FUNCIONES LINEALES DÍA 30 * 1º BAD CT

Definición de función y=f(x) Una función es toda correspondencia entre dos magnitudes de modo que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor de la segunda (y). A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama variables. Variable independiente (x): Su valor se fija previamente. Variable dependiente (y): Su valor depende del que se fije para la variable independiente. Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO de la función. Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o RECORRIDO de la función. Una función se suele denotar de la siguiente manera: y=f(x)

Formas de una función Una función puede venir definida o dada de distintas formas o maneras: 1.- Mediante una frase o enunciado que contenga una regla clara. Muchos problemas de álgebra, por ejemplo, son intrínsicamente funciones. 2.- Mediante una expresión algebraica o fórmula, que relacione cada elemento x del dominio con su imagen f(x). Es la más eficaz desde el punto de vista matemático. 3.- Por un conjunto de pares de valores (x,y) o Tabla de Valores. Contiene una parte del dominio con sus imágenes correspondientes. Para hallar algún otro valor se utiliza un proceso llamado interpolación. 4.- Mediante una gráfica o representación en el plano de la función. Su inconveniente es que no siempre es sencillo hallar una fórmula a partir a partir del gráfico.

Ejemplo práctico de función ENUNCIADO Sea una hoja de papel rectangular, de 20x30 cm, a la que recortamos un cuadrado en cada esquina para construir una caja. Hallar el volumen de la caja. FÓRMULA El volumen, y, está en función del valor que tome el lado del cuadradito recortado, x. y = f(x)  V = Largo . Ancho . Alto  y = (30 – 2.x).(20 – 2.x).x V= f(x) = 4.x3 – 100.x2 + 600.x x x 20 cm x x 30 cm x x 20 - 2.x x x 30 - 2.x

Tenemos: f(x) = 4.x3 – 100.x2 + 600.x TABLA DE VALORES (Parcial, o sea los valores reales acorde al enunciado) x y 1 504 2 832 3 1008 4 1056 5 1000 6 864 7 672 8 448 9 216 10 0 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN (Parcial) Volumen en cm3 1000 750 500 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lado del cuadrado recortado en cm

Sea la función f(x) = x3 +x2 - 5x +3 EJEMPLOS DE FUNCIONES EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = x2 EJEMPLO_2 Sea la función f(x) = x3 +x2 - 5x +3 Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en un solo punto es una función

EJEMPLO_4 Sea la ecuación x = y2 No es una función. Cada valor de x no corresponde un único valor de y. EJEMPLO_3 Sea la ecuación de la elipse: x2 y2 --- + --- = 1 9 4 No es una función. Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en dos o más puntos, NO es una función.

Para poder trabajar con ecuaciones que no son funciones, se trabajará por separado obteniéndose dos funciones distintas: EJEMPLO 1 Ecuación x = y2 y = +/- √x f (x) = √x  Función 1 f (x) = - √x  Función 2 EJEMPLO_2 Ecuación de la circunferencia x2 + y2 = 25 y = +/- √ (25 - x2) f (x) = √ (25 - x2)  Función 1 f (x) = - √ (25 - x2)  Función 2 f(x)=√(25 – x2) f(x)=√x f(x)= - √x f(x)= - √(25 – x2)

Ejemplo 1: Ejemplo 2: Dominio de f(x) Sea la función y = √ x Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x debe ser mayor o igual que 0. El dominio de esta función es pues x ≥ 0 Dom f(x) = [0, +oo ) Ejemplo 2: Sea la función y = √ (4 – x) Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que: 4 – x ≥ 0  4 ≥ x Dom f(x) = (-oo , 4]

Ejemplo 3: Ejemplo 4: Dominio de f(x) Sea la función y = √ (4 - x2) Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x2 debe ser menor o igual que 4, o sea |x| ≤ 2. El dominio de esta función es pues |x| ≤ 2 Dom f(x) = [-2, 2] Ejemplo 4: Sea la función y = 1 / (4 + x) Cuando x = - 4 el denominador se hace cero, con lo cual y no toma ningún valor real Dom f(x) = R – { – 4 }

FUNCIONES LINEALES y=f(x) Sea la ecuación y = x , y = 2.x , y = 3.x , y = x / 2 , etc... Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x donde m es un número real y se llama pendiente. Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = m.x Reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES, porque su gráfica es una línea recta. Se llaman también de primer grado porque su polinomio característico es de primer grado: f (x) = Polinomio de primer grado. f (b) f (a) α 0 a b x El ángulo α es la inclinación de la recta. La pendiente es m = tg α Pues: m = [f(b)-f(a)]/(b-a) = f(a) / a

FUNCIONES AFINES Sean las ecuaciones y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 4 Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x + n donde m, la pendiente, es la misma. Representadas gráficamente vemos que nos dan rectas PARALELAS. La diferencia entre ellas es el valor de n, llamada ordenada en el origen, por ser el valor que toma y cuando x=0 f (0) = n Todas las funciones que se pueden expresar de la forma: f (x) = m.x + n Reciben el nombre de FUNCIONES AFINES y=f(x) α f (a) α 0 a x α m = tg α = f(a) / a

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) PENDIENTE Sabemos que la pendiente de una recta es: m= tag α Siendo α el ángulo que forma con el eje de abscisas. Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta: tag α = (y2 - y1)/(x2 - x1) O sea: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) y=f(x) Q(x2,y2) y2 y2,- y1 P(x1,y1) y1 α x2,- x1 0 x1 x2 x

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P1=(4, 3), P2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n 3=m.4 +n -7=m.5+n Por Reducción: -7-3 = 5m+n – 4m –n - 10 = m ,, m= -10  n = 3-4m = 3+40=43 Luego: f(x) = -10.x + 43 Tabla de valores x y 4 3 5 -7 Expresión f (x) = -10.x + 43