¿Qué es Estadística? Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones a partir de estos análisis. La Estadística se divide en dos grandes grupos: Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente. Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.

¿ Qué es una población? Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable. Una población puede ser finita o infinita. Ejemplo: La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita. La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita. La población formada por los Números Naturales es infinito La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.

¿Qué es una muestra? Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella. Se dice que una muestra es representativa de la población, cuando corresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis de la misma. Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada o mixta

¿Qué es una variable? Una variable es la característica o atributo a observar. El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable. Las variables pueden ser continuas o discretas. Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados, es decir, en un rango determinado. Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc

Ejercicios Variables discreta son aquellas que toman un valor entero Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos Ejercicios Decir de las variables siguientes cuáles representan datos discretos o datos continuos. Número de acciones vendidas cada día en un mercado de valores. Respt: Discreta

Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio. Respt: Continua Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada Respt: Continua Censos anuales del colegio de profesores. Respt: Discreta Número de billetes de $10000 circulando en Chile Respt: Discreta Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año. Respt: Continua

Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en los últimos cinco años. Respt: Discreta Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas. Número de litros de agua en una máquina de lavar. Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12,005 12,0047 etc) Variable : Continua Número de libros en un estante de librería. Dominio : 0, 1, 2, 3, ........ Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante. Variable : Discreta

Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados Dominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Variable : Discreta Tiempo de vuelo de un proyectil Dominio : De cero en adelante ( 5 5,3 5.045 etc) Variable : Continua Estado civil de un individuo Dominio : Casado, soltero, viudo Variable : Discreta Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( 120 120,8 120,04 etc) Variable : Continua

Distribuciones de frecuencias Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente. Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de una lista alfabética de una Universidad. Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. Ejemplo: 32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)

Al recoger información se obtiene un gran número de datos, que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valor de la variable.

Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1 Variable Estadística Frecuencia absoluta Calificación Nº de alumnos 1 2 3 5 4 6 7

Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Ejemplo: 30 4 7 26 6 22 5 15 9 3 2 1 ------------- Nº de alumnos Calificación Frecuencia acumulada Frecuencia absoluta Variable estadística

Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos de la muestra Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Calificación Nº de alumnos ----------- 1 1 / 30 2 3 3 / 30 5 5 / 30 4 6 6 / 30 7 7 / 30 4 / 30 NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1

Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes. Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual Calificación Nº de alumnos ----------- 1 ( 1 / 30 ) • 100 2 3 ( 3 / 30 ) • 100 5 ( 5 / 30 ) • 100 4 6 ( 6 / 30 ) • 100 7 ( 7 / 30 ) • 100 ( 4 / 30 ) • 100 NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

Ejercicios Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6 Construya una tabla de distribución de frecuencias ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

Respuesta b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0 Calificación frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa Frec. relat. porcentual 2 1 1 / 27 = 0,037 3,7 3 2 / 27 = 0,074 7,4 4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9 5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2 27 3 / 27 = 0,111 11,1 b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0 c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0 6 alumnos tienen nota 6,0 El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente: Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia? d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura? e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina? Variable profesión F. absoluta Nº de alumnos Ingeniería 10 Medicina 6 Economía 12 Periodismo 8 Derecho 5 Arquitectura 9 Otras

Respuesta b) 60 alumnos fueron encuestados Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. % Ingeniería 10 10 / 60 = 0,166 16,6 Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0 Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0 Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3 Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3 Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0 Otros 60 b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuencia d) El 15% de los alumnos prefiere Arquitectura e) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla: Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos? c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos? d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos? f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos? g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos? Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 8 3 12 4 14 5 6

Respuesta b) 22 familias tienen menos de 4 hijos Nº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. % 1 2 2 / 40 = 0,05 5 8 10 8 / 40 = 0,20 20 3 12 22 12 / 40 = 0,30 30 4 14 36 14 / 40 = 0,35 35 39 3 / 40 = 0,075 7,5 6 40 1 / 40 = 0,025 2,5 b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijos f) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijos g) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

Medidas de tendencia central en valores no agrupados. Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central. Los valores centrales más usados son: Media aritmética. Mediana Moda.

Media aritmética ( X ) Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variable dividido por el número total de valores. En forma General : X = x1 + x2 + x3 +....xn n

Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignatura de Lenguaje y comunicación. Las notas son: 3- 5 - 7 - 6 - 4 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 3 - 4 X = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 +5 + 3 +5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 54 = 4,5 12 12 Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5

Mediana ( Me ) Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes y después de él en una distribución de frecuencias Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos: Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11 NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente

Si el número de valores es par, la mediana es el promedio aritmético de los dos valores centrales. Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12 El calculo sería: ( 6 + 8 ) : 2 = 14 : 2 = 7 Luego, la mediana es 7

Moda ( Mo ) Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia Ejemplo: La moda es 4 hijos, porque tiene mayor frecuencia, que es del 14 familias. Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 8 3 12 4 14 5 6

