TEMA 5 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Bloque II * Tema 063 RECTAS NOTABLES @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO. MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado. Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales. Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados. ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a cada uno de ellos. Corte único de alturas: ORTOCENTRO. MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Dividen el triángulo en dos regiones de igual área. Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo (Física). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Medianas C Baricentro: G(gx, gy) xA+ xB + xC gx = ---------------- 3 yA+ yB+ yC gx = --------------- b a G A B c MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Punto medio de un segmento Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales. Como además las hipotenusas deben ser iguales, ambos triángulos son iguales, con lo que los catetos son iguales. x2 – x = x – x1 y2 – y = y - y1 B (x2, y2) Obtenemos: x2 + x1 = 2.x y2 + y1 = 2.y Por lo cual las coordenadas del punto medio serán: x2 + x1 y2 + y1 x = ---------- ; y = ---------- 2 2 y M(x, y) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PUNTO RELACIONAL DE UN SEGMENTO. Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales. Queremos hallar las coordenadas de un punto P(x,y), tal que los segmentos AP y PB que origina cumplan una determinada relación: AP / PB = k Por ser semejantes, dicha relación también la cumplen los catetos: AP=k.PB  x – x1 = k.(x2 – x) AP=k.PB  y – y1 = k.(y2 – y) B (x2, y2) y Obtenemos: x + k.x = k.x2 + x1 y + k.y = k.y2 – y1 Por lo cual las coordenadas del punto serán: k.x2 + x1 k.y2 + y1 x = ------------- ; y = ------------- 1 + k 1 + k P(x, y) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 3 En el triángulo de vértices A(0, 4), B(1, 0) y C(5, 2), hallar la ecuación de la mediana del vértice A. La mediana pasa por el punto medio del segmento BC ( del lado a), luego: xB + xC 1 + 5 6 yB + yC 0 + 2 2 a = ------------ = ----------- = ---- = 3; b = ----------- = --------- = ---- = 1  M(3, 1) 2 2 2 2 2 2 y A(0, 4) La ecuación que nos piden es la de una recta que pasa por lo puntos A y M, de la forma y = m.x + n Por pasar por A: 4 = m.0 + n Por pasar por M: 1 = m.3 + n De la primera ecuación tenemos n = 4 En la segunda: 1 = 3.m + 4 - 3 = 3.m  m = - 1 La ecuación de la mediana es: y = - x + 4 C(5, 2) M(a, b) x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS B(1, 0)

Matemáticas Acceso a CFGS b a C A B c Mediatrices MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres vértices ). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Alturas C b a O c B A ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Construcción de la bisectriz (1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Construcción de la bisectriz (2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Construcción de la bisectriz (3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Bisectrices C b a A/2 I A/2 A B c BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y tocando a sus lados ). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Rectas notables en un triángulo equilátero. B=O=C=I A B c EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Ejemplo: Hallar el ortocentro del triángulo obtusángulo de la figura @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo: Hallar el triángulo cuya circunferencia inscrita es la de la figura, siendo P,Q y R los puntos de tangencia con los lados. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS