Graduación no-paramétrica, con suavidad y estructura impuestas por el analista: aplicaciones demográficas para México Víctor M. Guerrero Departamento de Estadística – ITAM y Eliud Silva UNAM y U. Anáhuac Trabajo ganador del 3er lugar del Premio Gustavo Cabrera 2010, en la categoría de Mejor Investigación en Demografía.

Las técnicas estadísticas pueden aplicarse para la comprensión y solución de problemas en diversas áreas. En particular, en el análisis demográfico se tiene una veta de oportunidad para su aplicación. Introducción Entre muchos otros, existen los siguientes trabajos de pronóstico de población: Lee y Carter (1992), Lee y Tuljapurkar (1994), Keilman et al. (2002), Girosi y King (2004), Tuljapurkar et al. (2004), Hyndman y Booth (2008), Alonso et al. (2009) y Okita et al. (2009). Desde la década de los 80´s se ha usado la óptica del análisis de series de tiempo para abordar problemas de fecundidad, mortalidad y migración. El denominador común ha sido el análisis y pronóstico estadístico. 2/30

Land y Cantor (1983) usaron modelos ARIMA para las variaciones estacionales de nacimiento y muerte en Estados Unidos; Carter y Lee (1986) realizaron pronósticos conjuntos para fecundidad, nupcialidad y matrimonios; Thompson et al. (1989) proyectaron la fecundidad en forma multivariadas; McNown y Rogers (1992) también pronosticaron mortalidad. Introducción Y en México, González y Guerrero (2007) ganaron el Premio de Pensiones de ese año al pronosticar mortalidad y analizar su impacto sobre las pensiones para el año McNown y Rajbhandary (2003) analizaron el comportamiento del mercado laboral femenino y la fecundidad; Laporte y Ferguson (2003) estudiaron la desigualdad del ingreso y la mortalidad en Canadá; Brücker et al. (2003) discutieron la migración internacional en Alemania; Jeon y Shields (2008) analizaron el impacto del tamaño de las cohortes en Estados Unidos; Goldstein (2009) reconstruyó la incidencia de Influenza usando series de mortalidad. 3/30

Graduación no-paramétrica y estructurada de tasas de mortalidad Los censos de población, encuestas y estadísticas vitales pueden tener anomalías o defectos en su registro. Su origen puede ser atribuido a la presencia de eventos extraordinarios (sismos, inundaciones, etc.) o a errores humanos de diversos tipos. El registro erróneo de las muertes puede conducir a un aumento (o disminución) de la intensidad en una cierta edad, en detrimento de otra, lo que afecta la toma de decisiones. La graduación (suavizado) de datos surge como una alternativa para resolver este problema. La graduación es el conjunto de principios y métodos a través de los cuales se ajustan los datos observados para obtener una base suavizada, que permite hacer mejores inferencias y, en particular, realizar cálculos actuariales (Haberman y Renshaw, 1996). 4/30

Graduación no-paramétrica y estructurada de tasas de mortalidad Aquí se utiliza un método para estimar tendencias en tasas de mortalidad, que conjuga la bondad del ajuste y la suavidad del enfoque no-paramétrico, con la información proveniente de una estructura de mortalidad dada, según se propuso en Guerrero y Silva (2010). El usuario es capaz de controlar, tanto un porcentaje suavidad, como otro de estructura, lo que propicia la comparabilidad entre tendencias estimadas. La graduación de datos de mortalidad puede realizarse mediante el uso de métodos paramétricos o no-paramétricos. En el primer grupo, se busca ajustar una función paramétrica a las probabilidades que surgen directamente de los datos. En el segundo grupo, se suavizan los datos observados, que corresponden a probabilidades de muerte, mediante técnicas de suavizamiento. 5/30