Ejercicios Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas. Respuesta: X = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80 6 6 Luego, el estudiante tiene promedio 80 Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06

Luego, la media aritmética es 3,98 Respuesta: X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10 = 39,82 = 3,98 10 Luego, la media aritmética es 3,98 Calcular el salario medio semanal de 65 empleados Salario Frecuencia $ 55.000 8 $ 65.000 10 $ 75.000 16 $ 85.000 14 $ 95.000 $ 105.000 7

Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5 = 5.165.000 = 79.461,538 65 Respuesta Salario ( x) Frecuencia F • X $ 55.000 8 $ 440.000 $ 65.000 10 $ 650.000 $ 75.000 16 $ 1.200.000 $ 85.000 14 $ 1.190.000 $ 95.000 $ 950.000 $ 105.000 7 $ 735.000 X = 440.000 + 650.000+ 1.200.000 + 1.190.000 + 950.000 + 735.000 65 Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5 = 5.165.000 = 79.461,538 65

Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones Respuesta: Se deben ordenar las calificaciones: 68 72 78 84 87 91 Luego, la mediana es 78 + 84 = 162 = 81 2 2 Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor

Representación gráfica de la información Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos.

gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.

Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente al porcentaje correspondiente de cada frecuencia.

Distribución de frecuencias con datos agrupados Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos. Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm. Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.

Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba: 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87 Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos. Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27 De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rango con la cantidad deseada. 27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo) Intervalo de puntajes Frecuencias 60 – 64 5 65 – 69 70 – 74 8 57 – 79 12 80 – 84 16 85 – 89 4 El intervalo 60 – 64 es un símbolo para representar a la clase respectiva Los valores 60 y 64 son los límites aparentes de la clase.

Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente. Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74 Lri = = = 69,5 Límite real inferior Lrs = = = 75,5 Límite real superior Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5 NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase. Ejemplo. 72 70 – 74 67 65 – 69 62 60 – 64 Marca de clase Intervalo Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases. Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33 Ejemplo: 10 11 -15 11 6 – 10 12 1 – 5 Frecuencia Intervalo

Ejercicios Dado los siguientes puntajes, determinar: 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 73 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 80 77 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87 Determinar seis intervalos Determinar el límite real superior e inferior de cada clase Determinar la marca de clase de cada intervalo Determinar la frecuencia absoluta

Respuesta Se debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27 Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia 60 – 64 59,5 – 64,5 62 5 65 – 69 64,5 – 69,5 67 70 – 74 69,5 – 74,5 72 8 75 – 79 74,5 – 79,5 77 12 80 – 84 79,5 – 84,5 82 16 85 – 89 84,5 – 89,5 87 4

Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07 Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06 Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14 La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica: Salarios ( $ ) Frecuencia 50.000 – 54.999 7 55.000 – 59.999 18 60.000 – 64.999 32 65.000 – 69.999 45 70.000 – 74.999 52 75.000 – 79.999 28 80.000 – 84.999 16 85.000 – 89.999 8

f) Determina la frecuencia acumulada. 206 85.000 – 89.999 198 80.000 – 84.999 182 75.000 – 79.999 154 70.000 – 74.999 102 65.000 – 69.999 57 60.000 – 64.999 25 55.000 – 59.999 7 50.000 – 54.999 Frecuencia Salarios ( $ ) Respuesta: acum

g) Determinar la frecuencia relativa 8 / 206 = 0,038 85.000 – 89.999 16 / 206 = 0,077 80.000 – 84.999 28 / 206 = 0,135 75.000 – 79.999 52 / 206 = 0,252 70.000 – 74.999 45 / 206 = 0,218 65.000 – 69.999 32 / 206 = 0,155 60.000 – 64.999 18 / 206 = 0,087 55.000 – 59.999 7 / 206 = 0,033 50.000 – 54.999 Frecuencia relativa Salarios ( $ ) Respuesta:

h) Determinar la frecuencia relativa porcentual 3,8 85.000 – 89.999 7,7 80.000 – 84.999 13,5 75.000 – 79.999 25,2 70.000 – 74.999 21,8 65.000 – 69.999 15,5 60.000 – 64.999 8.7 55.000 – 59.999 3,3 50.000 – 54.999 Frecuencia relativa Salarios ( $ ) Respuesta: %

Ejercicio Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable: 178 150 166 182 175 163 175 150 162 155 161 165 160 159 160 168 165 162 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160 a) Determina el rango Respuesta: 182 - 150 = 32

b) Determina 8 intervalos: Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud ) c) Determinar la frecuencia Intervalo 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 180 – 184 Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 1 4 2 7 14 8 Frecuencia

g) Determinar la frecuencia acumulada Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 40 39 35 33 26 12 4 F. acum h) Determinar la frecuencia relativa porcentual Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 2,5 10 5 17,5 35 20 F. Relat %

i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ? Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160 j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ? Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174 k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ? Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174 l) ¿Cuál es la frecuencia total ? Respuesta: n = 40 m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ? Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5

Representación gráfica en datos agrupados Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos. El histograma tiene la siguiente característica: Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase.

