Vectores

Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangulares y + ( unidades) eje vertical (variable dependiente) x + (unidades) eje horizontal (variable independiente) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 l l l l l l l l l l l l abscisas ordenadas

Localización de un punto en el plano cartesiano Se hace a partir del origen del sistema, ya sea: Mediante la pareja de puntos coordenados (x,y) Especificando la distancia, el ángulo y a partir de qué eje y hacia dónde se mide el ángulo. q y + (m) x + (m) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 (4,3) d I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante - 2 l l l l l l l l l l l

Como medir DISTANCIAS EN EL PLANO (Teorema de Pitágoras) q y + (m) x + (m) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 ( 4 , 3 ) d - 2 l l l l l l l l l l l (x 2 , y 2) (x 1 , y 1) ( 0 , 0 ) x 2 - x 1 y 2 - y 1

Como medir el ÁNGULO Se forma un triángulo rectángulo, donde el lado más largo se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos. El lado que está junto al ángulo se denomina cateto adyacente El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado contrario al ángulo. q y + (m) x + (m) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 (4,3) Cateto opuesto Hipotenusa Cateto adyacente - 2 Se requiere conocer las funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas q y + (m) x + (m) 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 (4,3) Cateto opuesto Hipotenusa Cateto adyacente - 2

El ángulo se encuentra sacando el inverso de la función seleccionada El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa en función de dichos puntos como: (el ángulo se está midiendo hacia el Norte a partir del Este)

E s c a l a r e s Cantidad física Unidades Tiempo 30 s Volumen 10 cm3 Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse completamente basta con dar un número y su unidad correspondiente. Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmética: suma, resta, multiplicación y división. Cantidad física Unidades Tiempo 30 s Volumen 10 cm3 Masa 20 kg Gravedad 9.81 m/s2 Distancia, longitud, profundidad, altura. 50 m Presión 760 mmHg Temperatura 300 C Densidad 1 Kg/m3 Rapidez m/s Carga 5x10-6 Coulomb

V E C T O R E S Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse completamente hay que proporcionar: un número (4); una unidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb); una dirección (horizontal, vertical, inclinada); un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo) Se representan gráficamente mediante flechas. Se manejan mediante operaciones especiales: Suma y resta vectorial Producto punto o producto escalar Producto cruz o producto vectorial

Cantidades Vectoriales Magnitud Unidad Dirección Sentido Desplazamiento 5 m Horizontal Hacia la izquierda Fuerza 10 Newton 300 al N del E Peso 15 Vertical Hacia el centro de la Tierra Aceleración 9.81 m/s2 Campo Eléctrico 12 N/C Radial Saliendo Velocidad 11 Km/hr 600 A partir del eje x+ en sentido de las manecillas del reloj Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano

Notación de Vectores Se representan mediante flechas. b F c Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha A Magnitud del vector A = valor absoluto del vector A A = |A| = |A| Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no importa si sus orígenes no coincidan. A B F c A = B = c ≠ F ≠ M M

Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos: Métodos Gráficos Suma de V e c t o r e s Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos: Métodos Gráficos Método del paralelogramo (dos vectores) Método del polígono ( Para sumar más de dos vectores) Método Analítico

Método del Paralelogramo Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera: Se unen los orígenes de los dos vectores. A partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo. La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo: A A Resultante B B

Método del Polígono Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son más de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último. D D B Resultante C A A B C

Propiedades de la Suma Vectorial Ley conmutativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo resultado, no importa el orden en que se sumen. Del ejemplo anterior: A B D D Resultante C D B Resultante A A C C B

Propiedades de la Suma Vectorial Ley asociativa de la suma: Al sumar dos o más vectores, algunos o todos se pueden asociar para obtener semi-resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior: B D B C A D C A + D Resultante A C + B

Propiedades de la Suma Vectorial Multiplicación de un vector por un escalar Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un nuevo vector ( B ) que es k veces mayor, k veces menor o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo: k = 2 B = 2 F F k = 1/2 W = 1/2 F = F/ 2

Propiedades de la Suma Vectorial Negativo de un vector El negativo de un vector S es aquél que tiene la misma magnitud y dirección que S pero sentido contrario. El negativo de un vector S es aquél que hay que sumarle a S para obtener el vector nulo. O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo: S B = - S k = - 1 - S S + ( - S ) = 0

Resta de Vectores … Se define la resta de vectores como: A - B = A + ( - B ) = R Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de que se toma el negativo del vector B. Ejemplo A B A – B = A + ( - B ) = R - B B – A = - (A - B ) = - R - A B A

Método analítico: componentes rectangulares Los vectores son referidos a un plano cartesiano, se definen las componentes Ax y Ay de un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenados, éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector. A 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 l l l l l l l l l l l l x + y + A x A y

Método analítico: cálculo de las componentes rectangulares Cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación mediante el ángulo, las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas. Se forma un triángulo rectángulo, en donde las componentes vienen siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las funciones trigonométricas: hipotenusa cateto opuesto sen θ = = A y |A| A y A 4 -1 l l l l 3 x + y + A x θ cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa despejando la componente vertical: A y = |A| sen θ cos θ = hipotenusa cateto Adyacente = A x |A| despejando la componente horizontal: A x= |A| cos θ

Método analítico: cálculo de la magnitud y ángulo de un vector Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A x , A y ) de un vector, se puede conocer: Su magnitud aplicando el teorema de Pitágoras Su orientación mediante el inverso de la función tangente del ángulo. |A| = √ (A x )2 + ( A y )2 A y A 4 -1 l l l l 3 x + y + A x θ cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa tan θ = cateto opuesto cateto adyacente A y A x = θ = tan -1 A y A x

Método analítico: problema del ángulo y los ejes El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje y. Hay que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las componentes, ya que para la misma función, las componentes CAMBIAN. y + y + A A 2 2 θ l l θ l l l l 4 -1 4 -1 x + x + -1 -1 cat. op. A y |A| cat. op. A x sen θ = = sen θ = = hip. hip. |A| A x = |A| sen θ A y = |A| sen θ A y = |A| cos θ A x = |A| cos θ

Suma de vectores: método analítico | R |= √ ( Rx)2 + (Ry)2 y + θR= tan -1 Ry Rx B Donde: Rx= Ax + Bx B y θB R R y Ry= Ay + By A Además: A y Ax = | A | cos θA θR θA Ay = | A | sen θA x + Bx = | B | cos θB A x B x R x By = | B | sen θB

Ejercicio: suma de vectores La magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una ángulo de 300 con respecto a la horizontal; la magnitud del vector B es de 300 unidades y forma un ángulo de 1350 con respecto a la horizontal; la magnitud del vector C es de 150 unidades y forma un ángulo de 2350 con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj. a) Utilizando el método gráfico, encuentre: i ) A + B + C ii ) B + A + C iii ) A - B + C iv ) C - B – A b) Encuentre los puntos del i ) al iv ) del inciso anterior utilizando el método analítico.

Representación de vectores: vectores unitarios Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos: A = |A| Simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un vector. A = A x + A y Simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector. |A| = A x + A y Simbología incorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitágoras. Como se puede apreciar, hasta este momento aún no contamos con una terminología para describir a un vector en notación vectorial. Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitarios î , ĵ cuya magnitud, como su propio nombre lo indica, es la unidad y su dirección es a lo largo de los ejes coordenados, su sentido saliendo del origen. Veámoslos en el plano...

Un vector se representa como: Vectores unitarios Se definen los vectores unitarios î , ĵ cuya magnitud como su propio nombre lo indica es la unidad y su dirección es a lo largo de los ejes coordenados, su sentido saliendo del origen. La letra î se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de las x positivo La letra ĵ para el vector unitario en la dirección del eje de las y positivo. Se le conocen también como vectores direccionales î = i ĵ = j | î | = | ĵ | = 1 1 2 î ĵ x + y + Un vector se representa como: A = Ax i + Ay j

