INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I UNEXPO INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES UNIDAD 1 TEMAS 1. VALOR ABSOLUTO, 2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO. 3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. 4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES CLASE 5 UNEXPO Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO INTRODUCCIÓN AL TEMA En esta sección se desarrollará la noción de valor absoluto o módulo de un número real, el cual está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y normas en diferentes contextos matemáticos y físicos. Igualmente, abordaremos sus propiedades y la resolución de ecuaciones e inecuaciones que tengan valor absoluto. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

COMPETENCIAS A LOGRAR: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO COMPETENCIAS A LOGRAR: Identifica el valor absoluto como operación básica de los números reales. Conoce y resuelve ecuaciones e inecuaciones con VALOR ABSOLUTO utilizando los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y las propiedades de las desigualdades. PREREQUISITOS: Conoce las operaciones básicas definidas en el conjunto de los NÚMEROS REALES y sus propiedades. Conoce la axiomática de orden y las propiedades de las desigualdades. (Q) Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

Guías recomendadas por el profesor. Lápiz y papel. Apuntes personales MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO MATERIALES: Guías recomendadas por el profesor. Lápiz y papel. Apuntes personales Textos Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

ÍNDICE: 1. VALOR ABSOLUTO, 2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO. MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO ÍNDICE: 1. VALOR ABSOLUTO, 2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO. 3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. 4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO NOTA: Selecciona el tema que deseas repasar o continua adelante si quieres revisar toda la presentación. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL TEMA 1 El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por el símbolo 𝑥 , se define por la siguiente regla: Si x es positivo, su valor absoluto es el mismo número x. Si x es negativo, su valor absoluto es el opuesto de x (-x). Si x es cero, su valor absoluto es cero. Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al cero. Veamos algunos ejemplos Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

−𝟕 =− −𝟕 =𝟕 𝟕 = 𝟕 De igual manera Valor absoluto de 7 es igual a 7 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO De igual manera Valor absoluto de 7 es igual a 7 Ejemplo: −𝟕 =− −𝟕 =𝟕 𝟕 = 𝟕 EN PALABRAS, SERÍA: −𝟕 ESTÁ A LA MISMA DISTANCIA A LA IZQUIERDA DE 𝟎, QUE 𝟕 A LA DERECHA DE 0. GEOMÉTRICAMENTE ESTO ES: Es por esta razón que decimos Valor absoluto de -7 es igual a 7 La distancia del 0 al −7 es 7 La distancia del 0 al 7 es 7 1 2 3 4 5 6 7 −6 −5 -4 -3 -2 -1 −7 8 RECTA NUMÉRICA Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición: Si x es un número real, su valor absoluto es: 𝒙 = −𝒙, 𝒔𝒊 𝒙<𝟎 𝒙, 𝒔𝒊 𝒙≥𝟎 Nota: Si 𝑥 es negativo, −𝑥 es positivo. Esto es, si 𝑥=−2, entonces, −𝑥 = −(−2); −𝑥 = 2 VOLVER AL ÍNDICE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

2 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO TEMA MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO TEMA 2 Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición anterior: sean 𝑥 e 𝑦 números reales cualesquiera. 1. 𝒙 ≥𝟎 2. 𝒙 = −𝒙 3. 𝒙 =𝟎⟺𝒙=𝟎 4. 𝒙−𝒚 = 𝒚−𝒙 5. 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒙=𝒚 ∨𝒙=−𝒚 6. 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 7. 𝒙 = 𝒙 𝟐 VER DEMOSTRACIÓN 8. − 𝒙 ≤𝒙≤ 𝒙 9. 𝒙.𝒚 = 𝒙 . 𝒚 10. 𝒙 𝒚 = 𝒙 𝒚 𝒄𝒐𝒏 𝒚≠𝟎 11. 𝒙 =𝒂∧𝒂≥𝟎⟺ 𝒙=𝒂 ∨𝒙=−𝒂 𝒙=𝒂 ∨𝒙=−𝒂 12. ∀ 𝒂>𝟎 𝒙 ≤𝒂⟺−𝒂≤𝒙≤𝒂 o 𝒙 <𝒂⟺−𝒂<𝒙<𝒂 13. ∀ 𝒂>𝟎 𝒙 ≥𝒂⟺ 𝒙≤−𝒂∨𝒙≥𝒂 𝒙 >𝒂⟺ 𝒙<−𝒂∨𝒙>𝒂 14. 𝒙+𝒚 ≤ 𝒙 + 𝒚 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Propiedad 14. ∀𝒙,𝒚 ∈𝑹, 𝒙+𝒚 ≤ 𝒙 + 𝒚 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Propiedad 14. ∀𝒙,𝒚 ∈𝑹, 𝒙+𝒚 ≤ 𝒙 + 𝒚 Demostración: Por propiedad 8 de valor absoluto, se tiene que: − 𝒙 ≤𝒙≤ 𝒙 − 𝒚 ≤𝒚≤ 𝒚 Sumando miembro a miembro los términos de estas dos desigualdades se obtiene: − 𝒙 − 𝒚 ≤𝒙+𝒚≤ 𝒙 + 𝒚 o − 𝒙 + 𝒚 ≤𝒙+𝒚≤ 𝒙 + 𝒚 Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, se obtiene: 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 VOLVER A LA CLASE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Se consideran dos casos: Caso 1: 𝑥≥0 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Propiedad 7. 𝒙 = 𝒙 𝟐 Demostración: Se consideran dos casos: Caso 1: 𝑥≥0 Como 𝑥≥0, entonces 𝑥 =𝑥 y 𝑥 2 =𝑥 , luego 𝒙 = 𝒙 𝟐 Caso 2: 𝑥<0 𝑥 =−𝑥 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥<0, y como 𝑥 2 = −𝑥 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 2 = −𝑥 2 =−𝑥 luego 𝒙 = 𝒙 𝟐 De los casos 1 y 2, se concluye que: 𝒙 = 𝒙 𝟐 VOLVER A LA CLASE VOLVER AL ÍNDICE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

