ESTADISTICA Objetivo:

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1 ESTADISTICA Objetivo:
Leer e interpretar información de tablas y gráficos Recopilar y comunicar información utilizando los procedimientos más adecuados a la característica de lo que se va a informar. Profesora: Liliana Espinoza G.

2 Actividad Nº 1 “Información en la vida diaria”
Trabajar en grupo, analizando la lámina entregada ¿Qué título tiene la información analizada? ¿De qué se trata la información? Explique Utiliza gráficos o tablas explicativas? Si se utiliza gráficos, ¿Son los más adecuados para representar la información o utilizaría otro? ¿Por qué? ¿Considera que los gráficos o tablas son necesarios en una información? ¿Por qué? f) ¿En qué caso se utiliza un gráfico de barra, lineal o circular? g) Diseñe nuevamente la información de la lámina, como a a ustedes les gustaría que apareciera publicada.

3 ¿Qué es Estadística? Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones a partir de estos análisis. La Estadística se divide en dos grandes grupos: Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente. Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.

4 ¿ Qué es una población? Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable. Una población puede ser finita o infinita. Ejemplo: La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita. La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita. La población formada por los Números Naturales es infinito La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.

5 ¿Qué es una muestra? Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella. Se dice que una muestra es representativa de la población, cuando corresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis de la misma. Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada o mixta

6 ¿Qué es una variable? Una variable es la característica o atributo a observar. El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable. Las variables pueden ser continuas o discretas. Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados, es decir, en un rango determinado. Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc

7 Ejercicios Variables discreta son aquellas que toman un valor entero
Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos Ejercicios Decir de las variables siguientes cuáles representan datos discretos o datos continuos. Número de acciones vendidas cada día en un mercado de valores. Respt: Discreta

8 Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.
Respt: Continua Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada Respt: Continua Censos anuales del colegio de profesores. Respt: Discreta Número de billetes de $10000 circulando en Chile Respt: Discreta Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año. Respt: Continua

9 Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en
los últimos cinco años. Respt: Discreta Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas. Número de litros de agua en una máquina de lavar. Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12, ,0047 etc) Variable : Continua Número de libros en un estante de librería. Dominio : 0, 1, 2, 3, Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante. Variable : Discreta

10 Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de
dados Dominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Variable : Discreta Tiempo de vuelo de un proyectil Dominio : De cero en adelante ( 5 5, etc) Variable : Continua Estado civil de un individuo Dominio : Casado, soltero, viudo Variable : Discreta Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( , ,04 etc) Variable : Continua

11 Distribuciones de frecuencias
Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente. Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de una lista alfabética de una Universidad. Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. Ejemplo: 32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, ( ordenación decreciente)

12 Al recoger información se obtiene un gran número de datos,
que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias. Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valor de la variable.

13 Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la
Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – – 5 – – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1 Variable Estadística Frecuencia absoluta Calificación Nº de alumnos 1 2 3 5 4 6 7

14 Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número
de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. Ejemplo: 30 4 7 26 6 22 5 15 9 3 2 1 Nº de alumnos Calificación Frecuencia acumulada Frecuencia absoluta Variable estadística

15 Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absoluta
y el número total de individuos de la muestra Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Calificación Nº de alumnos 1 1 / 30 2 3 3 / 30 5 5 / 30 4 6 6 / 30 7 7 / 30 4 / 30 NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 Ej. 1 / / / / / / / 30 = 30 / 30 = 1

16 Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa
expresada en porcentajes. Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual Calificación Nº de alumnos 1 ( 1 / 30 ) • 100 2 3 ( 3 / 30 ) • 100 5 ( 5 / 30 ) • 100 4 6 ( 6 / 30 ) • 100 7 ( 7 / 30 ) • 100 ( 4 / 30 ) • 100 NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

17 Ejercicios Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: Construya una tabla de distribución de frecuencias ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

18 Respuesta b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0
Calificación frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia relativa Frec. relat. porcentual 2 1 1 / 27 = 0,037 3,7 3 2 / 27 = 0,074 7,4 4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9 5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2 27 3 / 27 = 0,111 11,1 b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0 c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0 6 alumnos tienen nota 6,0 El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

19 Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca
de su futura profesión, indica lo siguiente: Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia? d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura? e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina? Variable profesión F. absoluta Nº de alumnos Ingeniería 10 Medicina 6 Economía 12 Periodismo 8 Derecho 5 Arquitectura 9 Otras

