Teorema de Nerode. Minimización de AFDs Conceptos previos: -Partición de un conjunto. -Relación sobre un conjunto A. -Relación de equivalencia. -Clase de equivalencia. -El conjunto de las clases de equiv. de A es una partición. -Conjunto cociente. -Indice de una relación. -R (sobre A) es más fina que Q si  x,y A (x R y  x Q y) R es congruencia sobre M si x R y  u,v M (uxv R uyv). R es cong. a derechas sobre M si x R y  v M (xv R yv). R es cong. a izquierdas sobre M si x R y  u,v M (ux R uy).

Relación de equivalencia de los buenos finales: -Dado L  *;  x, y  * ( x RL y  x -1 L = y -1 L ). -De manera equivalente  x, y  * ( x RL y  z  *( xz  L  yz  L )). RL es una congruencia a derechas: Dem.- Si x RL y,  z  * (xz) -1 L = z -1 (x -1 L) = z -1 (y -1 L) = = (yz) -1 L  xz RL yz Ejercicio: Sea A = (Q, , , q0, F) un AFD completo y accesible. Sea RA :  x, y  * ( x RA y  (q0, x) = (q0, y) ). - RA es una RBE de índice finito. - RA es una congruencia a derechas.

Teorema de Nerode Dado L  *; son equivalentes: 1.- L es regular. 2.- L es unión de algunas clases de equivalencia de una congruencia a derechas de índice finito. 3.- RL es de índice finito. Demostración: (1  2) L es regular  L = L(A) con A = (Q, , , q0, F). La relación es RA :  x, y  * ( x RA y  (q0, x) = (q0, y) ). - es una RBE de índice finito. - es una congruencia a derechas. - cada clase representa un estado de Q. - L es unión de aquellas clases de RA que corresponden con eltos de F.

(2  3) Sea E congruencia a derechas de índice finito. x E y   z * , xzEyz   z * (xz  L  yz L)  x RL y. Si E es de índice finito y es más fina que RL, esta también.

(3  1) Sea RL de índice finito, {[u] RL : u  L} q0 = [] RL A = (Q, , , q0, F) función de transición ([u] RL ,a) = [ua] RL a   {[u] RL : u  *} -Se cumple que ([] RL ,x) = [x] RL x  *. Entonces L(A) = {x  * : ([] RL ,x)  F }= {x  * : [x] RL  F }= {x  * : x  L } = L (  L= L(A)  L es Regular ).

Minimización de Autómatas Finitos -Un autómata A = (Q, , , q0, F) es accesible si q  Q  x  * : (q0, x) = q. -R. de indistiguibilidad: Si A es completo y accesible se define q,q’  Q (q  q’   x  * ((q, x) F  (q, y)  F )). Dado A = (Q, , , q0, F) , el autómata cociente A/  = (Q’, , ’, q’0, F’) con Q’ = Q/  = {[q]  : q  Q }; q’0 = [q0]  F’ = F/  = {[q]  : q  F }; ’([q]  , a) = [(q, a)]  es el autómata mínimo que acepta L(A). El problema de minimizar un AFD se reduce a computar 

R. de k-indistiguibilidad: Si A es completo y accesible, q,q’  Q (q k q’   x  *, |x|  k ((q, x)  F  (q, y)  F )).  k  0 p k + 1 q  p k q .  k  0 p  q  p k q .  k  0 p k + 1 q  p k q  a   ((p, a) k (q, a)). p 0 q  (p  F  q  F)  (p  Q - F  q  Q - F) Algoritmo de minimización: (1) 0 = {Q - F , F} (2) Obtener k + 1 a partir de k : B(p, k + 1) = B(q, k + 1)  B(p, k ) = B(q, k )   a   (B((p, a), k ) = B((q, a), k )) (3) Repetir (2) hasta encontrar m : m + 1 = m .

1 a 1 2 a 1 3 b b 1 5 1 a b 3 4 b 1 a 2 6 7 4 b b 1 1 a 1 5 6 a

a 1 2 a b b a b 3 4 b a b b a 5 6 a