Ejemplo: Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de los alumnos que asisten a clases de Inglés. 2 4 6 8 10 5- 7 8-10 11-13 14-16 17-19 I f Edad frecuencia 5 – 7 8 8 – 10 10 11 – 13 7 14 – 16 5 17 – 19 4 Eje x = intervalos Eje y = frecuencia

Polígono de frecuencia Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unir los puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma. 6 9 12 15 18 2 4 6 8 10 x f • El punto medio de cada intervalo es la marca de clase

¡ Puff……! Ejercicio Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padres cuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda a) Media aritmética Edad frecuencia 45 – 48 2 49 – 52 5 53 – 56 12 57 – 60 8 61 – 64 Edad f x f • x 45 – 48 2 46,5 93 49 – 52 5 50,5 252,5 53 – 56 12 54,5 654 57 – 60 8 58,5 468 61 – 64 62,5 312,5 X =  f • x = 1780 = 55,625 n 32

El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca b) Mediana n / 2 = 32 / 2 = 16 32 5 61 – 64 27 8 57 – 60 19 12 53 – 56 7 49 – 52 2 45 – 48 F acum f Edad n = 32 L i m = 52 + 53 = 52,5 2 f (acum ant) = 7 c = 56,5 - 52,5 = 4 f m = 12 Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 12 12 c) Moda: : El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca de clase: 53 + 56 = 54,5 2

Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología es el siguiente: 12 45 53 85 23 91 34 56 65 70 72 74 86 95 32 45 56 58 33 49 55 70 66 62 64 55 83 26 34 72 60 64 72 80 58 98 50 20 35 76 68 90 99 56 48 56 68 82 40 92 38 56 84 66 78 74 25 15 48 50 66 49 53 83 91 42 64 72 54 89 92 28 34 40 56 64 68 63 35 56 66 38 82 78 74 90 85 66 70 72 58 66 80 80 95 96 99 94 40 42 58 65 67 81 90 50 48 52 62 70 80 93 45 36 49 81 73 56 38 51 23 90 84 96 75 38 28 36 83 29

Respuesta: Intervalo M. de Clase frecuencia F. acum. F. Relat 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 frecuencia 2 8 13 14 22 20 17 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 F. Relat 0,015 0,061 0,100 0,107 0,169 0,153 0,130 F. Relat.% 1,5 6,1 10,0 10,7 16,9 15,3 13,0

De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos? Respuesta: Hay 27 alumnos b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos? Respuesta: Hay 54 alumnos c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos? Respuesta: Hay 107 alumnos

d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos? Respuesta: El 20,7 % de los alumnos e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos? Respuesta: el 16,9 % de alumnos f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos? Respuesta: 59 alumnos

g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos? Respuesta: 10 alumnos h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos? Respuesta: 93 alumnos i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos? Respuesta: 51 alumnos j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos? Respuesta: 1,5 % de los alumnos

k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de mayor frecuencia? Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5 l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo? Respuesta: 39 m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo? Respuesta: 49,5 n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo? Respuesta: c = 10

n) Calcula la media aritmética: Respuesta: Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 f • x 29 196 448,5 623 1199 1290 1266,5 1436,5 1606,5 X =  f • x n X = 8095 130 X = 62,26

ñ) Calcula la mediana: Respuesta: n / 2 = 130 / 2 = 65 n = 130 Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 L i m = 59,5 c = 10 f(acum. ant) = 59 f m = 20 Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20 Me = 59,5 + 6 • 10 20 Me = 59,5 + 3 = 62,5

o) Calcular el intervalo modal y la moda : Respuesta: El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22. La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo. Luego, Mo = 50 + 59 = 54,5 2

a + b = c Ejercicios Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31 2,98 3,07 Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08 El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita. Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996 Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0 a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992 Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7

b) Calcular el consumo promedio de los 10 años? Respuesta: X = 1678 = 16,78 10 La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias. Intervalo Frecuencia 100 – 109 4 110 – 119 17 120 – 129 29 130 – 139 18 140 – 149 10 150 – 159 5 160 – 169 2

Respuesta: f • Marca de clase 104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5 4 18 29 10 • Marca de clase

Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana, la moda y la media aritmética 6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5 Respuesta: Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 Luego, 5 + 6 = 11 = 5,5 Me = 5,5 2 Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite X = 6 + 7 + 7 + 3 + 4 + 1 + 7 + 5 = 40 = 5 8 8

Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de Estadística son: Determinar : Mo, Me y X Notas Frecuencia 1 2 4 3 5 6 9 12 7 8 Respuesta: Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5 X = 1•1 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 + 5 • 9 + 6 • 12 + 7 • 8 = 221 = 4,9 45 45 Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta