Ayudantía Nº 4 Algebra I fmm010 Carola Muñoz R. 1

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son reflexivas? R 1 = {(x,y)|x = y} ( -1, -1) ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) R R 2 = {(x,y)|x  y} ( -1,-1) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y x = k y, si k = 1 entonces x = y ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son reflexivas? R 4 = {(x,y )| (x = y)  (x =  y) } ( -1,-1) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 5 = {(x,y)|x = y + 1} ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} x ≠ y Solo se cumple con x e y > 3 ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son reflexivas? R 7 = {(x,y )|  z   (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)|  n   (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)|  z   [(x + y)*z = 0]} Cuando x = y, la resta es igual a 0, 0   ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R Solo se cumple con x = y = par ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R ( -1,-1 ) ( 0, 0 ) ( 2, 2 ) R Solo se cumple con x = y  z = 0

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son simétricas? R 1 = {(x,y)|x = y} S R 2 = {(x,y)|x  y} S R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x  y  y  x x = k y /  k y = x/k x = k y  y  k x x = y  y = x S 6 múltiplo de 3 y 3 no múltiplo de 6.

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son simétricas? R 4 = {(x,y )| (x = y)  (x =  y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} S x = y  y = x x =  y /   1  y =  x S x = y + 1 /  1 x – 1 = y x = y + 1  y  x + 1 S x + y = y + x x + y  5  y + x  5

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son simétricas? R 7 = {(x,y )|  z   (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)|  n   (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)|  z   [(x + y)*z = 0]} S x + y = y + x, entonces (x + y)z = 0  (y + x)z = 0 x y = y x, entonces x y = 2z  y x = 2z S S x  y = 5n, y – x = 5n

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son antisimétricas? R 1 = {(x,y)|x = y} R 2 = {(x,y)|x  y} R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y - 5 = (-1) 5, 5 = (-1) -5 ( -5,5 )  R 3, ( 5,-5 )  R 3, y -5  5 Esta relación es antisimétrica ya que para todo ( x, y ) existe un ( y, x ), donde x = y A A A

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son antisimétricas? R 4 = {(x,y )| (x = y)  (x =  y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} x =  y /   1  y =  x (3,-3), (-3,3) y 3  -3, es decir siempre x  y x = y + 1 /  1 x – 1 = y x = y + 1  y  x + 1 S x + y = y + x pero x  y A A A

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son antisimétricas? R 7 = {(x,y )|  z   (x y= 2z) } R 8 = {(x,y)|  n   (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)|  z   [(x + y)*z = 0]} x + y = y + x, pero no siempre x = y x y = y x, pero no siempre x = y (20, 5)  R 8, (5, 20)  R 8, y 20  5 x y = y x, pero no siempre x = y A A A

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son transitivas? R 1 = {(x,y)|x = y} R 2 = {(x,y)|x  y} R 3 = {(x,y)| x es múltiplo de y } x = y, y = z  x + y = y + z x = z T x  y, y  z  x + y  y + z x  z T x = k 1 y, y = k 2 z  x =k 1 k 2 z x = kz T

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son transitivas? R 4 = {(x,y )| (x = y)  (x =  y) } R 5 = {(x,y)|x = y + 1} R 6 = {(x,y)|x + y ≥ 5} T T x = y, y = z  x + y = y + z x = z x = y + 1, y = z + 1  x + y = y z +1 x = z + 2  x  z + 1 x + y  5, y + z  5  x + z  10 – 2y x + z  5 T

Propiedades de las relaciones ¿Cuáles de las relaciones en  son transitivas? R 7 = {(x,y )|  w   (x y= 2w) } R 8 = {(x,y)|  n   (x – y = 5n)} R 9 = {(x,y)|  z   [(x + y)*z = 0]} T T T (1,2)  R 7, (2,3)  R 7 y (1,3)  R 7 x – y = 5n 1, y – z =5n 2  x – z = 5 (n 1 + n 2 ) x – z = 5n (1,-1)  R 9, (-1,1)  R 9 y (1,1)  R 9

Propiedades de las relaciones En resumen: RelaciónRSAT R 1R R 2R 2 R 3R 3 R 4R 4 R 5R 5 R 6R 6 R 7R 7 R 8R 8 R 9R 9 Relación de equivalencia Relación de orden parcial Relación de orden total