Aplicación del PFV a estructuras hiperestáticas Método de las Fuerzas Aplicación del PFV a estructuras hiperestáticas

Análisis de estructuras hiperestáticas con PFV Método de las Fuerzas Principio de las Fuerzas Virtuales: Resuelve hiperestaticidad=obtiene la/s incógnita/s hiperestática/s Trabajos virtuales: Fuerzas y esfuerzos virtuales realizan trabajo sobre desplazamientos reales. Se plantea la COMPATIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS para resolver la hiperestaticidad (calcular la/s incógnita/s hiperestáticas). Ejemplo: GHext=R-3=4-3=1 GHint=0 Podemos considerar cualquiera de las reacciones verticales como INCÓGNITA HIPERESTÁTICA X. Una vez conocida esa incógnita se pueden calcular reacciones y esfuerzos. F VB=X X

Procedimiento. Paso 1: cálculo del G.H. Ejemplo: viga continua con un empotramiento y n apoyos móviles. Varios tipos de cargas: Distribuida p Puntual P Momento M Asiento de un apoyo  Grado de hiperestaticidad según Capítulo 1: GHext=R-3=(3+n)-3=n (empotramiento = 3reacciones) GHint=3CC-(BA-1)=0 (ni contornos cerrados ni articulaciones entre barras) GH=n Significa que “nos sobran” n reacciones. Una barra en voladizo (3 Reacc.) es isostática Cada apoyo adicional supone una reacción que no se puede calcular planteando sólo el equilibrio estático (∑FV=0; ∑FH=0; ∑M=0) Asiento= desplazamiento impuesto a un apoyo (porque cede la cimentación o por cualquier otro motivo) Los asientos generan esfuerzos en las estructuras hiperestáticas

Procedimiento. Paso 2: elección del sistema base Elegir un sistema base estáticamente determinado. Eliminamos los elementos que dan lugar a la hiperestaticidad. En el ejemplo eliminamos los n apoyos que hay en exceso Sustituimos esos elementos por las incógnitas hiperestáticas correspondientes (X). En el ejemplo son las correspondientes reacciones verticales de los apoyos. SISTEMA BASE= sistema isostático equivalente al sistema inicial pero en el que desconocemos algunas fuerzas (incógnitas hiperestáticas X)

Procedimiento. Paso 3: compatibilidad de despl. Aplicando el principio de superposición El efecto de varias cargas simultáneas es igual a la suma de los efectos de las mismas por separado. Planteamos qué condiciones deben cumplir los desplazamientos de los puntos donde tenemos las X. Desplazamiento del punto i = desplazamiento que se produce en i en el sistema base sin las incógnitas hiperestáticas + los desplazamientos que se produce en i debido a cada una de las incógnitas hiperestáticas X. Ej: Ecuación de compatibilidad de desplazamientos del punto i ECUACIONES: i0 = desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático sin las X ik =desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático cuando sólo aplicamos una carga 1 en el punto de la incógnita hiperestática k. Xk= incógnita hiperestática k - = desplazamiento impuesto al nudo i (asentamiento  en este caso)

Procedimiento. Paso 4: Sistema 0, Sistema 1… Para el cálculo de los desplazamientos i0, i1,… in se utiliza el PFV (método de la carga unitaria). Para ello es necesario crear diferentes sistemas: SISTEMA 0: Sistema base sin la incógnita hiperestática. SISTEMA 1: Sistema sólo con carga unidad en la incógnita hiperestática 1. SISTEMA 2: Sistema sólo con carga unidad en la incógnita hiperestática 2. … SISTEMA n: Sistema sólo con carga unidad en la incógnita hiperestática n. S0 Si STOTAL Por superposición vemos que se cumple: STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn

Procedimiento. Paso 5: cálculo de i0 Se calcula i0 aplicando el método de la carga unitaria. 1·i0=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los desplazamientos en el sistema “real” 0. S0 Desplazamiento en el punto i en el S0. Trabajo de momentos del Si sobre las deformaciones debidas a momento del S0 Trabajo de normales del Si sobre las deformaciones debidas a normales del S0 Los trabajos de los cortantes suelen ser despreciables Trabajos de los esfuerzos en muelles del Si sobre las deformaciones de muelles del S0 Si 1º: obtener diagramas de los sistemas 0 e i 2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

