Ejemplo de AFN Ej. Diseña un AFN que acepte todas las cadenas que contengan dos ceros consecutivos o dos unos consecutivos. Solución AFN q4 1 q2 q1 q0 q3 Ejemplo: q0 q3 q1 1 q4

Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s AFD ⊆ AFN Dado que todo AFD es un AFN, es claro que la clase de lenguajes aceptado por los AFN´s incluye los aceptados por los AFD. AFN ⊆ AFN Teorema. Sea L un lenguaje aceptado por un AFN. Entonces existe un AFD que acepta L. Demostración Sea M= (K, Σ, δ, q0, F) un AFN que acepta el lenguaje L. Definamos un DFA. M´= (K’, Σ’, δ’, q0’, F’) de tal manera que: 1) Los estados de M´son todos subconjuntos del conjunto de estados de M. Esto es: K´ = 2k = P(K) Los nombres de dichos conjuntos se generarán de la siguiente manera: [q1,…, qi] es un solo estado del AFD correspondiendo a un conjunto de estados en 1 AFN.

Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s 2) F´es el conjunto de todos los estados en K´ que contenga estado que pertenezca a F. 3) q’0 = [q0] 4)Definimos δ’ como: δ’([q1, q2,…., qi] , a) = [P1, P2,…, Pi] Si y sólo si δ({q1, q2,…., qi} , a) = {P1, P2,…, Pi}

Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s Demostremos ahora por inducción sobre la longuitud de la cadena de entrada, que: δ’(q´0 , x) = [q1, q2,…., qi] Si y solo si δ(q0 , x) = {q1, q2,…., qi} Demostración: 1) Para |x| = 0 , x = ε δ’(q´0 , ε) = [q0] δ(q0 , ε) = {q0} 2) H.I. , |x| = m δ’(q´0 , x) = [r1, r2,…., rn]  δ(q0 , x) = {r1, r2,…., rn} 3) Demostrar para |w| = |xa| = m+1 δ’(q´0 , xa) = δ’( δ’(q´0 , x) a)

Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s Por definición de δ’ tenemos: δ’ ([r1, r2,…., ri] , a) = [P1, P2,…, Pi] δ ({r1, r2,…., ri} , a) = {P1, P2,…, Pi} Así tenemos que: δ’( δ’(q´0 , x) a) = δ ({r1, r2,…., ri} , a) = {P1, P2,…, Pi} LQQD ∴ AFN = AFD Problema. Sea M = ({q0, q1}, {0,1}, d, q0, {q,}) un AFN , donde: d 0 1 q0 {q0,q1} {q,} q1 f {q0, q1} Construya un AFD que acepte L(M) q0 q1 1

Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Ejemplo: Definición: Un autómata finito no- determinístico con movimientos – e consiste en un quíntuplo (K, S, d, q0, F) en donde K , S, q0 y F se definen de la misma manera que el autómata finito no – determinístico, y con: δ : K x ( Σ ∪ {ε}) → 2K La intención es que d(q, a) consista de todos los estados Pj, tales que existe una transición etiquetada a, desde q hasta Pj. En donde a es el símbolo e o cualquier símbolo en S. q2v 2 q1 q0 Start 1 ε

Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Función de transición del ejemplo anterior: 0 1 2 e q0 {q0} f f {q1} q1 f {q1} f {q2} q2 f f {q2} f Def. denominamos CERRADURA – e(q) a todos aquellos vértices (estados) rj, tales que existe una ruta de p a q, consistente en transiciones e. ej. CERRADURA ej. CERRADURA – e(q0) = {q0, q1, q2}

Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Def. llamamos CERRADURA - ε (q) al conjunto de todos los nodos p tales que existe una ruta de q a p etiquetada ε. Es fácil extender esta definición a la CERRADURA - ε(p) en donde P es un conjunto de estados: Sea Uqεp CERRADURA – ε (q), definimos δ’ como:   1) δ’ (q, ε ) = CERRADURA - ε (q) 2) Para w ε Σ* y a ε S , δ’(q, wa) = CERRADURA – ε (P) en donde P = {p | para algún r ε δ’(q,w) y p ε d(r,a)}

Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε  Es conveniente extender d y d’ a conjuntos de estados de la manera siguiente: δ (R, a ) = UqεR δ (q, a ) δ’ (R, w ) = UqεR δ’ (q, w ) Para conjuntos en estados R. Definamos L(M) el lenguaje aceptado por un M= (Q, S, d, q0, F) (un AFN con MOVs - ), ser: L(M) = {w| δ’ (q0 , w) ∩ F ≠ f }

Equivalencias de entre un AFN y un AFN con movimientos - ε Teorema. Si L es aceptado por un AFN con MOVs – ε Demo. Sea M = (Q, S, d, q0, F) un AFN con MOVs - ε .Construya un M´= (Q, S, d, q0, F´) donde: F´= F ∪ {q0} si la CERRADURA - ε (q0) contiene algún estado de F. F caso extraño y δ’ (q0, x) = Ŝ (q, a) para q ε Q y a ε Σ Resta demostrar por inducción sobre |x| que δ’(q0, x) = Ŝ (q0, x) Base : |x| = 1  x= a , a ε Σ. δ’(q0, a) = Ŝ (q0, a) por def. de δ´

Equivalencias de entre un AFN y un AFN con movimientos-ε Inducción: |x| > 1 , Sea x = wa , a ε Σ entonces: δ’(q0, wa) = δ’(δ’(q0, w) a) Por Hipótesis de Inducción δ’(q0, w) = Ŝ(q0, w) Sea Ŝ (q0, w) = r , por demostrar d´(r , a) = Ŝ (q0, wa). d´(r, a) = UqεR d´(q, a) =  UqεR Ŝ (q, a) Entonces por la regla 2 de la definición de Ŝ δ’(q0, wa) = Ŝ (q0, wa)

Ejemplos 1. q0 q1 q2 q3