Relajación y procesamiento híbrido de restricciones Diferentes técnicas de relajación Algunas técnicas híbridas populares

Relajación Consistencia de nodo Forward check Lookahead check AC1AC3 Consistencia de camino

3 Ejemplo  4 familias A, B, C y D viven al lado una de otra en casas numeradas 1, 2, 3 y 4.  D vive en una casa con numero menor que B,  B vive al lado de A en una casa con número mayor,  Hay al menos una casa entre B y C,  D no vive en la casa con número 2,  C no vive en la casa con número 4.  ¿Qué familia vive en cúal casa ?  El problema de las 4 casas:

4 Representación:  Las variables: A, B, C y D  Los dominios: d A = d B = d C = d D = { 1, 2, 3, 4}  Restricciones:  unaria:  r(C) = C  4  r(D) = D  2  binaria:  r(A,B) = B = A + 1  r(B,D) = D  B  r(B,C) = |B - C|  1  r(A,C) = A  C  r(A,D) = A  D  r(C,D) = C  D

5 Consistencia de nodo:  Las restricciones unarias son eliminadas por medio de reducciones del dominio:  O: 1-consistencia  (sólo 1 variable involucrada)  r(C) = C  4  r(D) = D  2 d C = { 1, 2, 3} d D = { 1, 3, 4}

6 La red de restricciones: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}

Relajación débil Forward Check Lookahead Check

8 Forward Check:  Fijamos el valor de 1 variable zi: zi = a  Forward Check(zi) =  activar cada restricc. r(zi, zj) o r(zj, zi) una vez para remover los valores inconsistentes para zi = a AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}  Nuestro ejemplo: asumir A = 2 :

9 Forward check: consistencia débil  Requiere que 1 variable ya haya obtenido un valor AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D {2} { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4}  No produce un estado consistente  no se realiza toda la relajación

Look ahead check Un método de relajación más potente (débil)

11 Look ahead Check:  Look Ahead Check =  activar cada restricción r(zi, zj) exactamente una vez para remover los valores inconsistentes de los dominios Di y Dj.  Nuestro ejemplo: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}

12 Ejemplo (continuac.): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  Las otras 3 restricciones:

13 Look ahead resultados finales: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Tampoco produce un estado consistente  no se ha realizado toda la relajación  Los resultados pueden depender del orden en que se procesan las restricciones.  Remover primero algunos valores puede permitir encontrar otras inconsistencias

Técnicas de consistencia de arco Tecnicas que reducen dominios a un estado que es consistente para cada restricción (o arco). También llamadas: técnicas de 2-consistencia

15 AC 1 (Mackworth) AC1: Repeat Look ahead check; Look ahead check; If algún valor fue removido de If algún valor fue removido de algún dominio then algún dominio then Deletion_occurred := true Until (not Deletion_occurred)  Fuerza Look ahead para alcanzar un estado consistente  reactivando Look ahead hasta alcanzar consistencia Deletion_occurred := false ;

16 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  Primer paso (== Look ahead check): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Deletion_occurred := true

17 El ejemplo (2):  Segundo paso: AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  Deletion_occurred := true AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}

18 El ejemplo (3):  Tercer paso:  Deletion_occurred := false AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}  Resultado: A (2 ó 3), B (3 ó 4), C (1 ó 2), D (1 ó 3)  Consistente, pero NO REALMENTE UNA SOLUCIÓN !!

19 AC-3 (Mackworth) consist. de arco más eficiente : AC3: Remover r(x,y) de COLA; Remover r(x,y) de COLA; End-While COLA := {todas las restricciones en el problema} Remover todos los valores inconsist. de los Remover todos los valores inconsist. de los dominios D x y D y con respecto a r(x,y); dominios D x y D y con respecto a r(x,y); While no vacía(COLA) DO If algún valor fué removido de D x (o D y ) If algún valor fué removido de D x (o D y ) then agregar todas las otras restricciones then agregar todas las otras restricciones que involucren a x (o y) a COLA; que involucren a x (o y) a COLA;

20 El ejemplo (1): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  COLA = {r(A,B), r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}  Para agregar: r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D) ¡ Ya todas en la COLA !

21 El ejemplo (2): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(A,C), r(A,D), r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}

22 El ejemplo (3): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(B,C), r(B,D), r(C,D)}:  COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}  Para agregar: r(A,B), r(A,C), r(B,D), r(C,D)

23 El ejemplo (4): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3}  COLA = {r(B,D), r(C,D), r(A,B), r(A,C)}:  COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}  Para agregar: r(A,D), r(C,D)

24 El ejemplo (5): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 1, 2, 3}  COLA = {r(C,D), r(A,B), r(A,C), r(A,D)}:  COLA = {r(A,C), r(A,D)}  Para agregar: r(A,C), r(A,D)

25 El ejemplo (6): AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 3, 4} { 1, 2}{ 1, 3} { 2, 3}  COLA = {r(A,C), r(A,D)}:  COLA = vacía ¡PARAR!

26 Comparación:  Los mismos resultados: consistencia de arco completa:  A = {2,3}, B = {3,4}, C= {1,2}, D = {1,3}  Eficiencia:  AC1:  3 veces 6 verificaciones = 18  AC3:  9 verificaciones de restricciones

27 Consistencia K:  1-consistencia (consistencia de nodo):  restricc. unarias (sobre 1 variable) son consistentes  2-consistencia (consistencia de arco):  restricc.binaria(sobre 2 variables) son consistentes  3-consistencia:  todas las restricc.que comprenden.3var.son consist. AB DC B = A + 1 A  C D  BD  B A  D |B - C|  1 C  D { 1, 2, 3, 4} { 1, 2, 3}{ 1, 3, 4} { 1, 2, 3, 4}  Un valor permanece en el dominio si hay valores consistentes en los dominios de las otras 2 variables (para todas las restricciones que conectan) Ejemplo:

28 Practicidad de consistencia k:  Verificar consistencia k para k  2 es muy difícil de hacer eficientemente !!  Ejemplo: consistencia 4 para el problema de las 4 casas es equivalente a hallar soluciones al problema original.

Procesamiento híbrido de restricciones Combina el poder de Búsqueda exhaustiva (backtrack) con (relajación) poda

Forward checking Backtracking combinado con Forward Check

31 Forward checking: Forward Checking: Ejecuta Standard Backtracking Después de cada asignac. de un Después de cada asignac. de un valor a una variable zi DO valor a una variable zi DO Forward Check(zi) PERO

32 1A Forward checking B2 AB CD{1}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC AB CD{1}{2}{2,3} {3,4} |B-C|  1 D BD BD BD B falla AB CD{2}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 2 B3 AB CD{2}{3}{1,3} {1,3,4} D BD BD BD B C1 AB C D{4}{3}{1}{1} CDCDCDCD falla AB CD{3}{1,2,3,4}{1,2,3} {1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC 3 B4 AB CD{3}{4}{1,2} {1,4} D BD BD BD B AB C D{3}{4}{1}{1} CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1C 2fallaéxito

Lookahead checking Backtracking combinado con Look ahead check

34 Lookahead checking: Ejecuta Standard Backtracking Look Ahead Check PERO Look Ahead Check ; Lookahead Checking: Después de cada asignac. de un Después de cada asignac. de un valor a alguna variable DO valor a alguna variable DO

35 Lookahead checking AB C D{1,2,3,4}{1,2,3,4}{1,2,3}{1,3,4} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B |B-C|  1 CDCDCDCD AB CD{1}{3,4}{1,2} {1,3} B=A+1 falla AB C D{2}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD falla AB C D{3}{3,4}{1,2}{1,3} B=A+1 ADADADAD ACACACAC D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} D BD BD BD B CDCDCDCD AB C D{3}{4}{2}{1} CDCDCDCD 1A 2 3 B4 C2 éxito

36 ¿Cuál es mejor?  Forward checking:  hace menos verificación de consistencia  tiene más ramificación  más cercano a backtracking  Lookahead checking:  requiere más trabajo con consistencia  prueba menos valores alternativos  Usualmente:forward checking es el mejor trade-off  Para problemas MUY marcadamente restringidos:  se necesita Lookahead checking para podar más

37 Aplicaciones:  Todos los problemas de búsqueda combinatoria  Problemas de asignac. de horarios(scheduling):  Ej.: reasign. de horarios de trenes cuando ha ocurrido algún problema en las vías  Problemas de horarios de trabajo:  Ej.: computar rotacs. de trabajo, dadas varias restricc. de expertise y preferencias personales  Planeamiento de producción:  Ej.:asign.el recorr. óptimo en el lugar de trabajo  Problemas de carga:  Ej.: optimizar el espacio en un camión dados varios tipos de cargas

38 Técnicas alternativas  Programación lineal  técnicas numéricas para resolver sistemas de ecuaciones lineales (e inecuac.) + problemas de optimización  Ej.: algoritmo simplex  Trabaja MUY bien con restricciones ‘lineales’ 4*X - 3*Y  Z + 2 X 3 - 3*Y  Z ¡ SI ! ¡ NO !  Trabaja, pero no MUY bien, con problemas discretos  En tales casos: Procesam.de Restricc. es mejor opción  También: para problemas de restricciones en datos no numéricos!