (focos), es constante. La recta que pasa por los focos es el eje focal. El punto medio entre los focos es el centro. Los puntos donde la hipérbola se interseca con su eje focal son los vértices. x F1(-c,0) F2(-c,0) P(x,y) x = -a x = a o y Foco Vértice Centro Eje focal d(P; F1) – d(P; F2) = ± 2a

Elementos de la hipérbola y b V1 -a F1 -c V2 a F2 c x -b a b c Del triángulo: c2 = a2 + b2 Longitud del eje transversal o focal: 2a Longitud del eje conjugado: 2b

Ecuación de la hipérbola F1 F2 V1 V2 -c -a a c y b -b Eje focal F1 F2 V1 V2 c -b b -c x y a -a Eje focal x

Ejercicios Determine los vértices y los focos de la hipérbola 9x2 – 16y2 = 144 Determine la ecuación de la hipérbola con focos (0; -3) y (0; 3) y cuya longitud del eje conjugado es 4. Determine los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. Trace la gráfica

Hipérbolas con centro (0;0) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje transversal Semieje conjugado Relación pitagórica Asíntotas Eje x (c; 0) (a; 0) a b Eje y (0; c) (0; a) a b

Traslación de hipérbolas (h – c, k) (h - a, k) (h + c, k) x y a Eje focal y = k (h, k) b c (h + a, k) (h, k + c) a x y (h, k – a) Eje focal x = h (h, k) c b (h, k - c) (h, k + a)

Hipérbolas con centro (h, k) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje transversal Semieje conjugado Relación pitagórica Asíntotas y = k (h  c; k) (h  a; k) a b x = h (h; k  c) (h; k  a) a b

Ejercicios Determine la ecuación de la hipérbola cuyo eje transversal tiene sus puntos finales en (-2; -1) y (-8; -1), y cuya longitud del eje conjugado es 8. Determine el centro, los vértices y los focos de la hipérbola. Grafique Dada la ecuación Halle el centro, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Con la información obtenida grafique la curva .

Modelación Las hipérbolas y las señales de radio son la base del sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance). Se conoce que las señales de radio viajan a 980 pies por microsegundo, donde un microsegundo (1s) es 10-6 s. P A, B y C son los focos de las respectivas hipérbolas. La posición P se logra con la intersección de las hipérbolas, respecto a un origen arbitrario (A, B o C).

Modelación Simultáneamente se envían señales de radio de unos transmisores A, B y C. C está a 100 millas al norte de A y B está a 80 millas al este de A. El receptor LORAN del barco Laureate Inc., recibe la señal desde A 323,27s después de recibir la señal desde C y 258,61s después de recibirla desde B. ¿Cuál es la dirección y la distancia en millas del barco con respecto a A? Nota: considere la posición de A = (0; 0) una milla = 5280 pies

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 12, 14, 16, 36, 38 y 50 de la páginas 663 y 664. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.