20 Respuesta b) 60 alumnos fueron encuestados
Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. % Ingeniería 10 10 / 60 = 0,166 16,6 Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0 Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0 Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3 Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3 Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0 Otros 60 b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuencia d) El 15% de los alumnos prefiere Arquitectura e) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

21 En una muestra de 40 familias, el número de hijos se
distribuye según la tabla: Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual. b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos? c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos? d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos? f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos? g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos? Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 8 3 12 4 14 5 6

22 Respuesta b) 22 familias tienen menos de 4 hijos
Nº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. % 1 2 2 / 40 = 0,05 5 8 10 8 / 40 = 0,20 20 3 12 22 12 / 40 = 0,30 30 4 14 36 14 / 40 = 0,35 35 39 3 / 40 = 0,075 7,5 6 40 1 / 40 = 0,025 2,5 b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijos f) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijos g) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

23 Medidas de tendencia central en valores no agrupados.
Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central. Los valores centrales más usados son: Media aritmética. Mediana Moda.

24 Media aritmética ( X ) Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variable dividido por el número total de valores. En forma General : X = x1 + x2 + x xn n

25 Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignatura de Lenguaje y comunicación. Las notas son: X = = 54 = 4,5 Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5

26 Se debe multiplicar cada valor con su frecuencia.
La media aritmética ponderada es otra forma de calcular el promedio, utilizando la tabla de distribución de frecuencias. Ejemplo: Se debe multiplicar cada valor con su frecuencia. 3 • 3 = • 3 = • 4 = 20 6 • 1 = • 1 = 7 Notas Frecuencias 3 4 5 6 1 7 Se suman los productos: = 54 La suma del producto se divide por el total de datos: 54 : 12 = 4,5 Luego, X = 4,5

27 Mediana ( Me ) Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes y después de él en una distribución de frecuencias Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos: Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11 NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente

28 Si el número de valores es par, la mediana es el promedio
aritmético de los dos valores centrales. Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12 El calculo sería: ( ) : 2 = 14 : 2 = 7 Luego, la mediana es 7

29 Moda ( Mo ) Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia
Ejemplo: La moda es 4 hijos, porque tiene mayor frecuencia, que es del 14 familias. Variable F. absoluta Nº de hijos Nº de familias 1 2 8 3 12 4 14 5 6

30 Ejercicios Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas. Respuesta: X = = = 80 Luego, el estudiante tiene promedio 80 Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06

31 Luego, la media aritmética es 3,98
Respuesta: X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10 = 39,82 = 3,98 10 Luego, la media aritmética es 3,98 Calcular el salario medio semanal de 65 empleados Salario Frecuencia $ 8 $ 10 $ 16 $ 14 $ $ 7

32 Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5 = 5.165.000 = 79.461,538 65
Respuesta Salario ( x) Frecuencia F • X $ 8 $ $ 10 $ $ 16 $ $ 14 $ $ $ $ 7 $ X = 65 Luego, el sueldo promedio es $ ,5 = = ,538 65

33 Las calificaciones de un estudiante de la USACH, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones Respuesta: Se deben ordenar las calificaciones: Luego, la mediana es = 162 = 81 Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8. Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor

34 Representación gráfica de la información
Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos.

35 gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante
barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.

36 Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores
que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente al porcentaje correspondiente de cada frecuencia.

37 Distribución de frecuencias con datos agrupados
Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos. Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm. Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.

38 Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba: Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos. Dato mayor: Dato menor: Rango: 88 – 61 = 27 De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

39 Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rango
con la cantidad deseada. 27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo) Intervalo de puntajes Frecuencias 60 – 64 5 65 – 69 70 – 74 8 57 – 79 12 80 – 84 16 85 – 89 4 El intervalo 60 – 64 es un símbolo para representar a la clase respectiva Los valores 60 y 64 son los límites aparentes de la clase.

40 Los límites reales de una clase se obtienen calculando el
promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente. Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74 Lri = = = 69,5 Límite real inferior Lrs = = = 75,5 Límite real superior Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = Su amplitud es igual a 5 NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

41 Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase.
Ejemplo. 72 70 – 74 67 65 – 69 62 60 – 64 Marca de clase Intervalo Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases. Frecuencia total = 33 Ejemplo: 10 11 -15 11 6 – 10 12 1 – 5 Frecuencia Intervalo

42 Ejercicios Dado los siguientes puntajes, determinar:
Determinar seis intervalos Determinar el límite real superior e inferior de cada clase Determinar la marca de clase de cada intervalo Determinar la frecuencia absoluta