Se busca disminuir la variabilidad y facilitar el análisis de los datos observados. Estos se modifican y se convierten en estimados, una vez que se les excluyen las fluctuaciones indeseadas. Modelos no-paramétricos Una técnica muy empleada para ello es el método de Whittaker y Henderson, que resulta de resolver el problema de minimizar donde es el vector de valores observados y es el vector de valores graduados. es una matriz de ponderaciones y es una matriz de diferencias de tamaño cuyo ij-ésimo elemento está dado por para i=1,…,n-d y j =1,…,n, con para j d + i. 6/30

Modelos no-paramétricos En el contexto de tasas de mortalidad, el mejor estimador lineal e insesgado de las tasas suavizadas, tiene la forma de la solución de Whittaker y Henderson al problema de graduación (Guerrero, Juárez y Poncela, 2001). En el ámbito económico, al método de Whittaker y Henderson con d = 2, se le llama filtro de Hodrick y Prescott (HP) (Hodrick y Prescott, 1997). Sirve para estimar tendencias y realizar análisis de ciclos económicos. 7/30

Modelos no-paramétricos El filtro de HP proporciona una estimación de la variable no observable a través de la solución del problema de minimización donde es la variable observada, es el valor de la tendencia (no observable) por estimar, es la varianza del componente cíclico, que se define como y es la varianza de la tasa de crecimiento de la tendencia. El parámetro permite establecer un equilibrio entre la suavidad de la tendencia y la magnitud de las fluctuaciones cíclicas. 8/30

Laxton y Tetlow (1992) propusieron el filtro de Hodrick y Prescott multivariado (HPMV) para estimar variables no observables. Con este filtro se agrega información económica relevante al modelo, que incluye la suavidad. Modelos no-paramétricos Esta expresión es semejante a la del filtro HP, pero está aumentada con los errores que provienen de la estimación de alguna relación económica (Boone, 2000). El filtro de HPMV permite estimar la variable no observable como solución del problema con respecto a para y dados. 9/30

Método de componentes con el que se estudia, por separado, el comportamiento futuro de los componentes demográficos: fecundidad, mortalidad y migración (George et al., 2004). Técnicas demográficas para proyectar mortalidad Para la mortalidad, se cuenta con: (a) Técnicas de extrapolación. (b) Técnicas que suponen alguna estructura de mortalidad en otras. (c) Modelos estructurales que consideran cambios en las tasas de mortalidad, a partir de cambios en variables socioeconómicas. Para (a) y (b) se tienen también: método de Lee y Carter (1992); leyes de Makeham, Gompertz, Helligman y Pollard; tablas de mortalidad límite, etcétera. 10/30

Se sugiere usar el filtro HPMV para estimar tendencias de mortalidad mediante la incorporación de suavidad de los datos. Para ello se usa donde denota la mortalidad observada, representa la tendencia de mortalidad suavizada y es el ruido. Metodología propuesta Cuando se penaliza por falta de suavidad y se minimiza con respecto a, surge el problema con el error aleatorio de un modelo demográfico estructural. Se tiene un problema como el de Boone (2000), para estimar la tendencia de mortalidad no-observada,. 11/30

Se considera el modelo. Metodología propuesta ~ ~ ~ La ecuación (1) expresa el vector de mortalidad como una tendencia más un error aleatorio. En (2) se induce suavidad en al suponer el polinomio de grado uno, para t = 3,..., n, con un error aleatorio. En (3) se usa una experiencia de mortalidad (estructura límite), i. e. otra fuente de información, para combinar con los datos observados. 12/30

Se usa Mínimos Cuadrados Generalizados para estimar, así que donde y, cuya matriz de varianza-covarianza está dada por Metodología propuesta Otra forma de expresar es como así que puede interpretarse como la combinación de dos fuentes de información, cuyas credibilidades pueden ser decididas por el analista al elegir el valor de. 13/30

Desde el punto de vista de cálculo numérico, el vector se obtiene por medio del Filtro de Kalman con suavidad. Metodología propuesta Se propone el índice de suavidad donde tr(.) denota la traza de una matriz y las matrices son positivas definidas de tamaño. 14/30 Esta medida satisface: (i) es aditiva a la unidad; (ii) toma valores en (0,1); (iii) es invariante bajo transformaciones lineales no singulares; y (iv) se comporta en forma lineal.

