Tema 3, manual: cap. 3 ¿cómo jugamos en la vida real cuando no existen acciones dominadas? Recomendaciones o consejos de los expertos (pero son eso: recomendaciones, es decir, mantenemos nuestra libertad estratégica). Convenciones o normas sociales (pero siempre podemos saltarnos la norma). Aprendizaje y experimentación: aprendemos tras jugar muchas veces juegos similares contra oponentes distintos mediante prueba y error. En cualquier caso, si por alguno de estos motivos, existe o aparece una pauta estable de jugar el juego, previsible y esperada por todo el mundo, esta pauta (esta combinación de estrategias) deberá ser un equilibrio Nash. Por ejemplo, una propiedad mínima que debe cumplir la recomendación de un experto es que esté en el interés de cada jugador seguirla si los demás van a seguirla.

EQUILIBRIO NASH Un equilibrio Nash (EN) de un juego es una combinación de acciones tal que la acción de cada jugador es mejor respuesta a las acciones de sus oponentes. En un EN ningún jugador lamenta su elección, dadas las elecciones de los demás jugadores (¡ lo cual no quiere decir necesariamente que te gusten las acciones de tus oponentes !) En un EN, ningún jugador tiene una desviación unilateral provechosa, es decir, dado lo que juegan los demás en la combinación no puede obtener un pago mayor con otra acción distinta. ¿Cómo calcular los EN de un juego? Mediante las funciones de mejor respuesta de los jugadores. Los EN son las “intersecciones” de dichas funciones. ¿Cómo comprobar si una combinación de acciones es o no un EN? Comprobando si algún jugador tiene una desviación unilateral provechosa.

RELACIÓN DEL EQUILIBRIO NASH CON DOMINANCIA. A) Si en un juego todos los jugadores tienen una estrategia dominante, entonces la combinación de estrategias en que cada uno de ellos utiliza su estrategia dominante es el único EN del juego. B) Si la eliminación sucesiva de acciones dominadas en un juego da lugar a una única combinación de estrategias, entonces ésta constituye el único EN del juego. C) En ningún EN de un juego puede un jugador utilizar una estrategia dominada. Este resultado no es válido para estrategias débilmente dominadas. Pero si un jugador tiene una estrategia débilmente dominante, existirá un EN en el que juega dicha estrategia.

UN PROBLEMA SENCILLO DE LOCALIZACIÓN. Imagine una playa recta donde los bañistas se distribuyen uniformemente. Formalmente la representaremos por el intervalo de los números reales [0 , 1]. Dos puestos de helados deben decidir simultáneamente donde colocarse (elegir localización). Los consumidores compran helado del puesto localizado más cerca (es decir, el producto es completamente homogéneo).

La mejor respuesta a toda localización del otro es colocarse al lado por la parte donde hay más trozo de playa. Luego, no habrá equilibrio mientras haya más playa a un lado que al otro. El único equilibrio Nash es que ambos se coloquen en el medio de la playa. Pero es una localización ineficiente, pues no minimiza la distancia media recorrida por los consumidores.

DUOPOLIO: COMPETENCIA EN PRECIOS Dos empresas que producen un mismo bien homogéneo tienen que decidir precios simultáneamente. Ambas empresas tienen los mismos costes unitarios constantes c >0. La demanda de mercado está dada por la función D(p) con pendiente negativa, donde p es el precio. Los consumidores tienen información perfecta y no tienen costes de desplazamiento, luego comprarán a la empresa que ponga el precio más bajo. En caso de que ambas empresas pongan el mismo precio, cada una recibiría la mitad de la demanda de mercado. Calcule los equilibrios Nash (EN).

DUOPOLIO: COMPETENCIA EN PRECIOS Una situación donde: p1 > p2 > c, no es EN. La empresa 1 tiene una desviación provechosa: recortar el precio de 2. Una situación donde p1 = p2 > c, no es EN, porque ambas empresas tienen incentivo unilateral a recortar el precio. Siempre se puede encontrar una pequeña cantidad ε tal que, (p – ε – c)D(p – ε) > (1/2)(p – c)D(p), donde p > c. El único EN es: p1 = p2 = c. ¡Muy bueno para los consumidores! ¡Pero no tan bueno para las empresas!

