Teoría de Conjuntos Parte II Adaptación del Depto. de Matemática del Liceo 7 de Providencia. Autor: Rubén Alva Cabrera

DIFERENCIA DE CONJUNTOS El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

¿A-B=B-A? El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables Si A y B son comparables U U B A B A A - B A - B U A B Si A y B son conjuntos disjuntos A - B=A INDICE

DIFERENCIA SIMETRICA A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 Ejemplo: El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A). Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

También es correcto afirmar que: A-B B-A A B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. Notación: A’ o AC Simbólicamente: A’ = U - A Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9}

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO U A A 8 2 3 1 7 A’={2;4;6,8} 5 9 6 4 PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO 1. (A’)’=A 4. U’=Φ 2. AA’=U 5. Φ’=U 3. AA’=Φ INDICE

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 FIN

SOLUCIÓN Dados los conjuntos: 1 A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34} B = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31} a) Expresar B y C por comprensión b) Calcular: n(B) + n(A) c) Hallar: A  B , C – A 1 SOLUCIÓN

Primero analicemos cada conjunto Los elementos de A son: ... A = { 1+3n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 11} n(A)=12 Los elementos de B son: ... B = { 2n / n Z ٨ 1 ≤ n ≤ 13} n(B)=13

a) Expresar B y C por comprensión Los elementos de C son: ... C = { 3+4n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 7 } n(C)=8 a) Expresar B y C por comprensión B = { 2n / n Z ٨ 1 ≤ n ≤ 18} C = { 3+4n / n Z ٨ 0 ≤ n ≤ 7 } b) Calcular: n(B) + n(A) n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

c) Hallar: A  B , C – A A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} Sabemos que A B esta formado por los elementos comunes de A y B,entonces: A B = { 4;10;16;22 } Sabemos que C - A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces: C – A = { 3;11;15;23;27 }

SOLUCIÓN 2 Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 } Determinar si es verdadero o falso: a) Φ C G b) {3} G c) {{7};10} G d) {{3};1} G e) {1;5;11} C G 2 SOLUCIÓN

Observa que los elementos de A son: 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 Entonces: es VERDADERO porque Φ esta incluido en todo los conjuntos a)Φ C G .... b) {3} G ... es VERDADERO porque {3} es un elemento de de G es FALSO porque {{7};10} no es elemento de G c) {{7};10} G .. d) {{3};1} G ... es FALSO e) {1;5;11} C G ... es VERDADERO

Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A ,240 ven el canal B y 150 no ven el canal C,los que ven por lo menos 2 canales son 230¿cuántos ven los tres canales? 3 SOLUCIÓN

Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 El universo es: 420 Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240 No ven el canal C: 150 Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 B (I) a + e + d + x =180 A (II) b + e + f + x = 240 e a b (III) d + c + f + x = 270 x Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces: (IV) d + e + f + x = 230 d f c C

   Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420 230 entonces : a+b+c =190 Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) a + e + d + x =180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690   190 230 190 + 560 + x =690 -> x = 40 Esto significa que 40 personas ven los tres canales

FIN Profesor: Rubén Alva Cabrera rubalva@hotmail.com