43 Respuesta Se debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor:
88 – 61 = 27 Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia 60 – 64 59,5 – 64,5 62 5 65 – 69 64,5 – 69,5 67 70 – 74 69,5 – 74,5 72 8 75 – 79 74,5 – 79,5 77 12 80 – 84 79,5 – 84,5 82 16 85 – 89 84,5 – 89,5 87 4

44 Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula
su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07 Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06 Rango: ,06 – 2,92 = 2,14 La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica: Salarios ( $ ) Frecuencia – 7 – 18 – 32 – 45 – 52 – 28 – 16 – 8

45 a) Calcula los límites reales del tercer intervalo
Respuesta: Lri = = ,5 2 Lrs = = ,5 b) Calcula el tamaño de los intervalos Respuesta: Lrs – Lri = amplitud 64.999, ,5 = 5000 c) Determina el límite aparente inferior del séptimo intervalo Respuesta: [ – ] Límite aparente inferior:

46 d) Determina el límite real superior del segundo intervalo
Respuesta: [ – ] Lrs = = ,5 2 e) Escribe en orden la marca de clase Respuesta: 87.499,5 – 82.499,5 – 77.499,5 – 72.499,5 – 67.499,5 – 62.499,5 – 57.499,5 – 52.499,5 – Marca de clase Salarios ( $ )

47 f) Determina la frecuencia acumulada.
206 – 198 – 182 – 154 – 102 – 57 – 25 – 7 – Frecuencia Salarios ( $ ) Respuesta: acum

48 g) Determinar la frecuencia relativa
8 / 206 = 0,038 – 16 / 206 = 0,077 – 28 / 206 = 0,135 – 52 / 206 = 0,252 – 45 / 206 = 0,218 – 32 / 206 = 0,155 – 18 / 206 = 0,087 – 7 / 206 = 0,033 – Frecuencia relativa Salarios ( $ ) Respuesta:

49 h) Determinar la frecuencia relativa porcentual
3,8 – 7,7 – 13,5 – 25,2 – 21,8 – 15,5 – 8.7 – 3,3 – Frecuencia relativa Salarios ( $ ) Respuesta: %

50 Ejercicio Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso,
resultaron los siguientes valores de la variable: a) Determina el rango Respuesta: = 32

51 b) Determina 8 intervalos:
Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud ) c) Determinar la frecuencia Intervalo 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 180 – 184 Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 1 4 2 7 14 8 Frecuencia

52 d) Determinar la marca de clase de los intervalos
Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 182 177 172 167 162 157 152 M de C e) Determinar el límite real inferior del tercer intervalo Respuesta: Lri = = 159,5 2 f) Determinar el límite real superior del quinto intervalo Respuesta: Lrs = = 174,5 2

53 g) Determinar la frecuencia acumulada
Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 40 39 35 33 26 12 4 F. acum h) Determinar la frecuencia relativa porcentual Respuesta: 180 – 184 175 – 179 170 – 174 165 – 169 160 – 164 155 – 159 150 – 154 Intervalo 2,5 10 5 17,5 35 20 F. Relat %

54 i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?
Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160 j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ? Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174 k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ? Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174 l) ¿Cuál es la frecuencia total ? Respuesta: n = 40 m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ? Respuesta: c = Lrs – Lri = 159, ,5 = 5

55 Medidas de tendencia central en datos agrupados
Media aritmética: Se suma el producto de la marca de clase con la frecuencia y se divide por la frecuencia total. En forma general : X =  f • x  f Ejemplo: 85 – 89 80 – 84 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 Intervalo 4 16 12 8 5 Frecuencia X = 3805 50 X = 76,1 Marca de clase 62 67 72 77 82 87 f • x 310 335 576 924 1312 348

56 Mediana: Es calcular un valor que separa al conjunto en dos
grupos de igual cantidad. Para calcular la mediana se ocupa la siguiente formula: Me = L i m + (n/2 – f( acum. ant ) ) • c f m L i m = límite real inferior del intervalo mediano ( primer intervalo cuya frecuencia acumulada es igual o mayor que n/2 ) n / 2 = mitad de la frecuencia total f( acum. ant ) = frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo mediano c = amplitud del intervalo f m = frecuencia absoluta del intervalo mediano

57 Ejemplo Hallar la mediana de los pesos de 40 estudiantes, dado en la
siguiente tabla de distribución 40 2 172 – 180 38 4 163 – 171 34 5 154 – 162 29 12 145 – 153 17 9 136 – 144 8 127 – 135 3 118 – 126 F acum Frecuencia Intervalo n = 40 n / 2 = 40 / 2 = 20 L i m = = 144,5 2 f ( acum. ant ) = 17 c = 144, ,5 = 9 f m = 12 M e = 144,5 + ( 20 – 17 ) • 9 = 144, • 9 = 144, = 146,75

58 Ejemplo 2 Las edades de los obreros que trabajan en una empresa constructora, se distribuyen como sigue: c = 5 n / 2 = 180 / 2 = 90 Edad Frecuencia 18 – 22 15 23 – 27 26 28 – 32 30 33 – 37 38 38 – 42 32 43 – 47 20 48 – 52 12 53 – 57 7 F acum 15 41 71 109 141 161 173 180 L i m = = 32,5 2 f m = 38 f( acum ant) = 71 Me = L i m + (n/2 - f(acum ant)) • c fm = 32,5 + ( 90 - 71) • 5 38 n = 180 = 32,5 + 19 • 5 = 32,5 + 2,5 38 Me = 35

59 Moda Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda
corresponde a la marca de clase del intervalo de mayor frecuencia Ejemplo: La tabla de distribución muestra el número de horas que un grupo de jóvenes dedica a ver televisión diariamente. Horas frecuencia 0 – 2 25 3 – 5 35 6 – 8 9 – 11 10 5 El intervalo modal es [3 - 5] Luego, se dice que la moda es su marca de clase. M de C = = Mo = 4 horas 2

60 Representación gráfica en datos agrupados
Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos. El histograma tiene la siguiente característica: Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase.

61 Ejemplo: Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de los alumnos que asisten a clases de Inglés. 2 4 6 8 10 I f Edad frecuencia 5 – 7 8 8 – 10 10 11 – 13 7 14 – 16 5 17 – 19 4 Eje x = intervalos Eje y = frecuencia

62 Polígono de frecuencia
Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unir los puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma. 2 4 6 8 10 x f • El punto medio de cada intervalo es la marca de clase

63 ¡ Puff……! Ejercicio Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padres cuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda a) Media aritmética Edad frecuencia 45 – 48 2 49 – 52 5 53 – 56 12 57 – 60 8 61 – 64 Edad f x f • x 45 – 48 2 46,5 93 49 – 52 5 50,5 252,5 53 – 56 12 54,5 654 57 – 60 8 58,5 468 61 – 64 62,5 312,5 X =  f • x = = 55,625 n

64 El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca
b) Mediana n / 2 = 32 / 2 = 16 32 5 61 – 64 27 8 57 – 60 19 12 53 – 56 7 49 – 52 2 45 – 48 F acum f Edad n = 32 L i m = = 52,5 2 f (acum ant) = 7 c = 56, ,5 = 4 f m = 12 Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 c) Moda: : El intervalo modal es [ ] . Luego. La moda es su marca de clase: = 54,5 2

65 Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos
agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología es el siguiente:

66 Respuesta: Intervalo M. de Clase frecuencia F. acum. F. Relat
10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 frecuencia 2 8 13 14 22 20 17 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 F. Relat 0,015 0,061 0,100 0,107 0,169 0,153 0,130 F. Relat.% 1,5 6,1 10,0 10,7 16,9 15,3 13,0

67 De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes
preguntas: a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos? Respuesta: Hay 27 alumnos b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos? Respuesta: Hay 54 alumnos c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos? Respuesta: Hay 107 alumnos

68 d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?
Respuesta: El 20,7 % de los alumnos e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos? Respuesta: el 16,9 % de alumnos f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos? Respuesta: 59 alumnos

69 g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos?
Respuesta: 10 alumnos h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos? Respuesta: 93 alumnos i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos? Respuesta: 51 alumnos j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos? Respuesta: 1,5 % de los alumnos

70 k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de
mayor frecuencia? Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5 l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo? Respuesta: 39 m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo? Respuesta: 49,5 n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo? Respuesta: c = 10

71 n) Calcula la media aritmética:
Respuesta: Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 M. de Clase 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 f • x 29 196 448,5 623 1199 1290 1266,5 1436,5 1606,5 X =  f • x n X = 130 X = 62,26

72 ñ) Calcula la mediana: Respuesta: n / 2 = 130 / 2 = 65 n = 130
Intervalo 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 17 20 22 14 13 8 2 frecuencia n = 130 F. acum. 2 10 23 37 59 79 96 113 130 L i m = 59,5 c = 10 f(acum. ant) = 59 f m = 20 Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20 Me = 59, • 10 20 Me = 59, = 62,5