El índice de suavidad es con. Índice de suavidad y su uso para elegir los parámetros de suavizamiento Para suavizar los datos observados con el filtro HPMV, usando una estructura conocida de datos, se sugiere usar el siguiente procedimiento: 15/30

1. Suavizar los datos sin considerar la existencia de. Fijar un porcentaje deseado de suavidad y aplicar el procedimiento de Guerrero (2008). Deducir el valor de y obtener la correspondiente curva suavizada con 100S( ; n)% de suavidad (por ejemplo 80%). Índice de suavidad y su uso para elegir los parámetros de suavizamiento 2. Decidir el grado de suavidad a intercambiar por estructura, de manera que el porcentaje de suavidad se reduzca (digamos de 80% a 75%). Fijar el valor de 100S( )% y deducir o bien, elegir este valor a priori. 3. Ejecutar el proceso de suavizamiento con estructura, aplicando el filtro de Kalman a los datos, con lo que se obtiene 100S( )% de suavidad y 100[S( ) – S( )]% de estructura (es decir, proximidad a ). 16/30

Ejemplo 1 Figura 1. Mortalidad en la Ciudad de México del siglo XVIII, con base en restos óseos encontrados en la Catedral Metropolitana en 1976 y Fuente: Logaritmos de tasas de mortalidad de Hernández, P. (1999) Los estudios paleodemográficos en México. Revista Argentina de Antropología Biológica, 2: Figura 1. Mortalidad en la Ciudad de México en el siglo XVIII con CMT76 y CMT82 17/30

Figura 2. Tendencia estimada con ambas fuentes de información: 1976 y 1982 Fuente: Cálculos propios y logaritmos de tasas de mortalidad Ibid. Ejemplo 1 18/30

Figura 3. Tendencia estimada con mayor credibilidad en los datos de 1976 Fuente: Cálculos propios y logaritmos de tasas de mortalidad Ibid. Ejemplo 1 19/30

Figura 4. Tendencia estimada con mayor credibilidad en los datos de 1982 Fuente: Cálculos propios y logaritmos de tasas de mortalidad Ibid. Ejemplo 1 20/30

Figura 5. Tasas específicas de fecundidad Fuente: Tasas específicas de fecundidad de Suecia de 2006 disponible en y CONAPO (2006) Indicadores demográficos básicos, Consejo Nacional de Población, disponible en (11/marzo/2006). Ejemplo 2 21/30

Figura 6. Tendencia inicial con datos de México 2006 Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 2 22/30

Figura 7. Tendencia estimada con estructuras de fecundidad de México y Suecia Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 2 23/30

Figura 8. Tasas de mortalidad infantil en México con tres fuentes distintas Fuente: Aguirre, A. (2009) La mortalidad infantil y la mortalidad materna en el siglo XXI. Papeles de población, 15: 75-99; CONAPO (2010) Indicadores demográficos básicos, Consejo Nacional de Población disponible en (11 de agosto de 2010) y datos de la Secretaría de Salud de , disponible en (11 de agosto de 2010) Ejemplo 3 24/30

Figura 9. Tendencia inicial con datos de Aguirre Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 3 25/30

Figura 10. Tendencia estimada con información de Aguirre y CONAPO Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 3 26/30

Figura 11. Tasas específicas de mortalidad masculina. México2010, Japón2008 Fuente: CONAPO (2010) Indicadores demográficos básicos, (11/agosto/2010) y para Japón disponible en (11/ agosto/2010). Ejemplo 4 27/30

Figura 12. Tendencia inicial para las tasas específicas de mortalidad en México Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 4 28/30

Figura 13. Tendencia estimada con ambas fuentes de información: mexicana y japonesa Fuente: Cálculos propios e Ibid. Ejemplo 4 29/30

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