Ecuaciones y sistemas de ecuaciones UNIDAD 07 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1. Soluciones de una ecuación 2. Ecuaciones equivalentes. Reglas de transformación 3. Ecuaciones de primer grado 4. Ecuaciones de segundo grado 5. Sistemas de ecuaciones lineales 6. Resolución algebraica de problemas 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
Soluciones de una ecuación ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación son aquellos valores que, al ser sustituidos por las letras correspondientes, verifican la igualdad. La solución de la ecuación 3x + 1 = 4, es: x = 1 Las soluciones de la ecuación x2 = 36, son: x = 6 y x = – 6 La ecuación 2x + x – 4 = 6 + 3x no tiene solución. 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
2. Ecuaciones equivalentes. Reglas de transformación ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 2. Ecuaciones equivalentes. Reglas de transformación Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Principio de la suma (trasponer términos): 5x + 3 = 18 5x + 3 – 3 = 18 – 3 5x = 15 Principio del producto (despejar la incógnita): 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
3. Ecuaciones de primer grado ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3. Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad del tipo: ax + b = 0 donde los coeficiente a y b son números reales y a 0. La solución general de este tipo de ecuaciones es: 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
4. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad del tipo: ax2 + bx + c = 0 donde los coeficiente a, b y c son números reales y a 0. Las dos soluciones de la ecuación de segundo grado tiene la siguiente expresión general: 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
4. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4. Ecuaciones de segundo grado Según sus coeficientes, las ecuaciones de segundo grado puedes ser: Incompletas: Si b = 0 x2 – 4 = 0 Si c = 0 12x2 – 4x = 0 Si b = 0 y c = 0 9x2 = 0 Completas: si todos son distintos de cero. 2x2 + x – 1 = 0 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
4. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4. Ecuaciones de segundo grado Incompletas Si b = 0 x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = = 2 Si c = 0 12x2 – 4x = 0 x (12x – 4) = 0 Si b = 0 y c = 0 9x2 = 0 x = 0 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
4. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4. Ecuaciones de segundo grado Completas ax2 + bx + c = 0 2x2 + x – 1 = 0 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
5. Sistemas de ecuaciones ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales son dos ecuaciones lineales, es decir, dos rectas en el plano, que tiene que verificarse a la vez. Las soluciones dependen de la relación entre los coeficientes. La solución es única si: No tiene solución si: Tiene infinitas soluciones si: 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
5. Sistemas de ecuaciones. Sustitución ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Sistemas de ecuaciones. Sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir el resultado en la otra. y = 4 – 7x Se sustituye en la segunda ecuación esta expresión y se resuelve: 10x – 3 · (4 – 7x) = 19 10x – 12 + 21x = 19 x = 1 Se introduce el valor obtenido, x = 1, en la expresión inicial: y = 4 – 7x y = 4 – 7 · 1 y = –3 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
5. Sistemas de ecuaciones. Igualación ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Sistemas de ecuaciones. Igualación Consiste en despejar una de las incógnitas en ambas ecuaciones, se igualan las expresiones y se resuelve. –3 · (4 – 7x) = 19 – 10x x = 1 Se introduce el valor obtenido, x = 1, en una de las expresiones iniciales : y = 4 – 7x y = 4 – 7 · 1 y = – 3 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
5. Sistemas de ecuaciones. Reducción ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 5. Sistemas de ecuaciones. Reducción Consiste en transformar el sistema de partida en otro equivalente hasta despejar una de las incógnitas. Se suman las dos ecuaciones del sistema equivalente y se despeja la incógnita: 31x = 31 x = 1 Se determina el valor de la otra incógnita sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones iniciales: 7 · 1 + y = 4 y = 4 – 7 y = – 3 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
6. Resolución algebraica de problemas ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 6. Resolución algebraica de problemas La mayoría de los problemas se pueden resolver transcribiendo el enunciado a una ecuación o sistema de ecuaciones. El procedimiento de resolución es: Comprender el enunciado. Plantear la ecuación con los datos y las incógnitas. Resolver la ecuación. Comprobar la validez de la solución. 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS
6. Resolución algebraica de problemas ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 6. Resolución algebraica de problemas Ejemplo: Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 132. Identificamos y expresamos las incógnitas: Primer número: x Segundo número: x + 1 Planteamos y resolvemos la ecuación: Describimos y comprobamos la solución: Los números son – 12 y – 11, o también 11 y 12. 2º ESO | UNIDAD 07 | MATEMÁTICAS