SEMEJANZA DE TRIANGULOS PROPORCIONALIDAD TEOREMA DE THALES CASOS DE SEMEJANZA DEFINICION AUTOEVALUACIÓN

PROPORCIONALIDAD Razón de segmentos: Es el cociente entre las longitudes de dos segmentos. Proporción de segmentos: Es la igualdad entre dos razones. Propiedades: gozan de las mismas que las de las proporciones aritméticas: Son adimensionales Se puede intercambiar medios o extremos

SABER PREVIO Teorema de Thales: Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta. Applet

SABER PREVIO Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de las rectas es igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la otra recta. Applet

SABER PREVIO

SABER PREVIO Ejemplo 1. Applet En la siguiente escena tenemos un triángulo ABC. Por un punto B', situado sobre uno de los lados del triángulo, hemos trazado una paralela al lado BC, la cual corta al otro lado en C'. Observemos que ahora tenemos un segundo triángulo, el AB'C'. Nos preguntamos si hay alguna relación entre los dos triángulos. Applet

Para dividir un segmento OP en partes iguales, se realiza la siguiente construcción: Sobre una recta auxiliar OR se ubican los puntos equidistantes: 1', 2', 3', 4', 5', 6' y 7'. Por cada uno de estos puntos se trazan paralelas al segmento 7'P, las cuales determinan sobre OP los puntos requeridos 1,2,3,…. La justificación es: TEOREMA DE THALES CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

FIGURAS SEMEJANTES Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos lados un nuevo triángulo AB'C' y se cumplen las dos condiciones siguientes: Sus lados respectivos son proporcionales. Sus ángulos respectivos son iguales. Estas son las condiciones que han de cumplir dos polígonos para ser semejantes.

TRIANGULOS SEMEJANTES También se puede comprobar que en general si solo se cumple una de las dos condiciones, las figuras resultantes no son semejantes. No obstante, en el caso del polígono más sencillo, el triángulo, sí basta con una de las dos condiciones puesto que la otra se cumplirá automáticamente.

ABC ~ A´B´C´ DEFINICIÓN A = A´ B = B´ C = C´ Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales, en consecuencia sus lados homólogos serán proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes, se escribe ABC ~ A´B´C´ y se verifica: A = A´ B = B´ C = C´ AB/A´B´ = BC/ B´C´ = CA/C´A´= razón de semejanza

CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA ABC ~ A´B´C´

AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = h AC / h A’C’ = … = CTE ELEMENTOS HOMOLOGOS ABC ~ A´B´C´ A PARTIR DE ESTA SEMEJANZA SE PUEDE PLANTEAR ALGUNAS RAZONES ENTRE ELEMENTOS HOMOLOGOS AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = h AC / h A’C’ = … = CTE En los elementos homólogos también se incluyen: alturas, medianas, perímetros,etc.

Ejemplo 2 A B C D F E ¿Es verdadera la siguiente afirmación? ~ ABC DEF AB / ED = 1.46 <EDF = 45.08 BC / DF = 1.46 A B C D F E ¿Es verdadera la siguiente afirmación? ~ ABC DEF SI NO

CONCEPTO Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también, criterios de semejanza de triángulos.

Casos de semejanza de triángulos Dos triángulos con sus ángulos mutuamente iguales son semejantes ~ ABC NLM Applet

Primer caso A A Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º. Si tenemos dos triángulos que tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales, el tercer ángulo también será igual, entonces, son semejantes estos triángulos ~ ABC DEF Plantea, en tu cuaderno, la proporcionalidad entre elementos homólogos en la semejanza mostrada.

EJEMPLO 2. Compara los ángulos de los triángulos ABC y MNL. ¿Podemos decir que son iguales dos a dos?. Indica, en tu cuaderno de trabajo la correspondencia biunívoca entre cada uno de los ángulos. Plantea las razones entre sus elementos homólogos Applet

Ejemplo 3 Si tenemos dos triángulos rectángulos de diferente tamaño, ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Por qué? Respuesta: NO, por que solo tienen un ángulo mutuamente congruentes

Segundo caso LLL ~ ABC KLJ Applet Dos triángulos con los lados mutuamente proporcionales son semejantes. ~ ABC KLJ Applet

Ejemplo 4 ~ ABC DEF DE/AB = EF/BC = DF/AC Los lados de dos triángulos miden, respectivamente, 8 cm, 10 cm y 12 cm (los del primero) y 52 cm, 65 cm y 78 cm (los del segundo). Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Sea la semejanza: ~ ABC DEF Como se verifica que DE/AB = EF/BC = DF/AC 52 / 8 = 65 / 10 = 78 / 12 = 6,5 Entonces la razón de semejanza es 6,5

Ejemplo 6 Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros respectivamente. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza? Como se verifica que 12 / 30 = 16 / 40 = 20 / 50 = 0,4 Los triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 0,4

Tercer caso LAL A B C D F E ~ ABC DEF Dos triángulos con dos lados mutuamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual, son semejantes. A B C D F E ~ ABC DEF

~ ABC DEF Ejemplo 8 AB / DE = AC / DF 3 / h = 2 / 4,5 h = 6 Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema). ~ ABC DEF AB / DE = AC / DF 3 / h = 2 / 4,5 h = 6 La altura del árbol es 6 metros

A B C D F G Ejemplo 9 Un cilindro circular recto se inscribe en un cono de revolución de 12 cm de altura y 4 cm de radio en la base tal como se muestra en la figura Si el radio de la base del cilindro es 2 cm, halle su altura.

~ ABC DEF h = 6 AB / DB = AC / DF 12 /(12 - h) = 4 / 2