Procedimiento. Paso 6: cálculo de los ik Se calcula ik aplicando el método de la carga unitaria. 1·ik=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los desplazamientos en el sistema “real” k. Sk Desplazamiento en el punto i en el Sk. Trabajo de momentos del Si sobre las deformaciones debidas a momento del Sk Trabajo de normales del Si sobre las deformaciones debidas a normales del Sk Los trabajos de los cortantes suelen ser despreciables Trabajos de los esfuerzos en muelles del Si sobre las deformaciones de muelles del Sk Si 1º: obtener diagramas de los sistemas k e i 2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

Procedimiento. Paso 7: resolver hiperestaticidad Una vez conocidos los desplazamientos i0, …, ik, … se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad. n ecuaciones con n incógnitas (X1, X2, …, Xn) X1, X2, …, Xn

Procedimiento. Paso 8: esfuerzos totales Por superposición: STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn Consideramos los sistemas 0, 1, 2, …, n Los diagramas totales se obtienen de la superposición de los n+1 diagramas También pueden obtenerse simplemente a partir del sistema total, ya que ahora conocemos las incógnitas hiperestáticas.

Método de las Fuerzas: ejemplo En la estructura de la figura con una carga P, determinar los diagramas de esfuerzos internos en las barras por el método de las fuerzas. DATOS: Sm = 6EI/√5 AEAB = EI/6√5 EI = cte AE = GA= en las barras de nudos rígidos. Los datos se dan en función de la rigidez EI La barra AB sólo sufrirá tracciones y compresiones, por eso sólo hace falta su rigidez a axil AEAB. Cuando nos dice que consideremos AE= es que los desplazamientos que se producirán debido a los axiles en esas barras son despreciables, por tanto no los consideraremos en el producto de diagramas. Comunmente se considera GA=, así no se consideran los cortantes al calcular desplazamientos.

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación) Grado de Hiperestaticidad: El apoyo articulado fijo F: 2 R (vert. y htal.) Muelle torsional: 1R (momento) Apoyo articulado fijo A: 2 R GHext=R-3=5-3=2 No hay contornos cerrados Articulación entre 1 barra y un conjunto rígido GHint=3CC-(BA-1)= -(2-1) =-1 GH=1 Otro modo de verlo: Al no haber CC, pensamos sólo en clave de hiperestaticidad externa. La barra AB sólo puede tener axiles, por tanto la única reacción posible en A es la horizontal. GH=R-3=4-3=1

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación II) Elección de un sistema base: Convertir la estructura en isostática eliminando “aquello que tenemos en exceso” y sustituyéndolo por incógnitas X. Las incógnitas hiperestáticas pueden ser: Reacciones Esfuerzos En este caso en A la reacción sólo puede tener una dirección htal., ya que la barra biarticulada sólo puede transmitir axiles. Incógnita hiperestática X1: Reacción en A=Axil en AB X1 A B

Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación III) Plantear ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos: Para que el sistema base se comporte igual que el sistema original (con apoyo fijo en A): Desplazamiento horizontal en A=0 Desplazamiento horizontal en A = desplazamiento horizontal en A que se produce en el sistema base isostático sin X1+ el desplazamiento horizontal en A debido a la incógnita hiperestática X1. HA = 1= 10 + 11·X1 = 0 1=desplazamiento que se produce en según la incógnita 1 (desplazamiento horizontal en A). Ese desplazamiento debe ser 0 al tener un apoyo fijo A. 10 = desplazamiento que se produce en según la incógnita 1 en el sistema base isostático sin X1 (Sistema 0). 11 =desplazamiento que se produce según la incógnita 1 en el sistema base isostático cuando sólo aplicamos una carga unidad en el punto de la incógnita hiperestática 1 (Sistema 1). X1= incógnita hiperestática 1 Sistema Base

