Inducción Matemática Objetivos Subtemas Proceso de deducción. Explicar con sus propias palabras los axiomas de Peano. Dada una propiedad de los números naturales, demostrarla aplicando el Teorema de Inducción. Subtemas Proceso de deducción. Proceso de inducción. 3. Axiomas de Peano. 4. Teorema de Inducción. 5. Demostraciones utilizando el teorema de Inducción.

Proceso deductivo e inductivo Caso General Caso Particular Proceso de Deducción Caso Particular Caso General Proceso de Inducción

Ejemplo 1: Dada las siguientes proposiciones analícelas e identifique su certeza o valor de verdad A: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son guayaquileños» B: «La estudiante Murillo es guayaquileña» C: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son menores de 20 años» D: «El estudiante Macías tiene 17 años»

Ejemplo 2: Dada las siguientes proposiciones, identifique su valor de verdad. a: Todos los números enteros pares son divisibles para 2 b: 86 es divisible para 2 c: d: 2 es divisible para 2

AXIOMAS DE PEANO A) 1 es natural B) Si n es un número natural, entonces n+1 también es un numero natural (llamado el sucesor de n). C) 1 no es sucesor de número natural alguno, ya que es el primer elemento del conjunto. D) Si los sucesores de dos números naturales n y m son iguales, entonces n y m son números naturales iguales. E) Si un conjunto de números contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los números naturales.

Nomenclatura a usar para las proposiciones en inducción matemática Caso base 𝑝 1 :1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 Caso general 𝑝 𝑛 :𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 Teorema de inducción Si 𝑝(𝑛) es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales ℕ, tal que: 𝑝 1 ≡1 𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∀𝑛 𝑝 𝑛 →𝑝 𝑛+1 (Caso inductivo o general) Entonces, ∀𝑛∈ℕ 𝑝 𝑛 ≡1, es decir, 𝐴𝑝 𝑛 =ℕ

Actividad en clase N° 01 Demostraciones usando el teorema de inducción Demostrar que para todo número natural n se cumple con las siguientes propiedades: 1. 𝑝 𝑛 :1+3+5+…+ 2𝑛−1 = 𝑛 2 2. 𝑝 𝑛 :2+4+6+8+…+2𝑛=𝑛(𝑛+1) 3. 𝑝 𝑛 :1∙2+2∙3+3∙4+…+ 𝑛+1 𝑛+2 = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 3 4. 𝑝 𝑛 : 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +… 𝑛 2 = 𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 6 5. 𝑝 𝑛 : 𝑛 2 +𝑛 es divisible para 2

1. 𝑝 𝑛 :1+3+5+…+ 2𝑛−1 = 𝑛 2

2. 𝑝 𝑛 :2+4+6+…+ 2𝑛 =𝑛(𝑛+1)

3. 𝑝 𝑛 :1∙2+2∙3+3∙4+…+ 𝑛 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 3 3. 𝑝 𝑛 :1∙2+2∙3+3∙4+…+ 𝑛 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 3

4. 𝑝 𝑛 : 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +… 𝑛 2 = 𝑛 𝑛+1 2𝑛+1 6

5. 𝑝 𝑛 : 𝑛 2 +𝑛 es divisible para 2

6. 𝑝 𝑛 : 2 2𝑛 +5 es divisible para 3

7. 𝑝 𝑛 :2+4+8+…+ 2 𝑛 = 2 𝑛+1 − 2

Deber N° ? Demuestre las siguientes propiedades usando el teorema de inducción matemática 𝑝 𝑛 :2+5+8…+ 3𝑛−1 = 𝑛 3𝑛+1 2 𝑝 𝑛 :2+4+6+8+…+2𝑛=𝑛(𝑛+1) 𝑝 𝑛 : 1 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 +… 2𝑛−1 2 = 𝑛 2𝑛−1 2𝑛+1 3 𝑝 𝑛 :1+2+4+8+… 2 𝑛 = 2 𝑛 −2 𝑝 𝑛 : 𝑛 3 −𝑛+6 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 6 𝑝 𝑛 : 1 3 + 2 3 + 3 3 +…+ 𝑛 3 = 𝑛 𝑛+1 2 2

7. 𝑝 𝑛 :1+3+9+27+…+ 3 𝑛 = 3 𝑛+1 −1 2 8. 𝑝 𝑛 :1+ 1 2 + 1 4 +…+ 1 2 𝑛 =2− 1 2 𝑛 9. 𝑝 𝑛 : 𝑛 3 +2𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 3 10. 𝑝 𝑛 :2+4+8+… 2 𝑛 = 2 𝑛+1 −2

Binomio de Newton