3 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO TEMA 3 Las ecuaciones con valor absoluto se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo. Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 𝟑𝒙+𝟓 =𝟒 2. 𝒙 𝟐 −𝟗 =𝟎 3. 𝒙−𝟏 =−𝟏 4. −𝟐𝒙+𝟏 =𝒙−𝟐 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Formamos dos Ecuaciones Resolvamos estas Ecuaciones MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ejemplo 1: 𝟑𝒙+𝟓 =𝟒 Solución: Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto: 𝒙 =𝒂∧𝒂≥𝟎⟺ 𝒙=𝒂 ∨ 𝒙=−𝒂 Formamos dos Ecuaciones c𝐨𝐦𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦𝐨𝐬 𝟑𝒙+𝟓 =𝟒 con 𝒙 =𝒂 : 3𝑥+5 =4 ⟺3𝑥+5=4 ∨3𝑥+5=−4 ECUACIÓN 1 ECUACIÓN 2 Resolvamos estas Ecuaciones Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO copia en tu cuaderno y resuelve las dos ecuaciones lineales antes planteadas Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene: 𝑥=− 1 3 𝑜 𝑥=−3 Verifiquemos aplicando la sustitución en la ecuación dada: Para 𝒙=− 𝟏 𝟑 reemplazamos este valor de 𝑥 en la ecuación 3𝒙+5 =4 y se tiene 3 − 𝟏 𝟑 +5 =4→ −1+5 =4→ 4 =4 Lo cual es una proposición verdadera, esto nos dice que el valor de 𝑥 encontrado es correcto. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Ahora verificamos para la otra solución de la ecuación: Para 𝒙=−𝟑 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ahora verificamos para la otra solución de la ecuación: Para 𝒙=−𝟑 luego se tiene 3 −𝟑 +5 =4→ −9+5 =4→ −4 =4 En conclusión: el conjunto solución de la ecuación 3𝒙+5 =4 es: − 𝟏 𝟑 , −𝟑 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto 𝑥 =0⟺𝑥=0 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ejemplo 2: 𝒙 𝟐 −𝟗 =𝟎 Solución: Aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto 𝑥 =0⟺𝑥=0 𝑥 2 −9 =0⟺ 𝑥 2 −9=0 Resolviendo la ecuación 𝑥 2 −9=0: se tiene: 𝑥 2 =9 Al extraer raíz cuadrada en ambos miembros: 𝒙 𝟐 = 𝟗 Por la propiedad 7 de valor absoluto se obtiene la ecuación: 𝑥 =3 Cuya solución es: 𝒙=−𝟑 𝑜 𝒙=𝟑 Por lo tanto el conjunto solución es: −3,3 Al comprobar: 𝑥=−𝟑→ −𝟑 2 −9 =0 𝑥=𝟑→ 𝟑 2 −9 =0 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

