Optimización con Restricción Multiplicadores de Lagrange Unidad 5: Funciones de varias variables Optimización con Restricción Multiplicadores de Lagrange

Optimización restringida En muchos problemas, una función de dos variables debe optimizarse sujeta a una restricción o condición en las variables, por ejemplo si tenemos un presupuesto fijo de $ 25000 y sólo debemos emplearlo en la publicidad y la producción de textos, queremos saber ¿cómo podríamos obtener el número de textos que debe producirse para alcanzar nuestro máxima venta ?

Multiplicadores de Lagrange Dado el problema de optimización restringida: Max (Min) f(x; y) sujeto a: g(x; y) = k El par (a; b) es un punto critico asociado al problema anterior, si existe un valor λ, talque se cumple: fx(a; b) =  gx(a; b) fy(a; b) =  gy(a; b) g(a; b) = k Al numero λ se llama multiplicador de Lagrange

Procedimiento: Hallamos los puntos críticos. Para ello resolvemos el sistema: fx(x; y) =  gx(x; y) fy(x; y) =  gy(x; y) g(x; y) = k Evaluar f en todos los puntos críticos. Si el máximo (mínimo) requerido existe, será el mayor (menor) de estos valores.

Ejemplo 1 Resuelva el siguiente problema: Maximizar f(x; y) = 3x – y + 6, Sujeta a: x2 + y2 = 40 Ejemplo 2 Encuentre los valores máximos y mínimo de la función sujeto a la restricción

Ejemplo 3 El departamento de carreteras planea construir un área de excursión para los automovilistas a lo largo de una vía principal. Será rectangular, tendrá un área de 5 000 yardas cuadradas y se cercarán los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la cantidad mínima de cercado que se necesitará para completar el trabajo?

Ejemplo 4 Un consumidor tiene US$ 600 para invertir en dos artículos: el primero de ellos cuesta US$ 20 la unidad y el segundo, US$ 30 la unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor de las “x” unidades del primer artículo y del “y” unidades del segundo artículo está dada por la función de utilidad de Cobb-Douglas U(x; y) = 10 x0,6y0,4. ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar su utilidad?

Ejemplo 5 Un empresario vende dos bienes A y B en “x” y “y” unidades donde las funciones de demanda son Además los costos totales de producción son Hallar las cantidades que deben venderse de ambos bienes para alcanzar la máxima utilidad. Si por restricciones económicas debe cumplirse que x + 2y = 17, determine las cantidades de ambos bienes que deben producirse

Ejemplo 6 Una lechería produce x galones de leche entera a un precio de P1 = 100 – x e y galones de leche descremada a un precio de P2 = 100 - y. Si el costo total de producción es C(x; y) = x2 + xy + y2, ¿Cuántos galones de leche entera y de leche descremada deben producirse para maximizar la utilidad? Considere que la demanda de leche descremada es el doble de la leche entera, ¿cuál es la producción que maximiza la utilidad?

Para mas ejercicios, ver la guía del alumno. Texto Haeussler pág 784 (los ejercicios del 1 al 15)