Integración de Redes Bayesianas con Programas Lógicos para Música Eduardo Morales L.Enrique Sucar Roberto Morales

Contenido Introducción Redes Bayesianas Redes Bayesianas + nodos “lógicos” Ejemplo musical (1) Redes Bayesianas dinámicas Ejemplo musical (2) Conclusiones

Introducción Una representación en música debe de incluir: Relaciones entre notas, voces, métricas,... Preferencias entre notas, métricas, reglas,...

Introducción (2) Una representación natural es: Lógica de primer orden para representar relaciones entre objetos musicales Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales

Propuesta: Utilizar redes Bayesianas para expresar preferencias musicales y extenderlas con lógica de predicados para expresar relaciones

Redes Bayesianas RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias –Nodos: variables proposicionales –Arcos: dependencias probabilísticas

Redes Bayesianas (2) RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}

Redes Bayesianas (3) Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas) Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional

Propuesta Extender redes Bayesianas con “nodos lógicos” (representados por cuadrados) en donde sea fácil expresar relaciones Los nodos lógicos pueden ser cláusulas de Horn arbitrarias

Ejemplo: Z puede ser: Binario (T ó F): relación(X,Y) Multivaluado: relación(X,Y,Z)

Razonamiento La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores

Razonamiento (2) Considerando variables discretas: Para obtener la distribución de probabilidad de “z” tenemos que evaluar la relación para todos los posibles valores no instanciados de “x” y “y”

Ejemplo (2) Supongamos:

Ejemplo (3)

Razonamiento (3) Alternativamente, podemos: (i)calcular fuera de línea la relación para todos los posibles valores de las variables involucradas z=truex=1x=3 y=011 y=210 z=falsex=1x=3 y=000 y=201

Razonamiento (4) (ii) Construir un nodo determinístico (iii) incluirlo directamente en una RB

Razonamiento (5) La estrategia “en línea”: –Evalua solo las filas y columnas de las variables desconocidas –Puede ser útil cuando el tamaño de la tabla de probabilidad condicional es “muy grande” –Se puede utilizar con variables continuas usando técnnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad

Razonamiento (6) La estrategia “fuera de línea”: –Está limitada a variables discretas con tablas de probabilidades condicionales “pequeñas” –Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB

Ejemplo musical (1) Para aplicar esta representación a análisis de contrapunto, tenemos que tener: 1.Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre: Notas de cantus firmus Reglas de contrapunto Métricas

Ejemplo musical (2) 2. Relaciones entre notas (considerando métricas) expresando las reglas de contrapunto 3. Distribuciones de probabilidad sobre las notas de contrapunto

Ejemplo Musical (3)

Representación Temporal En música es importante representar relaciones temporales En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros

Representación Temporal (2)

Ejemplo Musical (4) En nuestro ejemplo musical repetiríamos la misma estructura N-1 veces, donde N es el número de notas en el cantus firmus

Ejemplo Musical (5)

Ejemplo Musical (6)

Capacidades de la Representación La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas

Capacidadesa de la Representación (2) La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella Se pueden “abstraer” redes en nodos sencillos

Capacidad de Abstracción

Conclusiones Relaciones y preferencias musicales pueden ser representadas extendiendo redes Bayesianas con nodos “lógicos” La representación puede servir para análisis y composición musical

Trabajo Futuro Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande” Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio