REGLA DE LAPLACE ESPAD III * TC 38

LEY DEL AZAR LEY DEL AZAR Aunque no se puede predecir el resultado, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada una de las distintas posibilidades aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. Veamos un ejemplo: Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: fr = 1/6 = 0,166

LEY DE LAPLACE Ejemplo 1: LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5

Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = casos favorables / casos posibles =3 / 6 = 0,5 Ejemplo 3: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 P(A) = P(de que nos resulte un rey) = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1

Ejemplo 4: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 P(A) = P(de que nos resulte una copa) = = casos favorables / casos posibles = 10 / 40 = 0,25 Ejemplo 5: Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5,  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625

Propiedades IMPOSIBILIDAD Y CERTEZA Como el valor de las frecuencias relativas siempre está entre el 0 y el 1, el valor de la Probabilidad de un suceso será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Cuando un suceso no se pueda dar nunca, se llama suceso imposible . P(Suceso imposible) = P(Ø)=0 Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. P(Suceso seguro) = P(E)=1. Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 8 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1

SUCESOS CONTRARIOS Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) Ejemplo: Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333

Probabilidad TOTAL PROBABILIDAD TOTAL (I) Dos sucesos son incompatibles cuando no se pueden verificar simultáneamente. En ese caso se llama probabilidad total a la probabilidad de la unión de sucesos. P(A U B U C U ...) = P(A)+P(B)+P(C)+.... Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja Sea A el suceso “Que el resultado sea un As” Sea B el suceso “Que el resultado sea un Rey” P(AUB) = P(A)+P(B)= 4/40 + 4/40 = 8/40 = 1/5 = 0,2 , pues son incompatibles. Otro ejemplo: Al extraer una carta de una baraja Sea A el suceso “Que el resultado sea un Oro” Sea B el suceso “Que el resultado sea una Copa” Sea C el suceso “Que el resultado sea un Basto” Sea B el suceso “Que el resultado sea una Espada” P(AUBUCUD) = P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 10/40 + 10/40 + 10/40 + 10/40 = 40/40 = 1

PROBABILIDAD TOTAL ( y II) Dos sucesos son compatibles cuando tienen alguna parte en común. En ellos: P(A∩B) = P(A).P(B) P(A U B ) = P(A)+P(B) - P(A∩B) Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja, ésta sea un As o una Espada. Como existe el As de Espadas, los dos sucesos son dependientes: P = 4/40 + 10/40 - 4/40. 10/40 = 0,1+ 0,25 – 0,1.0,25 = 0,325 = 13/40 pues entre espadas y ases hay 13 cartas de las 40. Se Ab 2e 5e 24 cartas más 3e Ce Ae 6e Ac 4e Re 7e Ao E