Interpolación por Splines

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Transcripción de la presentación:

Interpolación por Splines

Función Spline Ajusta una curva suave a los puntos Sigue la idea de la spline flexible de un dibujante Consiste de polinomios definidos sobre subintervalos Los polinomios se unen entre sí satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad

Aplicación: spline natural

Grados de una spline

Spline lineal Pendiente discontinua en los puntos

Polinomios de más alto grado F es chata (excepto entre -1 y 1) Se requieren ceros fuera de [-1,1] Así se crean las oscilaciones SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios

Ajuste mixto Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65] P(x)=0 fuera de esa región Discontinuidad en las pendientes donde se unen los polinomios

Definición

Splines cúbicas

Balance de Ecuaciones Condiciones de interpolación Para los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones Para los extremos: 2 ecuaciones Condiciones de continuidad 2(n-1) ecuaciones Condiciones de extremo (terminales) Spline cúbica natural ó Spline enclavada ó Spline periódica 2 ecuaciones

Condiciones de Interpolación

Condiciones de Continuidad

Condiciones de Extremo: Spline Cúbica Natural Derivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constante => función lineal en los extremos La curva se “achata” cerca de los extremos

Condiciones de Extremo: Spline Enclavada (clamped)

Aplicación: splines enclavadas

Condiciones de Extremo: Spline Periódica

Ventaja: evita el fenómeno de Runge

Algoritmo de splines cúbicas

Ecuaciones

Condiciones

Solución

Simplificación del desarrollo

Coeficientes

Sustituyendo …

Invocando iguales pendientes …

Ecuación general

En forma matricial:

Condiciones para Extremos

La matriz de coeficientes queda así:

Condiciones para extremos

La matriz de coeficientes queda así:

Observaciones Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbica Matrices simétricas Datos igualmente espaciados, las matrices se reducen a formas simples

Lectura obligatoria Gerald págs 212-260