73 o) Calcular el intervalo modal y la moda :
Respuesta: El intervalo modal es [ ] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22. La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo. Luego, Mo = = 54,5 2

74 a + b = c Ejercicios Calcular el rango entre. 3,22 2, ,48 5, 2,98 3,07 Repuesta: 5, ,98 = 2,08 El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita. Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996 Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0 a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992 Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7

75 b) Calcular el consumo promedio de los 10 años?
Respuesta: X = = 16,78 10 La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias. Intervalo Frecuencia 100 – 109 4 110 – 119 17 120 – 129 29 130 – 139 18 140 – 149 10 150 – 159 5 160 – 169 2

76 Respuesta: f • Marca de clase 104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5
164,5 4 18 29 10 • Marca de clase

77 Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana,
la moda y la media aritmética Respuesta: Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: Luego, = 11 = 5, Me = 5,5 2 Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite X = = = 5

78 Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de Estadística son:
Determinar : Mo, Me y X Notas Frecuencia 1 2 4 3 5 6 9 12 7 8 Respuesta: Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5 X = 1•1 + 2 • • • • • • 8 = = 4,9 Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

79 Percentiles, Deciles y Cuartiles
La mediana de un conjunto de datos ordenados, es el valor que los separa en dos partes iguales. Existen otros valores típicos que dividen a un conjunto de datos numéricos en una cierta cantidad de partes iguales; éstos son: Percentiles, Deciles y Cuartiles. P50 = 52 % = Me

80 Percentiles Los percentiles de una distribución de datos numéricos son
los 99 valores que la dividen en 100 partes iguales. Los percentiles se designan por: P1 , P2 , P3 , P99 Se lee: P1 = percentil 1 P2 = percentil etc. 0 P1 P2 P P99. Ejemplo: En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el P45 es una nota de referencia que permite afirmar que el 45 % de esos alumnos obtuvo esa nota o una menor.

81 El cálculo de percentiles se hace de la misma forma como se
obtiene la mediana, en una distribución. Ejemplo: Considerar la distribución de frecuencias de los 212 puntajes de P:A:A: para calcular P45 . Respuesta: Se calcula el 45% de 212: 212 = 100% x = 212 • 45 x % x = 95,4 Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 La frecuencia acumulada 95,4 se encuentra en la clase

82 L r i p = = 599,5 2 f (acum. ant) = 70 c = 50 f p = 80 P45 = L r i p + [ % - f (acum. ant)] • c f p ( 95,4 – 70 ) • 50 80 599,5 + P45 = = 599,5 + 15,875 = 615,375 Este valor significa que el 45 % de los alumnos obtuvo puntajes menores o iguales a 615,3.

83 Considerar la misma distribución anterior para calcular
Respuesta: Calcular el 8 % de 212: = 100 % x = 212 • 8 = 16,96 x % Este valor de la frecuencia acumulada se encuentra en la clase 450 – 499 L r i p = = 449,5 2 F(acum. ant) = 10 c = 50 f p = 9 449,5 P8 = + ( 16,96 – 10) • 50 9 = , ,66 = ,16

84 Ejercicio de percentil
Dada la tabla de distribución, determinar qué porcentaje de los alumnos obtuvieron entre 400 y 600 puntos. Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Respuesta: 400 puntos corresponde a un percentil que se desconoce, por lo que se simboliza por Px . Además se sabe que corresponde al segundo intervalo, y que su L r i p = 399,5

85 El % buscado es: x • F(acum. ant) = 4 f p = 6 c = 50 Px = 399,5 + • 50 400 = 399,5 + 400 – 399,5 = = 0,5 • 6 50 2,12 x – 4 0,06 + 4 = 2,12 x 4,06 2,12 = x 1,9 % = x

86 600 puntos corresponde a un percentil desconocido, por lo
que se simboliza por Py Además se sabe que está ubicado en el sexto intervalo, y que su L r i p = 599,5 f(acum. ant) = 70 f p = 80 c = 50 El % buscado es x • Entonces: Py = 599,5 + La diferencia entre ambos porcentajes corresponde al porcentaje pedido. 600 – 599,5 = 0,5 • 80 50 = 2,12 y - 70 33,3 – 1,9 = 31,4 % 0,8 + 70 2,12 = y y = 33,3 %

87 Calcular qué porcentaje de los 212 alumnos tuvieron
resultados entre 620 y 680 puntos. Respuesta: 620 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designa por Px. Entonces, Px = 599,5 + • 50 620 = 599,5 + 620 – 599,5 = 20,5 • 80 50 = 2,12x – 70 x = 48,4 %

