1 ¿Por qué algunas combinaciones de notas musicales suenan bien a nuestros oídos mientras que otras no? La razón es que las frecuencias de las ondas sonoras de las diferentes notas están relacionadas por números racionales sencillas, como es el caso de la Escala Justa. Números racionales INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD Piano ed035306.jpg SALIR

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Esquema de contenidos Números racionales Fracciones Partes de la unidad Fracciones equivalentes Operaciones con fracciones Suma y resta Producto y cociente Potencias Números decimales y fracciones Tipos Fracción generatriz Conjuntos numéricos Problemas con fracciones Gráficas ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones. Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción, como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese mezclando la misma cantidad de cada recipiente? Quizás pienses que, si juntamos los dos líquidos, tendríamos 2 partes de vinagre y 5 de agua... Pero ¡esto es falso!..., porque, a la izquierda, la expresión “1 parte de vinagre” es 1/3 del recipiente, mientras que a la derecha “1 parte de vinagre” es 1/4 del recipiente, que son cantidades diferentes. ¿Puedes hallar la proporción correcta? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones. Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción, como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese mezclando la misma cantidad de cada recipiente? Tomando la mitad de cada recipiente se obtiene la mezcla pedida. En ella habrá la siguiente cantidad de vinagre: Así, pues, habrá 7 partes de vinagre y 17 (= 24 – 7) de agua. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla? Tomamos de la primera mezcla y de la segunda. Si nos fijamos sólo en el vinagre, tendremos: Es decir, la mezcla tendrá 5 partes de vinagre y 13 (18 – 5) partes de agua. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha. En efecto, es mayor que , porque... es menor que , porque... SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha. En efecto, es mayor que , porque y es mayor que , porque SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha. ¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha. ¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre? Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x). Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores: SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Problemas con fracciones Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos concentrada que la de la izquierda y más que la de la derecha. ¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre? Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x). Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores: Multiplicando los dos miembros de la ecuación por 60, queda: 20 x + 15 – 15 x = 18 De aquí, 5 x = 3, es decir, x = 3/5. Por tanto, habrá que tomar 3 partes del recipiente de la izquierda y 2 (= 5 – 3) del de la derecha. ANTERIOR SALIR

1 1 + 3 3 – Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 + 3 3 – SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

1 1 + 3 3 – 1 1 + 3 3 – Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 + 3 3 – 1 1 + 3 3 – SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

1 1 + 3 3 – 1 1 + 3 3 – 13 1 + 9 3 – Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 + 3 3 – 1 1 + 3 3 – SIGUIENTE 13 1 + 9 3 – ANTERIOR SALIR

Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 13 1 + + 3 3 – 9 1 1 + 3 3 – SIGUIENTE 13 1 + 9 3 – ANTERIOR SALIR

Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 13 1 + + 3 3 – 9 13 5 1 1 + + 9 9 3 3 – SIGUIENTE 13 1 + 9 3 – ANTERIOR SALIR

Operaciones con fracciones La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata? 1 1 13 1 + + 3 3 – 9 13 5 1 1 + + 9 9 3 3 – 18 2 9 13 1 + 9 3 – ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto? Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto? Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea. Halla la expresión decimal de la fracción . SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Halla la expresión decimal de la fracción . Si dividimos en una calculadora nos da: = 0,78947368... Vamos a tomar las cinco primeras decimales de este número: 78947. El producto de 0,78947 x 19 = 14,99993 queda a 7 ciénmilésimas de 15, lo que nos indica que el último resto de la división interrumpida es 7. Seguiremos la división calculando y repitiendo el proceso. Disponemos todos los cálculos en una tabla: SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Halla la expresión decimal de la fracción . Dividimos Tomamos cinco cifras Cociente x Divisor Resto 15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7 7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Halla la expresión decimal de la fracción . Dividimos Tomamos cinco cifras Cociente x Divisor Resto 15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7 7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2 2 / 19 = 0,10526315... 10526 0,10526 x 19 = 1,99994 6 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Pasando de fracción a decimal Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador, prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente. Por ejemplo, = 0,454545... = 0,45 Halla la expresión decimal de la fracción . Dividimos Tomamos cinco cifras Cociente x Divisor Resto 15 /19 = 0,78947368... 78947 0,78947 x 19 = 14,99993 7 7 / 19 = 0,36842105... 36842 0,36842 x 19 = 6,99998 2 2 / 19 = 0,10526315... 10526 0,10526 x 19 = 1,99994 6 6 / 19 = 0,31578947... 315 SE TIENE YA REPETICIÓN Hemos encontrado que: 15 /19 = 0,789473684210526315, un periodo de 18 cifras que no podemos hallar directamente en una calculadora. ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? Un rectángulo apropiado nos ayudará a seguir la “narración” de los gastos. Puesto que los denominadores de las fracciones que se citan son 3, 3 y 5, será conveniente que el rectángulo que representa el dinero inicial sea de tamaño 9 x 5 (ó 3 x 15), que puedes dibujar fácilmente en tu cuaderno cuadriculado. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total. La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total. La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto. La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total. La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto. La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba. Para final de mes quedan 440 € Como esta cantidad, 440 €, viene representada por 8 casillas, cada casilla cuadrada equivale a 440 / 8 = 55 €. Por tanto, es inmediato responder a las preguntas. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Gráficas de fracciones En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar un confuso enunciado en un problema casi resuelto. En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible. La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta 3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €. ¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana? La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total. La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto. La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba. Para final de mes quedan 440 € Se disponía al comienzo de 55 € x 45 casillas = 2.475 €. El gasto de la 1ª semana fue 55 € x 15 casillas = 825 €; el de la 2ª semana, 55 € x 10 casillas = 550 €, y el de la 3ª semana, 55 € x 12 casillas = 670 €. ANTERIOR SALIR

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Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números Dirección: http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwave/games/saloonsnap.html En esta sección de la BBC puedes jugar a hallar equivalentes a fracciones en forma decimal (y en porcentaje). Has de ser más rápido que el personaje que tienes enfrente cuando los dos números propuestos sean iguales. Para conocerlo, sigue este enlace. ANTERIOR SALIR