Principales distribuciones discretas 2011 - 0

Distribución Binomial Un experimento Binomial consiste de una serie de n pruebas o ensayos fijados antes de realizar el experimento. Las pruebas son idénticas y cada una de ellas puede resultar en uno de dos posibles resultados: E y F. Las pruebas son independientes entre si, por lo que el resultado de un intento en particular no influye en el resultado de cualquier otro. La probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra y se denota por π.

Distribución Binomial La variable aleatoria se define como el número de éxitos obtenidos en los n intentos. La distribución de probabilidad para X es: Se dice que X tiene distribución Binomial con parámetros n y π, y se denota por X ~ B( n, π ). Esperado Varianza

Distribución Binomial Ejemplo: Cuando una máquina está funcionando normalmente, el 10% de las piezas producidas resultan defectuosas. Suponga que se selecciona al azar tres piezas producidas en la máquina y que estamos interesados en el número de piezas defectuosas encontradas: Defina la variable aleatoria y describa en qué condiciones esta situación corresponde a una distribución binomial. Calcule la probabilidad de encontrar menos de dos piezas defectuosas. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria.

Distribución Binomial Ejemplo: Un cierto sistema mecánico contiene 10 componentes. Suponga que la probabilidad de que cualquier componente individual falle es de 0,07 y que los componentes fallan independientes unos de otros. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 2 componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos uno de los componentes? Hallar el valor esperado y varianza de la variable aleatoria.

Distribución Hipergeométrica Consideremos una población de N elementos, de los cuales A tienen la característica de interés y, por lo tanto, N – A no la tienen. Un experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin reemplazo una muestra de n elementos a partir de la población mencionada. La variable aleatoria hipergeométrica se define como el número de elementos en la muestra que tienen la característica de interés.

Distribución Hipergeométrica La función de probabilidad es: Se escribe X  H(N, A, n,) Esperado Varianza

Distribución Hipergeométrica Ejemplo: Se tienen lotes de 40 componentes. El proceso de inspección consiste en elegir al azar cinco de sus componentes y rechazar el lote si se encuentra al menos un componente defectuoso. Si en un lote que se inspecciona hay tres componentes defectuosos: ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un componente defectuoso en la muestra? ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote? Calcule el valor esperado, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria.

Siméon Poisson (Francia 1781-1840) La vida es buena solamente por dos cosas, descubrir matemáticas y enseñar matemáticas

Distribución Poisson Se usa en situaciones en las que el experimento da lugar a valores numéricos discretos de una variable aleatoria que ocurre durante un intervalo de tiempo o unidad de evaluación (área, volumen, etc.) La variable aleatoria X se define como el número de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo o unidad de evaluación. 1 minuto

Distribución Poisson La función de probabilidad es:  es el número esperado de eventos por unidad de evaluación. Se escribe: X  P() Esperado Varianza E[ X ] =  V[ X ] = 

Distribución Poisson Ejemplo: La única cajera de una agencia bancaria sabe por experiencia que entre las cinco y las seis de la tarde (hora en que cierra el banco) llegan a su agencia en forma aleatoria un promedio 2 personas por minuto según un proceso de Poisson. La cajera está obligada a atender a todas las personas que llegan hasta las seis de la tarde. Tres minutos antes de las seis de la tarde no hay nadie en la cola y en ese momento ella recibe una llamada telefónica que la obliga a ausentarse de su puesto durante diez minutos. Calcular la probabilidad de que al volver a su puesto hayan más de tres personas en la cola.