Suma de Vectores: método de vectores unitarios Sumar los siguientes vectores: A = 4 i + 5 j B = 6 i + 2 j Solución C = A + B = (4 i + 5 j ) + (6 i + 2 j ) = 4 i + 6 i + 5 j + 2 j = (4 + 6) i + (5 + 2) j =10 i + 7 j ó más sencillo A = 4 i + 5 j + R = 10 i + 7 j R = |R| = √100+49 = √149 = 12.2 u θ = tan-1 (7/10) = 350 Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, más cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E y + 10 Dibujar los vectores y sumarlos 5 5 x + 10

ANEXO PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Producto punto o producto escalar El producto punto o producto escalar se define como: A ● B = |A| |B| cos θ = A B cos θ En función de los vectores unitarios A ● B = (A x i + A y j) ● (B x i + B y j) Desarrollando: A ● B = A x B x (i ● i) + A x B y (i ● j) + A y B x (j ● i) + A y B y (j ● j) Aplicando la definición i ● i = (1) (1) cos 00 = 1 i ● j = (1) (1) cos 900 = 0 j ● j = (1) (1) cos 00 = 1 j ● i = (1) (1) cos 900 = 0

|A| |B| cos θ = A x B x + A y B y Producto punto … Sustituyendo los productos punto A ● B = A x B x + A y B y Igualando ambas definiciones |A| |B| cos θ = A x B x + A y B y Despejando el ángulo θ = cos-1 A x B x + A y B y |A| |B|

Ejemplo: producto punto Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores: A = 4 i + 5 j análisis: I cuadrante a 51.340 al N del E; magnitud 6.4 B = 6 i + 2 j análisis: I cuadrante a 17.430 al N del E; magnitud 6.3 A ● B = A x B x + A y B y = 24 + 10 = 34 El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es: θ = cos-1 θ = 32.90 A x B x + A y B y |A| |B| 34 √16+25 √36+4

Operaciones con Vectores … PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ Sean A y B dos vectores, se define el producto vectorial como: A x B = C donde C es un nuevo vector La MAGNITUD del vector C viene dada por: |C| = C = | A x B | = | A | | B | sen θ = AB sen θAB Donde θAB es el menor ángulo que se forma entre los vectores La DIRECCIÓN del vector C es perpendicular tanto al vector A como al B Su SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHA

Regla de la mano derecha Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores Si el ángulo entre los dos vectores es de 900, entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900 = 0 Nota: Los vectores A y B forman o están en un plano, siendo el vector C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso.

Producto cruz o producto vectorial El producto cruz o producto vectorial se definió como: A x B = |A| |B| sen θ = A B sen θ En función de los vectores unitarios A x B = (A x i + A y j) x (B x i + B y j) Desarrollando: A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A y B x (j x i) + A y B y (j x j) Aplicando la definición i x i = (1) (1) sen 00 = 0 i x j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha) j x j = (1) (1) sen 00 = 0 j x i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

A x B = A x B y (k) + A y B x (-k) Producto cruz … Sustituyendo los productos cruz de vectores unitarios A x B = A x B y (k) + A y B x (-k) A x B = (A x B y - A y B x ) k Un nuevo vector cuya: Magnitud es: A x B y - A y B x Dirección: perpendicular al plano formado por A y B. Sentido: Sale del plano si A x B y - A y B x > 0 Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensiones El producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios A x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k) Desarrollando: A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A x B z (i x k) +A y B x (j x i) + A y B y (j x j) + A y B z (j x k) + A z B x (k x i) + A z B y (k x j) + A z B z (k x k) Aplicando la definición i x i = (1) (1) sen 00 = 0 i x j = (1) (1) sen 900 = k i x k = (1) (1) sen 900 = - j j x i = (1) (1) sen 900 = - k j x j = (1) (1) sen 00 = 0 j x k = (1) (1) sen 900 = i k x i = (1) (1) sen 900 = j k x j = (1) (1) sen 900 = - i k x k = (1) (1) sen 00 = 0

Producto cruz: determinantes i j k Ax Ay Az Bx By Bz = +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az ) j + (Ax By – Bx Ay )k A x B =