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. IV) Sistemas 0 y 1 para el cálculo de δ10 y δ11. Sistema 0: sistema base sin X Sistema 1: sistema base sólo con X1=1

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V) = Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V) Cálculo de δ10: producto de diagramas de S0*S1. No tendremos en cuenta los cortantes ya que GA= y sólo tendremos en cuenta los axiles en AB debido a que EA= en el resto. 2P 2tm 6tm * 20m

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI) = = Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI) Cálculo de δ11: producto de diagramas de S1*S1. No tendremos en cuenta los cortantes ya que GA= y sólo tendremos en cuenta los axiles en AB debido a que EA= en el resto. * +1t 3m = 6 tm * 6tm 45m =

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VII) Cálculo de la incógnita hiperestática: HA = 10 + 11·X1 = 0 Esto significa que la reacción horizontal en A es P/9 hacia la dcha. (sentido opuesto al que planteamos inicialmente). Considerando la incógnita podeos calcular los diagramas totales:

Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VIII) Obtención de diagramas totales por superposición: Vemos que el Sistema base (equivalente al original) es igual al sistema 0 mas el Sistema 1 multiplicado por X1. Por tanto los diagramas pueden obtenerse: Momento flector, M = M0 + M1 X1 Esfuerzo cortante, V = V0 + V1 X1 Esfuerzo normal, N = N0 + N1 X1 = + ·X1

Cargas térmicas Incremento de temperatura=dilatación Depende del coeficiente de dilatación térmica del material α [0C-1] Causa esfuerzos en estructuras hiperestáticas Incremento de temperatura uniforme en toda la sección Carga térmica general (incremento uniforme + gradiente) Diferencial de deformación longitudinal en la barra du=ε·dx=α·ΔT·dx Deformación longitudinal + Giro du=ε·dx=α·ΔTm·dx + .

Cargas térmicas en sistemas hiperestáticos Sistemas isostáticos Sistemas hiperestáticos: c. térmicas provocan esfuerzos Hay que considerar las cargas térmicas en el Sistema 0. Carga térmica cte. + Gradiente térmico ε0 =α·Tm Carga térmica cte. d0=ε0·dx=α·ΔTm·dx

Trabajos internos de las cargas térmicas ε0T debido al incremento uniforme de Tª: en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una deformación ε0T =α·ΔTm como si fuese un diagrama de normales constante. El “diagrama” es + si es un aumento de temperatura No habrá que dividir por ninguna rigidez (EA) al ser ya ε0 deformación. κ0T debida al gradiente térmico: en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una curvatura κ0T =α(ΔTi-ΔTs)/h como si fuese un diagrama de momentos constante. El “diagrama” se dibuja por el lado del incremento térmico + No habrá que dividir por rigideces (EI) al ser ya κ0 curvatura. 𝑻𝑽𝑰 𝑻 = 𝑵 𝟏 𝜺 𝟎𝑻 𝒅𝒙 ε0T α·ΔTm 𝑻𝑽𝑰 𝑻 = 𝑴 𝟏  𝟎𝑻 𝒅𝒙 κ0T α(ΔTi-ΔTs)/h

Simetría y antisimetría En una estructura simétrica: Cargas Mf V N Mt Simétricas Simétrico Antisimétrico Antisimétricas

Estructura simétrica con carga simétrica Deformada simétrica En el punto de corte con el eje de simetría: No debe girar Desplazamiento perpendicular al eje de simetría nulo Los esfuerzos antisimétricos como el cortante V son nulos. Todo esto se simula con apoyo empotrado móvil que pueda desplazarse a lo largo del eje de simetría. Diagramas de M y N simétricos y V antisimétricos. La deformada debe ser simétrica y los puntos del eje de simetría no deben girar.

