UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.3 J. Pomales CeL INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.3 J. Pomales CeL

INTRODUCCIÓN Como hemos definido en clases pasadas, una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Pensando en esto, hoy: Verificaremos si una función es 1-1 Hallaremos su inversa Utilizaremos la composición de funciones para determinar que dos funciones son inversas. Utilizar el GeoGebra para trazar y construir la inversa de funciones.

FUNCIÓN 1-1 FUNCIÓN INYECTIVA

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN UNA TABLA DE VALORES? Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los valores del dominio no se repiten. No olvides  Dominio: x Recorrido: y x y 2 4 1 -1 ½ -2 ¼ x y 2 -3 1 -1 3 -2 5 x y 2 1 3 4 -1 5 x y 3 -6 1 2 -1 -3 1 Es función Es función No es función Repite el dominio Es función

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN LOS CONJUNTOS? Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo elemento en el recorrido. No olvides  Dominio: x Recorrido: y -2 2 1 3 f (x) 2 1 -1 3 g (x) Es función Para cada elemento del dominio hay un elemento en el recorrido. No es función Fíjate que un elemento del dominio tiene dos valores en el recorrido.

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN UNA GRÁFICA? Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos concluir que son funciones. Las gráficas A y C son funciones. A B C Es función No es función Línea vertical toca en más de 1 punto Es función

CONTESTA LO SIGUIENTE ¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas? Estas gráficas, ¿serán funciones? Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical. ¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas? Cuadrática (Parábola) Valor absoluto

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1? ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del recorrido. Una sola x para una sola y. De ahí proviene el nombre 1-1. Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen valores repetidos en el recorrido. Pero si lo que tenemos es la gráfica de una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.

PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1 Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función inyectiva ó 1-1. No es función 1-1 Es función 1-1

NO REPRESENTA un exponente FUNCIÓN INVERSA f -1(x) Cuidado Esto NO REPRESENTA un exponente

ANALIZA LO SIGUIENTE Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1 (inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y recorridos? Función A Función B Los elementos del dominio y recorrido están intercambiados. Es decir, la Función B es la inversa de la A. x y 2 4 1 -1 ½ -2 ¼ x y 4 2 1 ½ -1 ¼ -2 2 1 -1 -2 2 1 -1 -2 4 2 ½ ¼ 1 4 2 ½ ¼ 1 4 2 ½ ¼ 1 2 1 -1 -2

¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1? Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido. Si una función tiene inversa se puede escribir así: f -1 ó f -1(x) se lee “inversa de f ” Halla la inversa de la función, si existe. 1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)} Ejemplos: 2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)} f -1(x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)} g(x) no es 1-1, no tiene g-1

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES Como hemos visto anteriormente, conseguir la función inversa en funciones definidas por su conjunto de dominio y recorrido es muy fácil. Pero ¿qué hacemos para calcular f -1 si la función está definida por una ecuación? Método para calcular la inversa de una función: Sustituye f(x) por y. Intercambia entre ellas todas las x y las y. Despeja para y. Sustituye y por f -1(x).

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la composición de ambas funciones [ f (x) y f -1(x) ] en cualquier orden. Si todo está correcto debes obtener la función identidad: f o f -1 = x y f -1 o f = x Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la recta y = x, con el mismo dominio.

LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f En este caso f (x) inicia en (2, 0). Por lo tanto su f -1 tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).

EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Comprobación Como la comprobación es la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f (x)

Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Comprobación Recuerda en f (x), x ≠ 1 ; si x ≠ 2 Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f

EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Comprobación Recuerda en f (x) , x ≥ 1 Comprobación El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta.

REFERENCIAS PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill MATEMÁTICA INTEGRADA 3. 2005. Rubenstein, Craine, Butts. McDougal Littell GEOGEBRA. http://www.geogebra.org/cms/ VÍDEOS FINDING THE INVERSE OF A FUNCTION. http://es.youtube.com/watch?v=Ec5YYVxyq44 TRAZAR LA FUNCIÓN INVERSA. http://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0&feature=channel_page CONSTRUIR LA FUNCIÓN INVERSA. http://www.youtube.com/watch?v=69RnyrST_VM&feature=channel_page