88 680 puntos corresponde a un percentil que se desconoce y se designa por Py.
680 = 649,5 + ( 680 – 649,5 ) • 42 50 = 2,12y - 150 x = 82,8 % Así, la diferencia entre ambos porcentajes corresponde al porcentaje de alumnos que tienen entre 620 y 680 puntos. 82,8 % - 48,4 % = 34,4 = 34,4 % de los alumnos

89 Deciles Los deciles de una distribución de datos numéricos son los 9
valores que la dividen en 10 partes iguales. Los deciles se designan por D1 , D2 , D3 , D9 Se leen: Decil 1 , decil decil 9 0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

90 Para calcular deciles, se hace de la misma forma que los percentiles.
Ejemplo: Considerar la siguiente tabla de distribución para calcular D3 Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Para calcular el tercer decil (D3) se tiene que tener en cuenta que corresponde al 30 % inferior de los datos de la distribución.

91 Se calcula el 30% de 212 = 100% x % x = 63,6 Esta cantidad de datos corresponde a la clase 550 – 599 f(acum. ante) = 39 c = 50 L r i = = 549,5 2 f d = 31 ( 63,6 – 39 ) • 50 31 D3 = 549,5 + = ,6 = 589,1 El 30 % de los 212 alumnos tiene un puntaje igual o menor que 589,1 puntos.

92 Calcular el D7 Respuesta: El 70% de 212 = 148,4 El límite real inferior de la clase 600 – 649 es 599,5 f(acum. ant) = 70 f d = 80 c = 50 D7 = 599,5 + D7 = 599, D7 = 648,5 puntos NOTA: Se ha calculado D3 y D7 , entonces se puede concluir que el 40% de los alumnos obtuvo entre 589,2 y 648,5 puntos.

93 Cuartiles Los Cuartiles de una distribución de datos numéricos son los
tres valores que la dividen en 4 partes iguales Los cuartiles se designan por: Q1 , Q2 y Q3 Q1 Q2 Q3 Q1 es el primer cuartil y corresponde al 25% inferior Q2 es el segundo cuartil y corresponde al 50% inferior Q3 es el tercer cuartil y corresponde al 75% inferior Los cuartiles se calculan de la misma forma que los percentiles y los deciles.

94 Calcular el tercer cuartil, de la siguiente distribución
Respuesta: El 75% de 212 = 159 L r i q = 649,5 c = 50 f(acum. ant) = 150 f q = 42 Puntaje frecuencia Frec. Acum. 350 – 399 4 400 – 449 6 10 450 – 499 9 19 500 – 549 20 39 550 – 599 31 70 600 – 649 80 150 650 – 699 42 192 700 – 749 202 750 – 799 8 210 800 – 849 2 212 Q3 = 649,5 + Q3 = 649,5 + 10,7 Q3 = 660,2 El 75% de los alumnos tiene un puntaje igual o inferior a 660,2 puntos, lo que significa que el 25% de ellos tiene un puntaje igual o superior a 660,2

95 Un curso rindió una prueba de Matemática, ¿Qué se puede
decir del resultado, si se sabe que en la distribución de las notas se obtuvo: Q2 = 5,8 y Q3 = 6,5 ? Respuesta: Es conveniente ver la situación en forma gráfica: 5,8 6,5 25% 50% Se puede afirmar que: * El 50% del curso obtuvo una calificación superior a 5,8 * El 25% mejor preparado logró notas superiores al 6,5

96 Medidas de dispersión Al grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio se le llama variación o dispersión Las medidas de dispersión más utilizadas son: * Rango * Desviación media * Desviación típica o estándar.

97 Rango El rango de un conjunto de datos numéricos es la diferencia
entre el mayor y el menor de ellos. Ejemplo: Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: , , ,2 El rango es 4,2 ya que es la diferencia entre 6,2 y 2 ¿Qué significado tiene el rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango es 2,1? En el primer caso las notas están más dispersas que en el segundo. No se sabe en que caso son mejores; para determinarlo es necesario más información.

98 Desviación Media La desviación de un puntaje x con respecto a la media
aritmética x está dada por la diferencia d = x - x Ejemplo: Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura de Biología: 3, , ,9 Calcular la desviación de ellas. Respuesta: Primero se debe calcular el promedio. x = 3, ,2 +5,9 = 23 = 4,6

99 Ahora se calcula la diferencia de cada nota con el promedio
NOTA: La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a la media aritmética es igual a cero. Ejemplo: -0, , , , ,6 = 0

100 La desviación media de n datos numéricos x1, x2, ......xn
es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de todos los datos con respecto a su promedio. Se designa por DM n = frecuencia total DM = |x1 – x | + |x2 – x | |xn – x | n Ejemplo: DM = |-2,6 | + |-0,7 | + |0,4 | + |1,3 | + |1,6 | = 6,6 = 1,3 El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.

101 Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en la
asignatura de Inglés: 3, , , , ,7 Calcular la desviación media de las notas. Respuesta: x = 3, ,8 + 4,3 + 2,9 + 5,7 = 28,5 = 4,8 | 6,8 – 4,8 | = 2 | 3,2 – 4,8 | = 1,6 | 6 – 4,8 | = 1,2 | 5,7 – 4,8 | = 0,9 | 4,3 – 4,8 | = 0,5 | 2,9 – 4,8 | = 1,9 Luego, DM = 1,6 + 1, ,5 + 1,9 + 0,9 = 8,1 = 1,3 El valor 1,3 es la desviación media de todas las notas dadas.

102 Desviación media en datos agrupados
La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A. con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación media. Primero se debe sacar la marca de clase. Puntajes Frecuencia 350 – 399 4 400 – 449 6 450 – 499 9 500 – 549 20 550 – 599 31 600 – 649 80 650 – 699 42 700 – 749 10 750 – 799 8 800 – 849 2 x 374,5 424,5 474,5 524.5 574.5 624.5 674.5 724.5 774.5 824.5 210.5 160.5 110.5 60.5 10.5 39.5 89.5 139.5 189.5 239.5 | x – x | 421 1284 1105 2541 840 1224.5 1790 1255.5 1137 958 f • |x – x | Se debe obtener la desviación |x – x | Se realiza el producto de la frecuencia con la desviación Se obtiene la sumatoria del producto 212 *Considerar la frecuencia total. 12556

103 Con todos los datos se aplica la fórmula de la desviación media
DM =  f • | x – x | n DM = = 59,2 puntos 212 Se puede decir que los puntajes se desvían, en promedio, 59,2 puntos con respecto a la media. Hay que considerar que algunos puntajes son inferiores a ella y otros superiores. Si los puntajes estuvieran más agrupados en torno al promedio, es decir, menos dispersos, el valor de DM sería menor.

104 Calcular la DM de la siguiente distribución que representa
las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos d) Frecuencia total Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 x 1 4 7 10 f • x 5 28 42 20 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | 10,6 13,8 4,9 18,5 f • |x – x | e) x = 95 = 4,7 20 * Determinar | x – x | * Determinar f • |x – x | * Obtener  f • | x – x | 47,8 20 95 Respuesta: * Finalmente se determina la DM * Determinar el promedio DM = 47,8 = 2,3 20 a) Obtener la marca de clase b) Multiplicar f • x Las horas diarias se desvían en 2,3 puntos con respecto a la media. c) Obtener  f • x

105 Calcula la desviación media de las medidas de una pieza
de motores, dada por la siguiente tabla: * Sumatoria del producto 2 160 – 169 5 150 – 159 10 140 – 149 18 130 – 139 29 120 – 129 17 110 – 119 4 100 – 109 frecuencia Intervalo 85 x 104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5 329 772,5 1445 2421 3610,5 1946,5 418 x • f 35,8 25,8 15,8 5,8 4,2 14,2 24,2 | x – x | 71,6 129 158 104,4 121,8 241,4 96,8 f • | x – x | DM = 923 = 10,8 85 Las medidas se desvían en promedio de 10,8 puntos con respecto a la media. 923 Respuesta: * Marca de clase (x) *Se calcula | x – x | * x = 10942,5 = 128,7 85 * Se calcula f • | x – x |

106 Desviación típica o estándar
La desviación típica se simboliza por la letra S La desviación típica o estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto al promedio y corresponde a la raíz cuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de dichos datos con respecto a su media aritmética. En forma general: S =

107 Ejercicios Calcular la desviación típica de las siguientes notas de
Matemática: 2, , , , ,2 Respuesta: * Primero se debe obtener el promedio x = 2,0 + 3,9 + 5,0 + 5,9 + 6,2 = 4,6 5 * Se calcula la desviación típica S =

108 = S = = = 1,4 Luego, la desviación típica de las notas es 1,4 con respecto al promedio Si de estas notas descartáramos el 2, la nota más alejada del promedio, entonces la desviación típica sería S = 1,04 ; este valor es menor que 1,4. Las notas consideradas, sin la nota 2, tendrían una dispersión menor, es decir, estarían más centradas.