Estructura simétrica con carga antisimétrica Deformada antisimétrica: En el punto de corte con el eje de simetría: Desplazamiento del punto en la dirección del eje de simetría nulo. Los esfuerzos simétricos como el momento flector M y el esfuerzo normal N son nulos. Todo esto se simula con apoyo articulado móvil que pueda desplazarse en perpendicular al eje de simetría. Los diagramas de M y N serán antisimétricos y los de V serán simétricos. La deformada debe ser antisimétrica y los puntos del eje de simetría no deben desplazarse a lo largo del mismo.

Simplificaciones por simetría y antisimetría + = P/2 Sim. Antisim. Un sistema de cargas sobre estructura simétrica puede dividirse en simétrico + antisimétrico

Calcular desplazamientos: Carga unitaria Ejemplo: Caso de estructura plana de barras articuladas con rigidez AE. Se pide el desplazamiento vertical de la esquina inferior derecha. Sistema hiperestático (sobra una barra para ser isostático) Sistema base (sistema isostático con incógnita hiperestática X1)   ? GH=B+R-2N=6+3-2·4=1 GHext=R-3=3-3=0 GHint=GH-GHext=1 “Sobra” una barra. Se corta o se separa una barra diagonal Incógnita hiperestática=el axil X1.

Calcular desplazamientos: Carga unitaria (II) Plantear compatibilidad de desplazamientos en el S.B.: Que 1=0 significa que los desplazamientos según X1 deben ser iguales y opuestos (como si la barra estuviese aún unida) Sistemas S0 y S1 Se calcularían todos los esfuerzos en barras para ambos sistemas Se obtienen los desplazamientos 10 y 11. Se obtiene X1 despejando: Sistema 0 (sistema base sin X1) Sistema 1 (con carga unidad en la incógnita X1)

Calcular desplazamientos: Carga unitaria (III) Se plantea el método de la carga unitaria. Sist. Virtual = la estructura del sistema base con una carga unidad acorde con el despl. a calcular. Desplazamiento = trabajo virtual interno (producto de diagramas) Sistema real de deformaciones (sistema total) Sistema virtual de fuerzas (carga unidad)

Cálculo de desplazamientos: Ejemplo En la estructura de la figura, determinar por el método de la carga unitaria el desplazamiento vertical de D y dibujar la elástica a estima de la estructura. DATOS: Sm = 6EI/√5 AEAB = EI/6√5 EI = cte AE = GA= en las barras de nudos rígidos. Para este ejemplo ya se ha resuelto la hiperestaticidad de la estructura en un ejercicio anterior Se tomó como incógnita hiperestática la reacción en A, que es igual al axil en AB. Para la obtención del desplazamiento pedido partiremos de los diagramas de esfuerzos totales del sistema hiperestático completo.

Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (II) Diagramas de esfuerzos del Sistema Base resuelto (S. total) Deformaciones en el S. real (Sistema total) Esfuerzos en el S. virtual (Sistema con carga 1 en D) AB es la única barra que puede sufrir deformaciones por esfuerzos normales AB no tiene normales Los cortantes no se tienen en cuenta porque GA=. Los cortantes no se tienen en cuenta porque GA=. Mm=0 θm=6P/9Sm

Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (III) Se aplica el PFV. (TVE=TVI) El desplazamiento buscado es igual a los trabajos virtuales internos (producto de diagramas) * 6P/9 * = 16·2·(2·16P/9-6P/9)√20·1/EI=4,30·P/EI 2tm 20m 16P/9 2P * = 1/3·2·2P·2/EI=2,67P/EI 2tm 2m 𝛿 𝑉𝐷 = 4,30𝑃 𝐸𝐼 + 2,67𝑃 𝐸𝐼 +0+0= 6,97·𝑃 𝐸𝐼 𝑚 Al ser positivo, su sentido es el mismo al supuesto con la carga unidad (hacia abajo).

Cálculo de la deformada (elástica) a estima Forma estimada de la estructura deformada: Convexa por el lado en el que está el diagrama de momentos. Donde el momento cambia de signo  punto de inflexión Tener en cuenta la deformación calculada Alargamiento-acortamiento de barras biarticuladas L=(N/AE) L Deformaciones Deformada