(i)−2𝑥+1=𝑥−2 ó (ii)−2𝑥+1=− 𝑥−2 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ejemplo 3: 𝒙−𝟏 =−𝟏 Solución: La solución de la ecuación dada es el conjunto ∅, ya que el miembro de la izquierda: 𝑥−1 ≥0 para cualquier 𝑥 en R y el miembro de la derecha es -1 es negativo, por lo que dicha igualdad no es cierta cualquiera sea el valor de x. Ejemplo 4: −𝟐𝒙+𝟏 =𝒙−𝟐 Como −𝟐𝒙+𝟏 ≥𝟎, entonces se debe cumplir 𝑥−2≥0, lo cual equivale a 𝑥≥2. Luego, se aplica la propiedad 11 de valor absoluto, obteniéndose:   (i)−2𝑥+1=𝑥−2 ó (ii)−2𝑥+1=− 𝑥−2   La solución de la ecuación (i) es: 𝑥=1 y la de (ii) es 𝑥=−1. Los números -1 y 1 no satisfacen la condición 𝑥≥2 entonces, el conjunto −1,1 no es la solución de la ecuación −𝟐𝒙+𝟏 =𝒙−𝟐. Esto es, la ecuación no tiene solución. VOLVER AL ÍNDICE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO TEMA MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO TEMA 4 Las inecuaciones se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.   Ejemplo 1: 𝟕−𝟑𝒙 ≤𝟐 Solución: Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto resulta: 𝟕−𝟑𝒙≥−𝟐 ∧ 𝟕−𝟑𝒙≤𝟐 De allí que: 𝑥≥ 5 3 ∧ 𝑥≤3. Luego la solución de la inecuación 𝟕−𝟑𝒙 ≤𝟐 es: 𝑆= (−∞,3 ∩ 5 3 ,+ ∞ = 5 3 ,3 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, se tiene: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ejemplo 2: 𝟒𝒙−𝟓 ≤𝟏+𝟐𝒙 Solución: Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, se tiene: 4𝑥−5 ≤1+2𝑥⇔− 1+2𝑥 ≤4𝑥−5≤1+2𝑥 además 𝟏+𝟐𝒙≥𝟎 Lo cual equivale a: 𝑖) 4𝑥−5≥− 1+2𝑥 ∧ 𝑖𝑖) 4𝑥−5≤1+2𝑥 ∧ 𝑖𝑖𝑖) 1+2𝑥≥0 Al resolver estas dos inecuaciones se obtiene: 𝑆 𝑖 = 2 3 ,+∞ ∧ 𝑆 𝑖𝑖 = −∞,3 ∧ 𝑆 𝑖𝑖𝑖 = − 1 2 ,+∞ Luego la solución de la inecuación 𝟒𝒙−𝟓 ≤𝟏+𝟐𝒙 es: 𝑆= 𝑆 𝑖 ∩ 𝑆 𝑖𝑖 ∩ 𝑆 𝑖𝑖𝑖 = 2 3 , 3 Se podría usar otro método alternativo de solución como la definición de valor absoluto, lo cual nos deberá dar el mismo resultado, veamos: Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Dado que: 4𝑥−5 ≤1+2𝑥 Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que: 𝑖) 𝑆𝑖 4𝑥−5≥0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 4𝑥−5≤1+2𝑥 o 𝑖𝑖) 𝑆𝑖 4𝑥−5<0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −(4𝑥−5)≤1+2𝑥 Al resolver estas cuatro inecuaciones resulta: 𝑖)𝑥≤3 ∧ 𝑥≥ 5 4 ∨ 𝑖𝑖)𝑥≥ 2 3 ∧ 𝑥< 5 4 Luego, 𝑆 𝑖 = 5 4 ,3 ∨ 𝑆 𝑖𝑖 = 2 3 , 5 4 Recuerde que 1+2𝑥≥0, 𝐶𝑢𝑦𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑆 𝑖𝑖𝑖 = − 1 2 ,+∞ Así, la solución de la inecuación dada es: 𝑆=(𝑆 𝑖 ∪ 𝑆 𝑖𝑖 )∩ 𝑆 𝑖𝑖𝑖 = 2 3 ,3 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto se tiene: MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Ejemplo 3: 𝒙−𝟓 ≥𝟏−𝒙 Solución: Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto se tiene: 𝑥−5 ≥1−𝑥⇔(𝑥−5≤− 1−𝑥 ∨ 𝑥−5≥1−𝑥) De aquí se obtienen dos inecuaciones: i) 𝑥−5≤− 1−𝑥 ∨ ii) 𝑥−5≤−1+𝑥 Resolviendo (i) se obtiene −5≤−1, la cual es verdadera por lo que su solución es 𝑆 𝑖 =𝑅 Resolviendo (ii) se obtiene se obtiene la solución 𝑆 𝑖𝑖 = 3, +∞) Luego la solución de la inecuación 𝒙−𝟓 ≥𝟏−𝒙 es: 𝑆= 𝑆 𝑖 ∪ 𝑆 𝑖𝑖 = 3, +∞) VOLVER AL ÍNDICE Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) UNEXPO Para verificar los conocimientos adquiridos realiza la actividad de evaluación sugerida para el reforzamiento de esta clase Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Gutiérrez, Y. (2005). Introducción a los Números Reales. UNEXPO- Vicerrectorado Puerto Ordaz. Morales, E. (2004). Números Reales y Geometría Analítica con estrategias heurísticas y algorítmicas de resolución de problemas. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Morales, E. (2014). Uso del diagrama V de Gowin y la Trilogía CRP como estrategias heurísticas de solución de problemas. Notas didácticas para el curso de matemáticas I: Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Núñez, L. (2007). Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz. Sobel, Max. (1998). Pre-cálculo. (Quinta edición). México. Prentice Hall. Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)

FIN DE LA CLASE 5 MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1) UNEXPO FIN DE LA CLASE 5 Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014) Morales, E. y Ríos, I. (2011)