109 Calcular la desviación típica de las siguientes notas:
5, , , , , , ,2 Respuesta: x = 5,1 * Se obtiene el promedio * S = = S = S = = 0,1 Este valor es considerablemente menor que el ejercicio anterior. Se debe a que los datos son más homogéneos que en la otra distribución, presentan escasa dispersión con respecto al promedio.

110 Desviación típica en datos agrupados
Calcular la S de la siguiente distribución que representa las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7 *  f •| x – x | 2 Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 x 1 4 7 10 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | 28,09 5,29 0,49 13,69 | x – x | 2 56,18 31,74 3,43 68,45 f •| x – x | 2 * Se calcula S S = S = 159,8 Primero se debe sacar la marca de clase. * Determinar las desviaciones 2,8 S = * Obtener la desviación al cuadrado * Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado.

111 La siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos en P.A.A.
con un promedio de 614 puntos. Calcular la desviación típica Puntajes Frecuencia 350 – 399 4 400 – 449 6 450 – 499 9 500 – 549 20 550 – 599 31 600 – 649 80 650 – 699 42 700 – 749 10 750 – 799 8 800 – 849 2 x 374.5 424.5 474.5 524.5 574.5 624.5 674.5 724.5 774.5 824.5 210.5 160.5 110.5 60.5 10.5 39.5 89.5 139.5 189.5 239.5 | x – x | 110.25 | x – x |2 206082 8820 160205 229441 f • | x – x |2 S = = = 81,4 Entonces, S = 81,4 * Calcular marca de clase * determinar f • |x – x |2 * Calcular las desviaciones * Determinar la sumatoria del producto * Determinar las desviaciones al cuadrado

112 La siguiente tabla muestra el número de brazadas dadas
por 100 nadadores en la prueba de 200 m crol. Calcular S S = Brazadas frecuencia 200 – 204 8 205 – 209 12 210 – 214 15 215 – 219 18 220 – 224 16 225 – 229 14 230 – 234 10 235 – 239 7 x 202 207 212 217 222 227 232 237 f • x 1616 2484 3180 3906 3552 3178 2320 1659 18.1 13.1 8.1 3.1 1.9 6.9 11.9 16.9 | x – x | 327.61 171.61 65.61 9.61 3.61 47.61 141.61 285.61 | x – x | 2 1716.1 918.54 153.76 64.98 714.15 F •|x – x |2 9845 S = S = 9,9 Las brazadas están a 9,9 puntos con respecto al promedio 21895 Respuesta: d) x = = 218.9 * Promedio a) Marca de clase * Calcular las desviaciones b) f • x * Desviaciones al cuadrado *  del producto c)  f • x * f • | x – x |2

113 Varianza La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación típica Se simboliza por S2 S2 = El cálculo de la varianza es similar a la desviación típica

114 Un alumno obtuvo las siguientes notas en la asignatura de
Biología: 3, , ,9 Calcular la varianza de ellas. Respuesta: Primero se debe calcular el promedio. x = 3, ,2 +5,9 = 23 = 4,6 * Calcular las desviaciones |3,9 – 4,6 | = 0, | 2 – 4.6 | = 2, | 5 – 4,6 | = 0,4 | 6,2 – 4,6 | = 1,6 | 5,9 – 4,6 | = 1,3 * Calcular las desviaciones al cuadrado 0,72 = 0, ,62 = 6, ,42 = 0, ,62 = 2,56 1,32 = 1,69 * Calcular S2 S2 = 0,49 + 6,76 + 0,16 + 2,56 + 1,69 = 11,66 5 = 2,3

115 Calcular la Varianza de la siguiente distribución que representa
las horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos, con un promedio de 4,7 Horas Frecuencia 0 – 2 5 3 – 5 7 6 – 8 6 9 - 11 2 x 1 4 7 10 5,3 2,3 0,7 3,7 | x – x | 28,09 5,29 0,49 13,69 | x – x | 2 56,18 31,74 3,43 68,45 f •| x – x | 2 *  f •| x – x | 2 * Se calcula S2 S2 = 159,8 S2 = 7,9 Primero se debe sacar la marca de clase. Luego, la varianza es 7,9 * Determinar las desviaciones * Obtener la desviación al cuadrado * Producto de la frecuencia con la desviación al cuadrado.