MULTIPLICIDAD DE EQUILIBRIOS: selección de equilibrio. Dos enfoques: - analizar la dinámica poblacional de aprendizaje, estudiando a qué EN se converge. - exigir una propiedad adicional razonable (por ejemplo, eficiencia, dominancia en riesgo). T. Schelling: PUNTO FOCAL “algo” en la estructura del juego o en el entorno cultural o social de los jugadores hace que su atención se centre en un EN en particular.

JUEGOS DE COORDINACIÓN PUROS. - Los intereses de los jugadores coinciden. Ejemplos: “Tuvimos un pinchazo”, coordinarse en una letra del alfabeto, juego del tráfico… - Con comunicación previa no hay problema estratégico: ningún jugador tiene incentivo a mentir. - Pero, sin comunicación, existe un elevado riesgo de descoordinación. Los jugadores sólo podrán recurrir (si existe) a un punto focal para ellos.

JUEGOS DE CONFIANZA O DE COORDINACIÓN CON CONFLICTO ENTRE EFICIENCIA Y RIESGO. Son juegos de coordinación en los que existe una estrategia segura y otra arriesgada pero potencialmente eficiente (sólo si todos la juegan). Dominancia en riesgo Suponga un juego bipersonal con dos acciones para cada jugador en el que existen dos EN en acciones puras. El EN dominante en riesgo es aquél en que los jugadores juegan la acción que es mejor respuesta si esperaran que su oponente juegue sus acciones con igual probabilidad. Ejemplo: Incentivos en un equipo de producción cuando los niveles de esfuerzo son factores complementarios.

INCENTIVOS AL ESFUERZO EN UN EQUIPO DE PRODUCCIÓN: otro ejemplo. El equipo está compuesto por dos miembros: jugadores 1 y 2. Cada jugador tiene que decidir entre realizar esfuerzo alto o bajo (los denotamos e = 2 y e = 1, respectivamente). El ingreso total generado por el equipo está dado por la función: I = 8.min{e1, e2} y el coste individual del esfuerzo es para ambos jugadores c(ei) = 3ei, i = 1,2. (todo medido en miles de euros). El contrato especifica que los ingresos se repartirán a partes iguales.

INCENTIVOS AL ESFUERZO EN UN EQUIPO DE PRODUCCIÓN: otro ejemplo. 2000 , 2000 - 2000 , 1000 e1 = 1 1000 , -2000 1000 , 1000

INCENTIVOS AL ESFUERZO EN UN EQUIPO DE PRODUCCIÓN: otro ejemplo. Supongamos que el equipo está compuesto por n miembros: El ingreso total generado por el equipo está dado por la función: I = 4.n.min{e1, e2,…..en}. Los conjuntos de acciones, las funciones de costes y la regla de reparto del ingreso total no cambia. Llamemos p a la probabilidad que un jugador asigna a que uno de los otros jugadores realizará esfuerzo alto. Llamemos q a la probabilidad que un jugador asigna al suceso consistente en que todos los otros jugadores realizarán esfuerzo alto. Como cada jugador elige su acción independientemente, q = pn-1. Definiremos la confianza del jugador i como la probabilidad mínima p tal que realizar esfuerzo alto es una mejor respuesta para él.

EL JUEGO DE LAS DEMANDAS SIMULTÁNEAS Dos individuos pueden dividirse entre ellos 10 euros, pero sólo en caso de que alcancen un acuerdo. Tienen que escribir en un sobre cerrado sus demandas, es decir, la cantidad que quieren. Las denotamos x1 y x2. No se permite demandar 0 o 10 y las demandas deben formularse sin céntimos. Si las demandas son compatibles, es decir, x1 + x2 ≤ 10, cada jugador obtiene su propia demanda. Pero, si son incompatibles, es decir, x1 + x2 > 10 , cada jugador obtiene un pago de cero. Calcule los equilibrios Nash de este juego y discuta el resultado obtenido.

EL JUEGO DE LAS DEMANDAS SIMULTÁNEAS Las funciones de mejor respuesta son: Para el jugador 1: f1(x2) = 10 – x2. Para el jugador 2: f2(x1) = 10 – x1. Luego el conjunto de EN son todos los pares (x1, x2), tales que x1 + x2 = 10. Todos ellos son eficientes. Los resultados ineficientes en una negociación son el desacuerdo (i.e. x1 + x2 > 10) o cualquier acuerdo en que no todo el excedente es dividido entre los jugadores (i.e. x1 + x2 < 10).